1、3.带电粒子在匀强磁场中的运动必备知识自主学习一、带电粒子在匀强磁场中的运动1用洛伦兹力演示仪观察运动电子在磁场中运动：实验操作轨迹特点不加磁场时电子束的径迹是_给励磁线圈通电后电子束的径迹是_保持电子速度不变，改变磁感应强度 磁感应强度越大，轨迹半径_保持磁感应强度不变，改变电子速度 电子速度越大，轨迹半径_直线 圆周 越小 越大 2.洛伦兹力的作用效果：(1)洛伦兹力只改变带电粒子速度的_，不改变带电粒子速度的_。(2)洛伦兹力不对带电粒子_，不改变粒子的能量。方向大小做功二、带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期1带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的向心力由洛伦兹力提供：_。2带电粒子做
2、圆周运动的轨道半径和周期：(1)轨道半径：_。粒子的轨道半径与粒子的速率成正比(2)运动周期：_。带电粒子的周期与轨道半径和速度无关，而与成反比。qm2vvqB=m rmvr=qB2 r2 mT=vqB(1)运动电荷在磁感应强度不为零的地方，一定受到洛伦兹力的作用。()(2)运动电荷在某处不受洛伦兹力的作用，则该处的磁感应强度一定为零。()(3)用左手定则判断洛伦兹力的方向时，“四指的指向”与电荷定向移动方向相同。()(4)电视显像管是靠磁场使电子束发生偏转的。()(5)磁感应强度的大小 BFIl。()关键能力合作学习知识点一 带电粒子在匀强磁场中的圆周运动1圆周运动的基本公式：(1)由公式
3、rmvqB 可知：半径 r 与比荷qm 成反比，与速度 v 成正比，与磁感应强度 B成反比。(2)由公式 T2mqB 可知：周期 T 与速度 v、半径 r 无关，与比荷qm 成反比，与磁感应强度 B 成反比。2圆周运动分析：(1)圆心的确定方法方法 1：若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，则可根据洛伦兹力 Fv，分别确定两点处洛伦兹力 F 的方向，其交点即为圆心，如图(a)；方法 2：若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，则可作出此两点的连线(即过这两点的圆弧的弦)的中垂线，中垂线与垂线的交点即为圆心，如图(b)。(2)半径的计算方法方法 1：由物理方法求：半径 RmvqB；方法 2
4、：由几何方法求：一般由数学知识(勾股定理、三角函数等)计算来确定。(3)时间的计算方法方法 1：由圆心角求：t 2 T；方法 2：由弧长求：tsv。(4)带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的解题三步法：(5)圆心角与偏向角、圆周角的关系两个结论带电粒子射出磁场的速度方向与射入磁场的速度方向之间的夹角 叫作偏向角，偏向角等于圆弧PM 对应的圆心角，即，如图所示。圆弧 PM 所对应圆心角 等于弦PM与切线的夹角(弦切角)的 2 倍，即 2，如图所示。电子以某一速度进入洛伦兹力演示仪中。(1)励磁线圈通电前后电子的运动情况相同吗？提示：通电前，电子做匀速直线运动。通电后，电子做匀速圆周运动。(2)电子在
5、洛伦兹力演示仪中做匀速圆周运动时，什么力提供向心力？提示：洛伦兹力提供向心力。【典例】如图所示，在第象限内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一对正、负电子分别以相同速率沿与 x 轴正方向成 30角的方向从原点射入磁场，则正、负电子在磁场中运动的时间之比为()A12 B21C1 3D11【解析】选 B。画出正、负电子在磁场中运动的轨迹如图所示。由图可知，正电子做匀速圆周运动在磁场中的圆弧轨迹对应的圆心角为 120，负电子做匀速圆周运动在磁场中的圆弧轨迹对应的圆心角为 60，又正、负电子在磁场中做匀速圆周运动的周期 T2mBq相同，故正、负电子在磁场中运动的时间之比为 21，故选 B。(2019全国卷)
