1、【课标要求】1.会利用诱导公式，通过图像平移得到余弦函数的图像.2.会用五点法画出余弦函数在0,2上的图像.3.掌握余弦函数的性质及应用.自主学习 基础认识|新知预习|1余弦函数图像的画法(1)变换法：ysinx 图像向左平移2个单位即得 ycosx 的图像(2)五点法：利用五个关键点(0,1)，2，0，(，1)，32，0，(2，1)画出0,2上的图像，再左右扩展即可2余弦函数的性质函数性质 余弦函数 ycosx 图像 定义域R值域1,1 最值当 x2k(kZ)时，ymax1当 x(2k1)(kZ)时，ymin1周期性是周期函数，最小正周期为 2奇偶性是偶函数，图像关于 y 轴对称 单调性在(
2、2k1)，2k(kZ)上是递增的在2k，(2k1)(kZ)上是递减的|自我尝试|1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)余弦函数 ycosx 是偶函数，图像关于 y 轴对称，对称轴有无数多条()(2)余弦函数 ycosx 的图像既是轴对称图形，也是中心对称图形()(3)函数 yacosx(a0)的最大值为 a，最小值为a.()(4)函数 ycosx(xR)的图像向左平移2个单位长度后，得到函数 yg(x)的图像，则 g(x)sinx.()2下列对函数 ycosx 的图象描述错误的是()A在0,2和4，6上的图象形状相同，只是位置不同B介于直线 y1 与直线 y1 之间C关于 x 轴对称D
3、与 y 轴只有一个交点解析：观察余弦函数的图象知：ycosx 关于 y 轴对称，故 C错误 答案：C3用“五点法”作出函数 y3cosx 的图像，下列点中不属于五点作图中的五个关键点的是()A(，1)B(0,2)C.2，3D.32，3解析：由五点作图法知五个关键点分别为(0,2)，2，3，(，4)，32，3，(2，2)答案：A4函数 y3cosx2 的值域为()A1,5 B5,1C1,1 D3,1解析：因为1cosx1，所以13cosx25.答案：A5已知函数 y34cosx，x0,2，则其递增区间为_解析：当 x0,2时，函数 ycosx 在0，上是减函数，在，2上是增函数，所以函数 y34
4、cosx 在0，上是增函数，在，2上是减函数 答案：0，课堂探究 互动讲练类型一用“五点法”作三角函数的图象例 1 用“五点法”作出下列函数的简图：y1cosx，x0,2【解】列表：x02322 cosx101011cosx01210描点连线，其图象如图所示：方法归纳 跟踪训练 1 画出函数 y32cosx 的简图解：(1)列表，如下表所示 x02322 ycosx10101y32cosx53135(2)描点，连线，如图所示：类型二与余弦函数有关的定义域问题例 2 求下列函数的定义域(1)f(x)2cosx1；(2)f(x)log2(12cosx)9x2.【解】(1)要使 y 2cosx1有意
5、义，则必须满足 2cosx10，即 cosx12.结 合 余 弦 函 数 的 图 像 得y 2cosx1 的 定 义 域 为x2k23 x2k23，kZ.(2)要使函数有意义，则12cosx0，9x20，即cosx12，x29，cosx12的解集为x32kx32k，kZ，x29 的解集为x|3x3，取交集得x3x0，cosx 22，故所求定义域为 x2k4x2k4，kZ.类型三余弦函数的单调性及应用例 3(1)函数 y12cosx 的单调增区间是_；(2)比较大小 cos263 _cos133 .【思路点拨】(1)y12cosx 的单调性与 ycosx 的单调性相同，与 ycosx 的单调性相
