1、第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 平 面 【知识提炼】1.平面的概念、画法及表示法(1)平面的概念.平面是一个不加定义,只需理解的原始概念.立体几何里的平面是从呈平面形的物体中抽象出来的.如课桌面、黑板面、平静的水面等都给我们平面的局部形象.常常把水平的平面画成一个_,并且 其锐角画成_,且横边长等于邻边长的_倍.一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强立体 感,被遮挡部分用_画出来.(2)平面的画法.平行四边形 45 2 虚线(3)平面的表示方法.用希腊字母表示,如平面,平面,平面.用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示,如平面A
2、BCD.用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示,如平面AC,平面BD.2.点、直线、平面之间的位置关系及其表示方法(1)直线在平面内的概念.如果直线l上的_都在平面 内,就说直线l在平面 内,或者说 平面 经过直线l.所有点(2)常见的文字语言、符号语言与图形语言的对应关系.文字语言 符号语言 图形语言 A在l上 _ A在l外 _ A在 内 _ A在 外 _ AlAlA A文字语言 符号语言 图形语言 l在 内 _ l在 外 _ l,m相交于A _ l,相交于A _ ,相交于l _ lllm=A l=A =l公理 文字语言 图形语言 符号语言 公理1 如果一条直线上的_ 在一个平面内,那么
3、这条 直线在_ Al,Bl,且 A,B _ 3.平面的基本性质 两点 此平面内 l公理 文字语言 图形语言 符号语言 公理2 过_的三 点,_一个平面 _ A,B,C三点不共线存在唯一的平面 使A,B,C 不在一条直线上 有且只有 公理 文字语言 图形语言 符号语言 公理3 如果两个不重合的平 面有一个公共点,那么 它们有且只有一条过 该点的_ P 且P _ _ 公共直线 =l,且Pl【即时小测】1.思考下列问题:(1)一个平面能把空间分成几部分?提示:因为平面是无限延展的,一个平面把空间分成两部分.(2)若Aa,a,是否可以推出A?提示:根据直线在平面内的定义可知,若Aa,a,则A.(3)两
4、个平面的交线可能是一条线段吗?提示:不可能,由公理3知,两个平面的交线是一条直线.(4)经过空间任意三点能确定一个平面吗?提示:不一定,只有经过空间不共线的三点才能确定一个平面.2.三点可确定平面的个数是()A.0 B.1 C.2 D.1或0【解析】选D.当这三点共线时,不能确定平面;当这三点不共线时,可确定一个平面.3.“直线a经过平面 外一点P”用符号表示为()A.Pa,a B.a=P C.Pa,P D.Pa,a 【解析】选C.由于点P在平面 外,所以有P,又直线a经过点P,所以Pa.4.如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为()A.平面MN B.平面NQP C.平面 D.平面MN
5、PQ【解析】选A.MN是平行四边形MNPQ的一条边,不是对角线,所以不能记作平面MN.5.若平面 与平面 相交,点A,B既在平面 内又在平面 内,则点A,B必在 .【解析】设 =l,因为A,B 且A,B,所以A,Bl.答案:与 的交线上 6.如图所示,用符号语言表示以下各概念:点A,B在直线a上 ;直线a在平面 内 ;点D在直线b上,点C在平面 内 .【解析】根据点、线、面位置关系及其表示方法可知:Aa,Ba,a,Db,C.答案:Aa,Ba a Db,C 【知识探究】知识点1 点、线、面及其之间的关系 观察图形,回答下列问题:问题1:怎样从集合的角度理解点、线、面之间的关系?问题2:从集合的观
6、点理解点、线、面之间的关系需注意什么?【总结提升】1.从集合的角度理解点、线、面之间的关系(1)直线可以看成无数个点组成的集合,故点与直线的关系是元素与集合的关系,用“”或“”表示.(2)平面也可以看成点集,故点与平面的关系也是元素与集合的关系,用“”或“”表示.(3)直线和平面都是点集,它们之间的关系可看成集合与集合的关系,故用“”或“”表示.2.表示点、线、面时的注意事项 表示点、线、面之间的关系时,为了方便起见,个别地方的用法与集合符号略有不同.例如,直线a与平面 相交于点A,记作a=A,而不记作a=A.这里的A既是一个点,又可以理解为只含一个元素(点)的集合.知识点2 平面的基本性质