6、如图，在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为12 B和 B、方向均垂直于纸面向外的匀强磁场。一质量为 m、电荷量为 q(q0)的粒子垂直于 x 轴射入第二象限，随后垂直于 y 轴进入第一象限，最后经过 x 轴离开第一象限。粒子在磁场中运动的时间为()A5m6qBB7m6qBC11m6qBD13m6qB【解析】选 B。带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由 RmvqB 可知，第一象限粒子的运动半径是第二象限的运动半径的二倍，整个运动轨迹如图：即运动由两部分组成，第一部分是14 个周期，第二部分是16 个周期，故总时间 t14 2mqB 16 2mqB27m6qB，故 B 正确。【加固训练
7、】1(多选)两个粒子电荷量相同，在同一匀强磁场中受磁场力而做匀速圆周运动()A若速率相等，则半径必相等B若动能相等，则周期必相等C若质量相等，则周期必相等D若质量与速度的乘积大小相等，则半径必相等【解析】选 C、D。因为粒子在磁场中做圆周运动的半径 rmvqB，周期 T2mqB，又粒子电荷量相同且在同一磁场中，所以 q、B 相等，r 与 m、v 有关，T 只与 m 有关，所以 C、D 正确。2(多选)矩形 ABCD 区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，AB2d，BC 3 d，E 为 AB 的中点。从 E 点沿垂直 AB 方向射入粒子 a，粒子 a 经磁场偏转后从 D 点射出磁场，若仍从 E 点沿
8、垂直 AB 方向射入粒子 b，粒子 b 经磁场偏转后从 B 点射出磁场，已知 a、b 粒子的质量相等，电荷量相等，不计粒子的重力，则()A.a、b 粒子均带正电Ba、b 粒子在磁场中做圆周运动的半径之比为 41 Ca、b 粒子在磁场中运动的速度大小之比为 21Da、b 粒子在磁场中运动的时间之比为 13【解析】选 B、D。两粒子在磁场中做圆周运动的轨迹如图所示，根据左手定则可以判断，b 粒子带负电，A 项错误；设粒子 a 的运动半径为 r1，粒子 b 的运动半径为 r2，根据几何关系可知，(r1d)2(3 d)2r21，解得 r12d，r212 d，因此r1r2 41，B 项正确；根据牛顿第二
9、定律 qvBmv2r，得 vqBrm，得到v1v2 41，C 项错误；由 T2mqB 可知，两粒子在磁场中做圆周运动的周期相同，由几何关系可知，a、b粒子在磁场中做圆周运动的轨迹所对的圆心角分别为 60、180，由此可知，a、b 两粒子在磁场中运动的时间之比为 13。D 项正确。知识点二 带电粒子在有界磁场中的运动轨迹特点1直线边界：进出磁场具有对称性。2平行边界：存在临界条件。3圆形边界：沿径向射入必沿径向射出。【典例】(2021全国乙卷)如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为 m、电荷量为 q(q0)的带电粒子从圆周上的 M 点沿直径 MON 方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度
10、大小为 v1，离开磁场时速度方向偏转 90；若射入磁场时的速度大小为 v2，离开磁场时速度方向偏转 60。不计重力，则v1v2 为()A12 B 33 C 32 D 3【解析】选 B。带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力充当向心力有：qvBmv2r，解得 rmvqB。设匀强磁场的圆形区域半径为 R，根据粒子射入磁场时的速度大小为 v1，离开磁场时速度方向偏转 90可知 r1R，且 r1mv1qB，射入磁场时的速度大小为 v2，离开磁场时速度方向偏转 60可知 r2 3 R，且 r2mv2qB，则v1v2 r1r2 13 33，故选项 B 正确。1.如图所示，半径为 r 的圆形空间内，存
