1、第9讲立体几何的综合问题1.设,是三个不同的平面,m,n是两条不同的直线,在命题“=m,n,且,则mn”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题.,n;m,n;n,m.可以填入的条件有.2.(2019课标全国理改编,7,5分)设,为两个平面,则的充要条件是.内有无数条直线与平行;内有两条相交直线与平行;,平行于同一条直线;,垂直于同一平面.3.如图,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,把ABD和ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:BDAC;BAC是等边三角形;三棱锥D-ABC是正三棱锥;平面ADC平面ABC.其中正确的是.4.将一个真命题中的“平面
2、”换成“直线”,“直线”换成“平面”后仍是真命题,则该命题称为“可换命题”.给出下列四个命题:垂直于同一平面的两直线平行;垂直于同一平面的两平面平行;平行于同一直线的两直线平行;平行于同一平面的两直线平行.其中是“可换命题”的是.5.(2019无锡期末,16)如图,在四棱锥P-ABCD中,锐角三角形PAD所在平面垂直于平面PAB,ABAD,ABBC.求证:(1)BC平面PAD;(2)平面PAD平面ABCD.6.(2019课标全国文,17,12分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BEEC1.(1)证明:BE平面EB1C1;(2)若AE=A1E,AB
3、=3,求四棱锥E-BB1C1C的体积.答案精解精析1.答案或解析由面面平行的性质定理可知,正确;当n,m时,因为n和m在同一平面内,且没有公共点,所以mn,故正确.2.答案解析本题考查直线、平面平行与垂直的位置关系;以充要条件和面面平行为背景考查推理论证能力与空间想象能力;考查的核心素养为逻辑推理.选项中与可能相交.3.答案解析由题意知,BD平面ADC,故BDAC,正确;由AD为等腰直角三角形ABC斜边BC上的高,平面ABD平面ACD,易知,AB=AC=BC,所以BAC是等边三角形,正确;易知DA=DB=DC,又BAC为等边三角形,则正确;不能得出平面ADC平面ABC,错.4.答案解析由线面垂
4、直的性质定理可知是真命题,且垂直于同一直线的两平面平行也是真命题,故是“可换命题”;因为垂直于同一平面的两平面可能平行或相交,所以是假命题,不是“可换命题”;显然,是真命题,且平行于同一平面的两平面平行也是真命题,故是“可换命题”;因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面,故是假命题,不是“可换命题”.综上,填.5.证明(1)在四边形ABCD中,ABAD,ABBC,ADBC,AD平面PAD,BC平面PAD,BC平面PAD.(2)作DEPA于点E.平面PAD平面PAB,平面PAD平面PAB=PA,DE平面PAD,DE平面PAB,AB平面PAB,DEAB.ABAD,ADDE=D,AB平面PAD,AB平面ABCD,平面PAD平面ABCD.6.解析本题考查了长方体的性质、直线与平面垂直的判定与性质和锥体的体积,考查了空间想象能力,主要体现了逻辑推理和直观想象的核心素养.(1)由已知得B1C1平面ABB1A1,BE平面ABB1A1,故B1C1BE.又BEEC1,所以BE平面EB1C1.(2)由(1)知BEB1=90.由题设知RtABERtA1B1E,所以AEB=A1EB1=45,故AE=AB=3,AA1=2AE=6.作EFBB1,垂足为F,如图,则EF平面BB1C1C,且EF=AB=3.所以,四棱锥E-BB1C1C的体积V=13363=18.