7、观察图形,回答下列问题:问题1:上面图形对应三个公理各有什么意义和作用?问题2:公理2有哪些推论?【总结提升】1.公理1、2、3的意义和作用(1)公理1.意义:说明了平面与曲面的本质区别.通过直线的“直”来刻画平面的“平”,通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”.作用:既是判断直线在平面内,又是检验平面的方法.(2)公理2.意义:是空间里确定一个平面位置的方法与途径,而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件,这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来解决,是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法.作用:确定平面;证明点、线共面.(3)公理3.意义
8、:揭示了两个平面相交的主要特征,提供了确定两个平面交线的方法.作用:判断两个平面是否相交;确定两个平面的交线;证明若干点共线问题.2.公理2的三个推论(1)一条直线和此直线外的一点可以确定一个平面.(2)两条相交直线可以确定一个平面.(3)两条平行直线可以确定一个平面.以上三个推论在解题时可直接使用.【题型探究】类型一 立体几何中三种语言及其相互转化【典例】1.如图,用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.2.用符号表示下列语句,并画出图形.点A在面 内但在面 外;直线a经过面 内一点A,外一点B;直线a在面 内,也在面 内.【解题探究】典例中点与线、面之间及直线与平面之间的关系可用
9、什么符号表示?提示:点与线、面之间的关系可用“”或“”表示,直线与平面之间的关系用“”或“”表示.【解析】1.图(1)的位置关系有:Aa,A,A,Ba,B,B,a=A,a=B,=l等.图(2)的位置关系有:Pa,Pb,Pl,a,b,ab=P,=l等.2.A,A.(如图1)Aa,Ba,A,B.(如图2)=a.(如图3)【方法技巧】三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个 平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再 用符号语言表示.(2)要注意符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“”或“”,直线与平面的位置关系只能用“”或“”.(
10、3)由符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的区别.【变式训练】分别用文字语言和符号语言表示图中的点、直线、平面之间的位置关系.【解析】文字语言:直线a在平面内;直线b在平面内;直线a与直线b相交于点A.符号语言:a,b,ab=A.类型二 点、线共面问题【典例】1.空间中四点可确定的平面有()A.1个 B.3个 C.4个 D.1个或4个或0个 2.如图,已知:a,b,ab=A,Pb,PQa,求证:PQ.【解题探究】1.典例1中空间这四点有什么样的位置关系?提示:有共线、共面、不共面.2.典例2中由PQa能否推出PQ与a确定一个平面?提示:根据公理2的推论可知PQ与a可以确定一个平面
11、.【解析】1.选D.当这四点共线时,可确定0个平面;当这四点不共线且共面时,可确定一个平面;当这四点不共面时,其中任三点可确定一个平面,此时可确定4个平面.2.因为PQa,所以PQ与a确定一个平面.所以直线a,点P.因为Pb,b,所以P.又因为a,所以与重合.所以PQ.【延伸探究】将典例2中的两条平行线改为三条,即求证:和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内.【解析】已知:abc,la=A,lb=B,lc=C.求证:直线a,b,c和l共面.证明:因为ab,所以直线a与b确定一个平面,设为,因为la=A,lb=B,所以Aa,Bb,则A,B,而Al,Bl,所以由公理1可知:l.因为bc,所
