1、第三节三角函数的图象与性质A组基础题组1.函数y=|cos x|的一个单调增区间是()A.-2,2B.0,C.,32D.32,2答案D将y=cos x的图象位于x轴下方的部分关于x轴对称翻折到x轴上方,x轴上方(或x轴上)的图象不变,即得y=|cos x|的图象(如图).故选D.2.关于函数y=tan2x-3,下列说法正确的是()A.是奇函数B.在区间0,3上单调递减C.6,0为其图象的一个对称中心D.最小正周期为答案C函数y=tan2x-3是非奇非偶函数,A错;在区间0,3上单调递增,B错;最小正周期为2,D错;由2x-3=k2,kZ得x=k4+6,kZ,当k=0时,x=6,所以它的图象关于
2、点6,0对称,故选C.3.函数y=tan x+sin x-|tan x-sin x|在区间2,32内的图象是()答案Dy=tan x+sin x-|tan x-sin x|=2tanx,x2,2sinx,x,32,故选D.4.函数f(x)=2sin(x+)(0)对任意x都有f6+x=f6-x,则f6的值为()A.2或0B.-2或2C.0D.-2或0答案B因为函数f(x)=2sin(x+)对任意x都有f6+x=f6-x,所以该函数图象关于直线x=6对称,因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值,所以选B.5.(2019安徽宿州质检)若函数f(x)=3sin(2x+)+cos(2x+)为奇函数,
3、且在-4,0上为减函数,则的一个值为()A.-3B.-6C.23D.56答案D由题意得f(x)=3sin(2x+)+cos(2x+)=2sin2x+6.函数f(x)为奇函数,+6=k,kZ,故=-6+k,kZ.当=-6时, f(x)=2sin 2x,在-4,0上为增函数,不合题意.当=56时, f(x)=-2sin 2x,在-4,0上为减函数,符合题意.故选D.6.函数y=cos2x+sin x|x|4的最小值为.答案1-22解析令t=sin x,|x|4,t-22,22.y=-t2+t+1=-t-122+54,当t=-22时,ymin=1-22.7.已知函数f(x)=2sinx-6+1(xR
4、)的图象的一条对称轴为x=,其中为常数,且(1,2),则函数f(x)的最小正周期为.答案65解析由函数f(x)=2sinx-6+1(xR)的图象的一条对称轴为x=,可得-6=k+2,kZ,=k+23,又(1,2),=53,从而得函数f(x)的最小正周期为253=65.8.已知f(x)=2sin2x+4.(1)求函数f(x)图象的对称轴方程;(2)求f(x)的单调递增区间;(3)当x4,34时,求函数f(x)的最大值和最小值.解析(1)f(x)=2sin2x+4,令2x+4=k+2,kZ,得x=k2+8,kZ.所以函数f(x)图象的对称轴方程是x=k2+8,kZ.(2)令2k-22x+42k+2
5、,kZ,得k-38xk+8,kZ.故f(x)的单调递增区间为k-38,k+8,kZ.(3)当x4,34时,342x+474,所以-1sin2x+422,所以-2f(x)1,所以当x4,34时,函数f(x)的最大值为1,最小值为-2.9.(2018北京,16,13分)已知函数f(x)=sin2x+3sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)若f(x)在区间-3,m上的最大值为32,求m的最小值.解析(1)f(x)=12-12cos 2x+32sin 2x=sin2x-6+12.所以f(x)的最小正周期为T=22=.(2)由(1)知f(x)=sin2x-6+12.由题意知-3xm.
6、所以-562x-62m-6.要使得f(x)在-3,m上的最大值为32,即sin2x-6在-3,m上的最大值为1.所以2m-62,即m3.所以m的最小值为3.B组提升题组1.(2018山西晋城一模)已知函数f(x)=2sinx+3的图象的一个对称中心为3,0,其中为常数,且(1,3).若对任意的实数x,总有f(x1)f(x)f(x2),则|x1-x2|的最小值是() A.1B.2C.2D.答案B函数f(x)=2sinx+3的图象的一个对称中心为3,0,3+3=k,kZ,=3k-1,kZ,由(1,3),得=2.由题意得|x1-x2|的最小值为函数的半个周期,即T2=2.2.(2019四川成都模拟)
7、设函数f(x)=sin2x+3.若x1x20)的最小正周期为.(1)求函数f(x)的单调递减区间;(2)若f(x)22,求x的取值集合.解析(1)f(x)=3cos2x+sin xcos x-32=32(1+cos 2x)+12sin 2x-32=32cos 2x+12sin 2x=sin2x+3.因为最小正周期为22=,所以=1,故f(x)=sin2x+3.由2+2k2x+332+2k,kZ,得12+kx712+k,kZ,所以函数f(x)的单调递减区间为12+k,712+k,kZ.(2)f(x)22,即sin2x+322,由正弦函数的性质得4+2k2x+334+2k,kZ,解得-24+kx524+k,kZ,则x的取值集合为x|-24+kx0时,2a+a+b=8,b=5,所以a=32-3,b=5.当a0时,b=8,2a+a+b=5,所以a=3-32,b=8.综上所述,a=32-3,b=5或a=3-32,b=8.
