1、1.了解平面向量的基本定理及其意义 2掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 3会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 4理解用坐标表示的平面向量共线的条件.第二章 平面向量 第2.4节 平面向量的坐标表示 平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个 的向量，那么对于这一平面内的任意向量a，一对实数1，2，使a1e12e2.其中，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 提示：(1)该平面内的任意向量a都可用e1、e2线性表示，且这种表示是唯一的(2)对基底的选取不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为一组基底 不共线有且只有不共线的向量e1、e21平面向量的坐标表示(1)在平面
2、直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使axiyj，把有序数对 叫做向量a的坐标，记作a，其中叫a在x轴上的坐标，叫a在y轴上的坐标(2)设xiyj，即若(x，y)，则A点坐标为，反之亦成立(O是坐标原点)(x，y)(x，y)xy(x，y)2平面向量的坐标运算(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab ，ab (2)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，(3)若a(x，y)，为实数，则a ；当 时，表示a方向的单位向量(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)(x2x1，y2y1)(x，y)a3提示
3、：向量的坐标与点的坐标的表示形式是不同的，向量的坐标的表示形式是先写上向量的名称，再写上等号，然后写上它的坐标，如a(x，y)；而点的坐标的表示形式中，点的名称和它的坐标之间不能写等号，如A(x，y)4平面向量共线的坐标表示 设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，则a与b共线 ab .【思考】若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件 能不能写成 x1y2x2y10答案：不能因为x2，y2有可能为0，故应表示成x1y2x2y10.3(2009重庆高考)已知向量a(1,1)，b(2，x)，若ab与4b2a平行，则实数x的值是()A2B0C1D2 解析：ab(3，x1),4b
4、2a(6,4x2)，3(4x2)6(x1)0，解得x2.答案：D 4设向量a(1,2)，b(2,3)若向量ab与向量c(4，7)共线，则_.解析：由题意得ab(1,2)(2,3)(2,23)又ab与c共线，因此有(2)(7)(23)(4)0，由此解得2.答案：2 利用平面向量基本定理表示向量时，要选择一组恰当的基底来表示其他向量，即用特殊向量表示一般向量【例1】如右图所示，在平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已经试用c，d表示 解：解法一：设 思维点拨：直接用c，d表示有难度，可换一个角度，由表示 解法二：设因M，N分别为CD，BC中点，所以 因而 即(2dc)，(2cd)变
5、式1：如右图，平面内有三个向量其中的夹角为120，的夹角为30，且 则的值为_ 解析：如右图，在OCD中，COD=30，OCD=COB=90，可求=4，=2，+=6.答案：6 巩固训练【方法规律】1平面向量的基本定理揭示了同一平面内，任意三个向量之间的关系，即其中任意一个向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合特别地，A、B、P三点共线的充要条件是且当P为AB中点时，利用此结论可帮助简化运算解题时应仔细分析题设条件与所求问题的关系，选择恰当的基底，寻找封闭图形得到向量等式 2引入平面向量的坐标可使向量运算完全代数化，成了数与形结合的载体 向量的坐标表示，实际是向量的代数表示在引入向量的坐标表示后，即可使 向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合了起来要注意：(1)向量坐标可以 运算，但点的坐标不能进行运算(2)已知向量的始点和终点坐标求向量的坐标 时要搞清方向，用终点的坐标减去起点坐标.
