1、第四节直线与圆、圆与圆的位置关系A组基础题组1.直线kx+y-2=0(kR)与圆x2+y2+2x-2y+1=0的位置关系是() A.相交B.相切C.相离D.与k值有关答案D圆心为(-1,1),所以圆心到直线的距离为|-k+1-2|1+k2=|k+1|1+k2,所以直线与圆的位置关系和k值有关,故选D.2.与圆C1:x2+y2-6x+4y+12=0,C2:x2+y2-14x-2y+14=0都相切的直线有()A.1条B.2条C.3条D.4条答案A两圆分别化为标准形式,则C1:(x-3)2+(y+2)2=1,C2:(x-7)2+(y-1)2=36,则两圆圆心距|C1C2|=(7-3)2+1-(-2)
2、2=5,等于两圆半径差,故两圆内切.所以两圆只有一条公切线.故选A.3.已知圆的方程是x2+y2=1,则在y轴上截距为2的切线方程为()A.y=x+2 B.y=-x+2C.y=x+2或y=-x+2D.x=1或y=x+2答案C由题意知切线斜率存在,故设切线方程为y=kx+2,则2k2+1=1,所以k=1,故所求切线方程为y=x+2或y=-x+2.4.(2018湖南十四校二联,8)已知直线x-2y+a=0与圆O:x2+y2=2相交于A,B两点(O为坐标原点),且AOB为等腰直角三角形,则实数a的值为()A.6或-6 B.5或-5C.6 D.5答案B因为直线x-2y+a=0与圆O:x2+y2=2相交
3、于A,B两点(O为坐标原点),且AOB为等腰直角三角形,所以O到直线AB的距离为1,由点到直线的距离公式可得|a|12+(-2)2=1,所以a=5,故选B.5.(2018山东聊城模拟)圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点的个数为()A.1 B.2 C.3D.4答案C因为圆心为(3,3),半径为3,圆心到直线的距离为|33+43-11|5=23,所以直线与圆相交,由数形结合知,圆上到直线的距离为1的点有3个.6.若直线y=-12x-2与圆x2+y2-2x=15相交于点A,B,则弦AB的垂直平分线的方程为.答案y=2x-2解析圆的方程可整理为(x-1)2+y
4、2=16,所以圆心坐标为(1,0),半径r=4,易知弦AB的垂直平分线l过圆心,且与直线AB垂直,而kAB=-12,所以kl=2.由点斜式方程可得直线l的方程为y-0=2(x-1),即y=2x-2.7.过点P(-3,1),Q(a,0)的光线经x轴反射后与圆x2+y2=1相切,则a的值为.答案-53解析因为P(-3,1)关于x轴的对称点的坐标为P(-3,-1),所以直线PQ的方程为y=-1-3-a(x-a),即x-(3+a)y-a=0,易知圆心(0,0)到直线的距离d=|-a|12+(3+a)2=1,所以a=-53.8.(2018贵州贵阳一模,13)过点(1,2)的直线l将圆(x-2)2+y2=
5、4分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线l的斜率k=.答案22解析(1-2)2+(2)2=30,则Ca+52,a,圆C的方程为x-a+522+(y-a)2=(a-5)24+a2,由x-a+522+(y-a)2=(a-5)24+a2,y=2x,得xD=1,yD=2,ABCD=(5-a,-2a)-a-32,2-a=a2-2a-152+2a2-4a=0,a=3或a=-1,又a0,a=3,点A的横坐标为3.3.已知圆C:x2+(y-a)2=4,点A(1,0).(1)当过点A的圆C的切线存在时,求实数a的取值范围;(2)设AM,AN为圆C的两条切线,M,N为切点,当|MN|=455时,求MN所在直线
6、的方程.解析(1)过点A的切线存在,即点A在圆外或圆上,1+a24,a3或a-3.(2)设MN与AC交于点D,O为坐标原点.易知MNCD.|MN|=455,|DM|=255.又|MC|=2,|CD|=|MC|2-|DM|2=4-2025=45,cosMCA=|CD|MC|=452=25,cosMCA=|MC|AC|,|AC|=|MC|cosMCA=225=5,|OC|=2,|AM|=1,MN是以点A为圆心,1为半径的圆A与圆C的公共弦,圆A的方程为(x-1)2+y2=1,圆C的方程为x2+(y-2)2=4或x2+(y+2)2=4,MN所在直线的方程为(x-1)2+y2-1-x2-(y-2)2+
7、4=0,或(x-1)2+y2-1-x2-(y+2)2+4=0,即x-2y=0或x+2y=0,因此MN所在直线的方程为x-2y=0或x+2y=0.4.(2017豫北名校联考)已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等,求切线的方程;(2)从圆C外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求|PM|取得最小值时点P的坐标.解析(1)圆C的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=2,圆心为(-1,2),半径为2,易知切线斜率存在.圆C的切线在两坐标轴上的截距相等,当截距不为零时,直线斜率为-1,可设切线的方程为y=-
8、x+b,即x+y-b=0,|-1+2-b|2=2,解得b=-1或b=3,故切线的方程为x+y+1=0或x+y-3=0.当截距为零时,可设切线的方程为y=kx,即kx-y=0,|-k-2|k2+1=2,解得k=2+6或k=2-6,故切线的方程为y=(2+6)x或y=(2-6)x,综上可知,切线的方程为x+y+1=0或x+y-3=0或y=(2+6)x或y=(2-6)x.(2)|PM|=|PO|,|PO|取最小值时,|PM|也取最小值.切线PM与半径CM垂直,|PM|2=|PC|2-|CM|2,又|PM|=|PO|,|PC|2-|CM|2=|PO|2,(x1+1)2+(y1-2)2-2=x12+y12,2x1-4y1+3=0,即点P(x1,y1)在直线2x-4y+3=0上,|PO|的最小值等于点O到直线2x-4y+3=0的距离d,d=322+42=310 5.故|PO|取得最小值时,|PO|2=x12+y12=d2=35102=920,x12+y12=920,2x1-4y1+3=0,解得x1=-310,y1=35.所求P点坐标为-310,35.
