1、第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.1 两角差的余弦公式 两角差的余弦公式公式cos(-)=_简记符号_使用条件，都是_coscos+sinsinC(-)任意角1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)存在角，使cos()=cos cos.()(2)对于任意角，总有cos()=cos cos.()(3)对于任意角，总有cos()=cos cos cos cos.()【解析】(1)正确.如cos(060)=cos0-cos60.(2)错误.对于任意角，总有cos()=coscos+sinsin.(3)错误.理由与(2)相同.答案：(1)(2)(3)2.做一做
2、(请把正确的答案写在横线上)(1)cos175cos55+sin175sin55=.(2)不查表求值cos105=.(3)已知sin=，()，则cos()=.15,2 3【解析】(1)cos 175cos 55+sin 175sin 55=cos(17555)=cos 120=.答案：(2)cos 105=cos15045=cos 150cos 45+sin 150sin 45 答案：1212321226().22224264(3)因为sin=,(,),所以cos=所以cos(-)=cos cos +sin sin 答案：152212 61 sin1.255 3332 61133 2 6.52
3、52103 2 610【要点探究】知 识 点 两角差的余弦公式对公式C(-)的三点说明(1)公式的结构特点公式的左边是差角的余弦,右边的式子是含有同名函数之积的和式,可用口诀“余余正正号相反”记忆公式.(2)公式的适用条件公式中的,不仅可以是任意具体的角,也可以是一个“团体”,如中的“”相当于公式中的角,“”相当于公式中的角.cos()22 2 2(3)公式的“活”用公式的运用要“活”，体现在顺用、逆用、变用.而变用又涉及两个方面：公式本身的变用，如cos()cos cos=sin sin.角的变用，也称为角的变换，如cos=cos(+)，cos 2=cos(+)().【微思考】(1)根据公式
4、C()，要计算cos()需要计算哪些量？提示：需要计算cos，cos，sin，sin 四个量.(2)若或中有(kZ)的形式，计算cos()时除了用公式C()之外，还可以用什么方法？哪种方法更简洁？提示：还可以用诱导公式.用诱导公式更简洁.k2【即时练】1.cos 345的值等于()【解析】选C.cos 345cos(15360)cos(15)cos 15cos(4530)cos 45cos 30 sin 45sin 30 26622626A.B.C.D4444232162.222242.cos(+21)cos(24)+sin(+21)sin(24)=_.【解析】cos(+21)cos(24)+
5、sin(+21)sin(24)=cos(+21)(24)=cos 45=.答案：2222【题型示范】类型一 给值(角)的求值问题【典例1】(1)已知cos=，则cos()=()(2)的值是()(3)(2013淮北高一检测)设12133(,)2，417 27 27 217 2A.B.C.D.262626262cos 10sin 20sin 7013A.B.C.3D.2221cos()29 ，2sin()()(0cos.23222 ，其中，)，求【解题探究】1.题(1)中，要求cos()需要知道哪些量？计算未知量时，要特别注意什么？2.题(2)中，10，20，70三个角可以通过哪些公式联系起来？3
6、.题(3)中，已知角 与所求角 有什么关系？42 2，2【探究提示】1.要求cos()需要知道cos，cos sin，sin 四个量.计算未知量时，要特别注意的取值 范围.2.cos 10=cos(3020)，sin 70=cos 20.3.4,44().222 )(【自主解答】(1)选A.因为cos=，所以sin=所以cos()=cos cos +sin sin 12133(,),2221251 cos1),1313 (4441225217 2.13213226 2cos(3020)sin 202C.sin 702(cos 30 cos 20sin 30 sin 20)sin 20sin 7
7、0(3cos 20sin 20)sin 203cos 203.sin 70cos 20 选原式 3()(022()()2424 212cos()sin()2923 因为，)，所以，因为，2214 5sin()1 cos()1.2281945cos()1 sin()1.2293coscos()()222cos()cos()sin()sin()2222154 527 5.939327 所以所以【方法技巧】给值求值问题的解题策略(1)从角的关系中找解题思路 已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.(2)常见角的变换
