1、 10.3二项式定理A组基础题组1.(2018浙江台州调考)已知ax-1x5的展开式中各项系数的和为32,则展开式中系数最大的项为() A.270x-1B.270xC.405x3D.243x5答案B令x=1,得(a-1)5=32,解得a=3,则展开式的通项为Tk+1=C5k35-k(-1)kx5-2k,只需考虑k为偶数的情形即可,此时T1=35x5=243x5,T3=C5233x=270x,T5=C543x-3=15x-3,故展开式中系数最大的项为270x,故选B.2.二项式(1+2x)6的展开式中,含x2项的系数为()A.15B.30C.60D.120答案C由二项式的展开式知,含x2项的系数
2、为C6222=60,故选C.3.已知(1+2x)4(1-x2)3=a0+a1x+a2x2+a10x10,则a2的值为()A.9B.15C.21D.27答案C因为(1+2x)4的展开式的通项为C4r(2x)r,r=0,1,2,3,4;(1-x2)3的展开式的通项为C3r(-x2)r,r=0,1,2,3.所以a2=C4222+C31(-1)=21.故选C.4.(x2-x+1)3的展开式中,x项的系数为()A.-3B.-1C.1D.3答案A将x2,-x,1分别按0次、1次、2次分配指数,故x项的系数为C301C31(-1)C221=-3,故选A.5.在二项式2x-1x6的展开式中,常数项是()A.-
3、240B.240C.-160D.160答案C二项式2x-1x6的展开式的通项为Tk+1=C6k(2x)6-k-1xk=(-1)k26-kC6kx6-2k,令6-2k=0,得k=3,则展开式中的常数项是(-1)323C63=-160,故选C.6.已知x10=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+a10(x+1)10,则系数ai(i=0,1,2,10)中最大的是()A.a5B.a4或a5C.a4或a6D.a5或a6答案C因为x10=1-(x+1)10=C100-C101(x+1)+C102(x+1)2-C103(x+1)3+C1010(x+1)10,所以ai=(-1)iC10i
4、,要满足条件,则i必为偶数,再由二项式系数的性质知,a4=a6最大.故选C.7.(2016北京理,10,5分)在(1-2x)6的展开式中,x2的系数为.(用数字作答)答案60解析Tr+1=C6r16-r(-2x)r=(-2)rC6rxr,令r=2,得T3=(-2)2C62x2=60x2.故x2的系数为60.8.(2x-y)5的展开式中,x2y3的系数为.答案-40解析x2y3的系数为C5322(-1)3=-40.9.(x2-2)1+2x5的展开式中,x-1的系数为.答案60解析由题可得x-1的系数为23C53-22C51=60.10.(x-2y)6的展开式中,二项式系数最大的项的系数为(用数字
5、作答).答案-160解析二项式系数最大的项是T4=C63x3(-2y)3=-160x3y3,故填-160.11.(a+x)(1+x)4的展开式中,x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=.答案3解析解法一:直接将(a+x)(1+x)4展开得(a+x)(1+x)4=x5+(a+4)x4+(6+4a)x3+(4+6a)x2+(1+4a)x+a,由题意得1+(6+4a)+(1+4a)=32,解得a=3.解法二:(1+x)4的展开式的通项为Tr+1=C4rxr,由题意可知,a(C41+C43)+C40+C42+C44=32,解得a=3.12.已知(2x-1)3(2x+1)4=a0+a1x+a2x2+a7
6、x7,则a1+a3+a5+a7=.答案54解析令x=1,得a0+a1+a7=81;令x=-1,得a0-a1+-a7=-27.两式相减得2(a1+a7)=108a1+a3+a5+a7=54.13.已知(x+1)2x+1x3n的展开式中没有x2项,nN*,且5n8,则n=.答案7解析因为(x+1)2x+1x3n=(x2+2x+1)x+1x3n,所以当第1个括号取x2时,第2个括号不能有常数项,而当n=8时,第2个括号中含有常数项C82;当第1个括号取2x时,第2个括号不能含有x项,而当n=5时,第2个括号中含有x项C51x;当第1个括号取1时,第2个括号不能含有x2项,而当n=6时,第2个括号中含
7、有x2项C61x2.又nN*,且5n8,所以n=7.B组提升题组1.(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为() A.10B.20C.30D.60答案C(x2+x+y)5=(x2+x)+y5的展开式中只有C52(x2+x)3y2中含x5y2,易知x5y2的系数为C52C31=30,故选C.2.1x2+4x2+43展开式的常数项为()A.120B.160C.200D.240答案B1x2+4x2+43=1x+2x6,展开式的通项为Tr+1=C6r1x6-r(2x)r=C6r2rx2r-6,令2r-6=0,可得r=3,故展开式的常数项为160.3.3x-2x29的展开式中含1x的项是()A.第
8、8项B.第9项C.第10项D.第11项答案B二项展开式的通项为Tk+1=C29kx29-k3-2xk=(-2)kC29kx29-k3-k,令29-k3-k=-1,解得k=8,所以所求项是第9项,故选B.4.在x-a3x10的二项展开式中,常数项为210,则实数a的值是()A.1 B.-1 C.1 D.2答案C设第(k+1)项为常数项,则有Tk+1=C10k(x)10-k-a3xk=(-a)kC10kx5-56k,则由5-56k=0,解得k=6,则常数项为(-a)6C106=210,解得a=1,故选C.5.已知1+x-(1+x)2+(1+x)3-(1+x)4+(1+x)2 017=a0+a1x+
9、a2x2+a3x3+a2 017x2 017,则a2+a4+a6+a2 016的值是()A.22 017+13B.22 017-23C.22 018+13D.22 018-23答案B设f(x)=1+x-(1+x)2+(1+x)3-(1+x)4+(1+x)2 017,所以f(1)=2-22+23-24+22 017=23(1+22 017),f(-1)=0,f(0)=1,又f(1)=a0+a1+a2+a3+a2 017,f(-1)=a0-a1+a2-a3+-a2 017,所以a0+a2+a4+a6+a2 016=f(1)+f(-1)2=1+22 0173,易知a0=f(0)=1,所以a2+a4+
10、a6+a2 016=1+22 0173-a0=22 017-23,故选B.6.(1+x+x2)x-1x6的展开式中的各项系数和是;常数项的值为.答案0;-5解析令x=1,得展开式中的各项系数和是0;常数项的值为-C63+C64=-5.7.若x2-2x3n的展开式中的常数项为40,则n=,x5的系数为.答案5;-10解析x2-2x3n的展开式的通项为Tr+1=Cnr(x2)n-r-2x3r=(-2)rCnrx2n-5r,令2n-5r=0,则(-2)rCnr=40,所以r0),且x2+2tx6的展开式中常数项为240,则a0+a2+a4+a6=.答案32解析二项式x2+2tx6的展开式的通项为Tr+1=C6rx2(6-r)(2t)rx-r=C6r(2t)rx12-3r,令r=4,得C6424t4=240,解得t=1.则(x+1)6=a0+a1x+a2x2+a6x6,分别令x=1和x=-1,得26=a0+a1+a2+a6,0=a0-a1+a2-+a6,两式左右两边分别相加得2(a0+a2+a4+a6)=26,故a0+a2+a4+a6=32.