12、以直线b与c确定一个平面,设为,同理可知l,所以平面和平面都包含直线b与l,且lb=B,又因为经过两条相交直线,有且只有一个平面,所以平面与平面重合,所以直线a,b,c和l共面.【方法技巧】解决点、线共面问题的基本方法【变式训练】求证:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内.【解析】已知:ABAC=A,ABBC=B,ACBC=C.求证:直线AB,BC,AC共面.证明:方法一:因为ACAB=A,所以直线AB,AC可确定一个平面.因为BAB,CAC,所以B,C,故BC.因此直线AB,BC,AC都在平面内,所以直线AB,BC,AC共面.方法二:因为A不在直线BC上,所以点A和直线BC可确定一
13、个平面.因为BBC,所以B.又A,所以AB,同理AC,故直线AB,BC,AC共面.方法三:因为A,B,C三点不在同一条直线上,所以A,B,C三点可以确定一个平面.因为A,B,所以AB,同理BC,AC,故直线AB,BC,AC共面.【补偿训练】已知直线m平面,Pm,Qm,则()A.P,Q B.P,Q C.P,Q D.Q 【解析】选D.因为Qm,m,所以Q.因为Pm,所以可能有P,也可能有P.类型三 点共线与线共点问题【典例】如图,已知平面,且 =l.设梯形ABCD中,ADBC,且AB,CD.求证:AB,CD,l共点(相交于一点).【解题探究】典例中梯形ABCD的两腰分别是什么?其延长后的交点位于什
14、么地方?提示:结合题意可知梯形ABCD的两腰分别是AB,CD,它们延长后的交点既在平面 内又在平面 内.【证明】因为梯形ABCD中,ADBC,所以AB,CD是梯形ABCD的两腰.因为AB,CD必定相交于一点.设ABCD=M.又因为AB,CD,所以M,M.所以M.又因为=l,所以Ml.即AB,CD,l共点(相交于一点).【方法技巧】1.证明三点共线的方法(1)首先找出两个平面,然后证明这三点都是这两个平面的公共点,根据公理3可知,这些点都在两个平面的交线上.(2)选择其中两点确定一条直线,然后证明另一点也在此直线上.2.证明三线共点的步骤(1)首先说明两条直线共面且交于一点.(2)说明这个点在另
15、两个平面上,并且这两个平面相交.(3)得到交线也过此点,从而得到三线共点.【变式训练】在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O1是A1C1与B1D1的交点,长方 体体对角线A1C交截面AB1D1于点P.求证:O1,P,A三点在同一条直线上.【证明】因为O1平面AB1D1,O1平面AA1C1C,A平面AB1D1,A平面AA1C1C,所以平面AB1D1平面AA1C1C=AO1,又因为A1C平面AB1D1=P,所以P直线A1C,P平面AB1D1,所以P平面AA1C1C,所以P直线AO1,即O1,P,A三点在同一条直线上.易错案例 点共面的判断问题【典例】已知A,B,C,D,E五点中,A,B,C,D共
16、面,B,C,D,E共面,则A,B,C,D,E五点一定共面吗?【失误案例】【错解分析】分析解题过程,你知道错在哪里吗?提示:错解忽略了公理2中“不在一条直线上的三点”这个重要条件,实际上B,C,D三点还可能共线.【自我矫正】(1)如果B,C,D三点不共线,则它们确定一个平面.因为A,B,C,D共面,所以点A在平面内,因为B,C,D,E共面,所以点E在平面内,所以点A,E都在平面内,即A,B,C,D,E五点一定共面.(2)如果B,C,D三点共线于l,若A,E都在l上,则A,B,C,D,E五点一定共面;若A,E中有且只有一个在l上,则A,B,C,D,E五点一定共面;若A,E都不在l上,则A,B,C,D,E五点可能不共面.【防范措施】点、线、面之间位置关系判定的注意点 在立体几何中,空间点、线、面之间的位置关系不确定时,要注意分类讨论,避免片面地思考问题.对于确定平面问题,在应用公理2及其三个推论时一定要注意它们成立的前提条件.