8、=(-)+；=2=(+)+(-)；2=(+)-(-).22 ；【变式训练】求sin 167sin 223sin 257sin 313的值【解题指南】解答本题要首先利用诱导公式将已知角转化为锐角，然后利用两角差的余弦公式计算.【解析】原式sin(18013)sin(18043)sin(18077)sin(36047)sin 13sin 43sin 77sin 47 sin 13sin 43cos 13cos 43 cos(1343)cos(30)3.2【补偿训练】设(0，)，若sin ，求cos()的值【解析】因为(0，)，sin ，所以cos 所以 cos()(cos cos sin sin
9、)cos sin 2352423545，24244437.555 类型二 给值求角问题【典例2】(1)已知，均为锐角，且cos=，cos=则-=_.(2)(2014南昌高一检测)已知cos=,cos()=且0 ,求的值.2 5510,101713,142【解题探究】1.题(1)中，角的取值范围是什么？要计算此角，首先计算该角的哪个三角函数值？2.题(2)中，已知角，与所求角有什么关系？【探究提示】1.题(1)中，-0,因为y=cos x在(-,0)上是增函数，所以要计算此角，首先计算该角的余弦值.2.题(2)中，=-(-).22【自主解答】(1)因为，均为锐角，所以sin=,sin=所以cos
10、(-)=cos cos+sin sin 又sin sin，所以0 ，所以-0.故-=-.答案：-553 1010，2 51053 102.51051022244(2)由cos ，0 得sin 由0 ，得0 .又因为cos()所以sin()由()得 cos cos()cos cos()sin sin()172，2214 31 cos1()77，221314，22133 31 cos1(),1414 1134 33 31.71471423，所以【延伸探究】题(2)中，若cos=，cos(+)=求的值.551010，【解析】因为0 ，所以0+，由cos=，cos(+)=得sin=，sin(+)=所以
11、cos cos(+)cos(+)cos sin(+)sin 2551010，2 553 1010，1053 102 52.10510524，所以【方法技巧】解给值求角问题的一般步骤(1)求角的某一个三角函数值.(2)确定角的范围.(3)根据角的范围写出所求的角.【变式训练】已知sin+sin=,cos+cos=,0，求-的值.【解题指南】首先将已知两个等式平方后相加，然后利用同角三角函数的平方关系和两角差的余弦公式求cos(-)，再求-.3545【解析】因为(sin+sin)2=()2,(cos+cos)2=()2,以上两式展开两边分别相加得2+2cos(-)=1,所以cos(-)=所以0，-
12、0，所以-=35451.22.3【补偿训练】已知cos(-)=-，cos(+)=,且-(,),+(,2)，求角的值.【解题指南】先求cos 2的值，再求2，进而求.12131213232【解析】由-(,)，且cos(-)=-，得sin(-)=由+(,2)，且cos(+)=得sin(+)=cos 2=cos(+)-(-)=cos(+)cos(-)+sin(+)sin(-)212135.13321213，513，121255()()1.13131313 又因为-(,)，+(,2),所以2(,),所以2=,则=232232.2【易错误区】求三角函数值时忽视角的取值范围致误【典例】(2014荆州高一检
13、测)若,(,)，sin(+)=，sin()=，则cos(+)的值等于()34354121345656516A.BCD65651365.【解析】选A.因为,(,)，所以+()，.由sin(+)=，得 cos(+)=由sin()=得cos()=3443,2243(,)243522341 sin1)55 (，41213，21 sin()4 212511313()，所以 =cos(+)cos()+sin(+)sin()cos()cos()44 444531256()().51351365【常见误区】错解 错因剖析 选D 若在处忽视角+，的范围的计算，则会导致后面由正弦值计算余弦值时符号选择 出错，进而
14、计算cos(+)出错 选B 若忽视已知角+，和所求角+之 间的关系，则无法在处进行恰当的变形，导 致计算cos(+)出错 44444【防范措施】1.重视角的范围的计算 应用两角差的余弦公式计算三角函数值时，经常由正(余)弦 值计算余(正)弦值，此时要特别注意计算角的范围，从而判 断终边位置.如本例中，由+知+，分别是第四、二象限角，这两个角的余弦值分别为正数和负数.33(,2)(,)2424，42.注意拆角、凑角方法的应用 应用两角差的余弦公式计算三角函数值时，分析已知角与 所求角的关系是探究解题思路的关键.如本例中，注意到+=(+)()，就自然想到解题思路.44【类题试解】(2013焦作高一检测)已知sin则cos 的值是()()6 355 36 ，34 343 32 3332 3A.B.C.D.101055【解析】选A.因为 所以 所以 536 ，.26 24cos()1 sin().665 cos cos()66cos()cos sin()sin6666433134 3.525210 所以