6、反(2)利用诱导公式将所给角转化到同一单调区间上比较 2k，2k【解析】(1)由于 ycosx 的单调减区间为2k，2k(kZ)，所以函数 y12cosx 的增区间为2k，2k(kZ)(2)由于 cos263 cos823 cos23，cos133cos133cos43 cos3，ycosx 在0，上是减少的 由3cos23，即 cos263 0 时，其单调性同 ycosx 的单调性一致；当 a0 时，其单调性同 ycosx 的单调性恰好相反(2)比较 cos 与 cos 的大小时，可利用诱导公式化为0，内的余弦函数值来进行跟踪训练 3(1)比较大小：cos235 与 cos174 ；(2)求
7、函数 ylog 12(cos2x)的增区间解析：(1)cos235 cos235 cos435 cos35，cos174 cos174 cos44 cos4.0435，且 ycosx 在0，上递减，cos35 cos4，即 cos235 0 且 ycos2x 递减 x 只须满足：2k2x2k2，kZ，kxk4，kZ，ylog 12(cos2x)的增区间为k，k4，kZ.类型四余弦函数值域(最值)例 4 求下列函数的最值(1)ycos2xcosx；(2)y3cos2x4cosx1，x3，23.【解】(1)ycosx12214.1cosx1，当 cosx12时，ymax14.当 cosx1 时，y
8、min2.函数 ycos2xcosx 的最大值为14，最小值为2.(2)y3cos2x4cosx1 3cosx23213.x3，23，cosx12，12，从而当 cosx12，即 x23 时，ymax154；当 cosx12，即 x3时，ymin14.函数在区间3，23 上的最大值为154，最小值为14.方法归纳 求值域或最大值、最小值问题，一般依据为：(1)sinx，cosx 的有界性；(2)sinx，cosx 的单调性；(3)化为 sinxf(x)或 cosxf(x)，利用|f(x)|1 来确定；(4)通过换元转化为二次函数跟踪训练 4 求下列函数的值域(1)y2cosx1；(2)ycos
9、2x3cosx2.解析：(1)1cosx1，22cosx2，32cosx11.函数 y2cosx1 的值域为3,1(2)令 tcosx，xR，t1,1 原函数可化为 yt23t2t32214，易知该二次函数的图像开口向上，且对称轴为直线 t32，t1,1为二次函数的单调递减区间 t1 时，ymax6；t1 时，ymin0.函数 ycos2x3cosx2 的值域为0,6|素养提升|1余弦函数性质与图像的关系(1)余弦函数性质的研究可以类比正弦函数的研究方法(2)余弦函数的性质可以由图像直接观察，但要经过解析式或单位圆推导才能下结论即数形结合思想的运用2余弦函数的对称性(1)余弦函数是中心对称图形
10、，其所有的对称中心坐标为k2，0(kZ)，即余弦曲线与 x 轴的交点，此时的余弦值为 0.(2)余弦曲线是轴对称图形，其所有的对称轴方程为 xk(kZ)，即对称轴一定过余弦曲线的最高点或最低点，此时余弦值取得最大值或最小值3余弦函数的周期性类比正弦函数的周期性，余弦函数的最小正周期为 2，余弦函数的周期不唯一，2k(kZ，且 k0,1)也是余弦函数的周期，根据诱导公式 cos(x2k)cosx(kZ)，容易得出4对余弦函数最值的两点说明(1)明确余弦函数的有界性，即1cosx1.(2)对有些函数，其最值不一定是 1 或1，要依赖函数定义域来决定|巩固提升|1函数 f(x)cosx4 的图象的一条对称轴是()Ax4 Bx2Cx4 Dx2解析：作出函数 f(x)cosx4 的图像(图略)，由图像知，其一条对称轴是 x4.答案：A2函数 f(x)3sin23x152是()A周期为 3 的偶函数B周期为 2 的偶函数C周期为 3 的奇函数D周期为43 的偶函数解析：f(x)3sin23x1523sin23x32 3cos23x，f(x)为偶函数，且 T2233.答案：A3函数 y 2cosx 2的定义域是_解析：要使函数有意义，只需 2cosx 20，即 cosx 22.由余弦函数图像知(如图)，所求定义域为42k，42k，kZ.答案：42k，42k，kZ