1、第5讲三个“二次”的问题1.若定义在R上的二次函数f(x)=ax2-4ax+b(a0)在区间0,2上是增函数,且f(m)f(0),则实数m的取值范围是.2.已知不等式x2-2x+k2-30对一切实数x恒成立,则实数k的取值范围是.3.(2018江苏徐州模拟)不等式2x2-x-21的解集为.4.(2018江苏南通中学模拟)某小型服装厂生产一种风衣,日销货量x件(xN*)与货价p元/件之间的关系为p=160-2x,生产x件所需成本为C=(500+30x)元.要使日获利不少于1 300元,则该厂日产量的最小值为件.5.已知函数f(x)=ln|x|-x-2,则关于a的不等式f(2a-1)-f(a)f(
2、x2+2)的解集为.8.(2018泰州中学高三检测)设函数f(x)=x2-2ax+15-2a的两个零点分别为x1,x2,且在区间(x1,x2)上恰好有两个正整数,则实数a的取值范围是.9.(2018徐州铜山高三第三次模拟)设函数f(x)=x2,x1,2x-1,x1,则满足f(f(a)0,c0)的图象与x轴有两个不同的公共点,且f(c)=0,当0x0.(1)当a=13,c=2时,求不等式f(x)0的解集;(2)若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8,且ac=12,求a,c的值;(3)若f(0)=1,且f(x)m2-2m+1对所有x0,c 恒成立,求正实数m的最小值.答案精解
3、精析1.答案0,4解析由题意知函数图象的对称轴为直线x=2,又f(x)在0,2上为增函数,所以a0,借助函数图象可得0m4.2.答案(-,-2)(2,+)解析由已知得函数y=x2-2x+k2-3的图象位于x轴上方,则=4-4(k2-3)2或k-2.3.答案(-1,2)解析2x2-x-21x2-x-20,解得-1x2,故解集为(-1,2).4.答案20解析由题意可得px-C1 300,即(160-2x)x-(500+30x)1 300,化简得x2-65x+9000,解得20x45,故该厂日产量的最小值为20件.5.答案a|13a0时, f(x)=ln x-x-2单调递增,则不等式f(2a-1)-
4、f(a)0f(2a-1)f(a)f(|2a-1|)f(|a|)0|2a-1|a|,即2a-10,(2a-1)2a2,解得13a1且a12.6.答案(0,+)-2解析当x3时,原方程可变形为x2-6x+(a-2)(x-3)-2a+9=0,整理得x2+(a-8)x-5a+15=0,即(x-5)(x+a-3)=0,所以x1=5,x2=3-a;当x3时,原方程可变形为x2-6x+(a-2)(3-x)-2a+9=0,整理得x2-(a+4)x+a+3=0,即(x-1)(x-a-3)=0,所以x3=1,x4=3+a.因为x1=5和x3=1是原方程的根,所以原方程有两个不同的实数根,必须满足3-a0或a=-2
5、.7.答案(-2,-1)(1,2)解析f(x)为R上的偶函数,且在0,+)上为增函数,f(3x)f(x2+2)等价于f(|3x|)f(|x2+2|),|3x|x2+2,x2-3|x|+20,(|x|-1)(|x|-2)0,1|x|2,1x2或-2x0,解得a3.当a0,x(0,+)恒成立,不适合题意;当a3时, f(3)=24-8a3,所以区间(x1,x2)上的两个正整数是3和4,则f(4)=31-10a0,f(2)=19-6a0,f(5)=40-12a0,解得3110a196.9.答案a1解析令f(a)=t,不等式f(t)t2t1,t2t2或t1,2t-1t2,解得t1,即f(a)1,则a1
6、,a21或a1,2a-11,解得a0恒成立.当a0时,得a0且=16a2-24a0,0a32;当a=0时, f(x)=log26,显然f(x)的定义域为R成立.综上可得a的取值范围为0,32.11.解析(1)当a=13,c=2时, f(x)=13x2+bx+2.又f(2)=0,所以f(x)=0的一个根为x=2,设另一个根为x=x1,则2x1=6,即x1=3.所以f(x)0的解集为(2,3).(2)因为函数f(x)的图象与x轴有两个交点,即方程f(x)=0有两个不相等的实根,又f(c)=0,所以设另一个根为x=x2,则有cx2=ca,于是x2=1a,则函数f(x)的图象与坐标轴的三个交点为(c,0),1a,0,(0,c).因为当0x0,所以x2=1ac,则以这三个交点为顶点的三角形的面积为121a-cc=8,又ac=12,所以a=18,c=4.(3)由(2)知f(x)的两个零点为1a,c,且1ac.又a0,所以f(x)在0,c上是单调递减的,所以当x0,c时, f(x)在x=0处取到最大值,为f(0)=1.要使f(x)m2-2m+1对所有x0,c恒成立,需m2-2m+11,即m2-2m0,解得m2或m0.又m0,所以m2,则m的最小值为2.