11、在垂直于纸面向外的匀强磁场。一个质量为m、电荷量为 q 的带电粒子(不计重力)，从静止经电场加速后从圆形空间边缘上的 A点沿半径方向垂直射入磁场，在 C 点射出。已知AOC120，粒子在磁场中运动时间为 t0，则加速电场的电压为()A2r2m6qt20 B 2r2m24qt20C22r2m3qt20 D 2r2m18qt20【解析】选 A。根据几何知识可知，粒子轨迹对应的圆心角为 180120603，轨迹半径为 Rrtan60 3 r由 t032 2Rv及 qU12 mv2 得 U2r2m6qt20，A 正确，B、C、D 错误。2.(2019全国卷)如图，边长为 l 的正方形 abcd 内存在
12、匀强磁场，磁感应强度大小为 B，方向垂直于纸面(abcd 所在平面)向外。ab 边中点有一电子发射源 O，可向磁场内沿垂直于 ab 边的方向发射电子。已知电子的比荷为 k。则从 a、d 两点射出的电子的速度大小分别为()A14 kBl，54kBl B14 kBl，54 kBlC12 kBl，54kBl D12 kBl，54 kBl【解析】选 B。电子的运动轨迹如图所示，由牛顿第二定律得 evBmv2r，得 rmveB，电子从 a 点射出，rl4，联立解得 v114 kBl；电子从 d 点射出，由几何关系得 l2(rl2)2r2，解得 r54 l，联立解得 v254 kBl，故 B 正确，A、C
13、、D 错误。【加固训练】如图所示，三个速度大小不同的同种带电粒子(重力不计)，沿同一方向从图中长方形区域的匀强磁场上边缘射入，当它们从下边缘飞出时相对入射方向的偏角分别为90、60、30，则它们在磁场中运动的时间之比为()A111 B123C321 D1 2 3【解析】选 C。粒子在磁场中运动的周期的公式为 T2mqB，所以三个粒子在磁场中的周期相同，三个粒子的速度偏转角分别为 90、60、30，所以偏转角为 90的粒子在磁场中运动的时间为14 T，偏转角为 60的粒子运动的时间为16 T，偏转角为30的粒子运动的时间为 112 T，所以有14 T16 T 112 T321，C 正确。【拓展例
14、题】考查内容：带电粒子在电场与磁场的组合场中的运动【典例】如图所示，一个质量为 m、电荷量为 q 的正离子，在 D 处沿图示方向以一定的速度射入磁感应强度为 B 的匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里。结果离子正好从距 A 点为 d 的小孔 C 沿垂直于电场方向进入匀强电场，此电场方向与 AC 平行且向上，最后离子打在 G 处，而 G 处距 A 点 2d(AGAC)。不计离子重力，离子运动轨迹在纸面内。求：(1)此离子在磁场中做圆周运动的半径 r。(2)离子从 D 处运动到 G 处所需时间。(3)离子到达 G 处时的动能。【解析】(1)正离子运动轨迹如图所示。圆周运动半径 r 满足 drr cos
15、 60，解得 r23 d。(2)设离子在磁场中的运动速度为 v0，则有qv0Bmv20r，T2rv0 2mqB，由图知离子在磁场中做圆周运动的时间 t113 T2m3Bq，离子在电场中做类平抛运动，从 C 到 G 的时间 t22dv0 3mBq，离子从 DCG 的总时间 tt1t2（92）m3Bq。(3)设电场强度为 E，则有 qEma，d12 at22，v02qBd3m，由动能定理得 qEdEkG12 mv20；解得：EkG4B2q2d29m。答案：(1)23 d(2)（92）m3Bq(3)4B2q2d29m情境模型素养极光是由来自宇宙空间的高能带电粒子流进入地球大气层后，由于地磁场的作用而
16、产生的。如图所示，科学家发现并证实，这些高能带电粒子流向两极时做螺旋运动，旋转半径不断减小。探究：(1)粒子在运动过程中动能怎么变化？(2)粒子旋转半径不断减小的原因可能是什么？提示：(1)粒子受到的洛伦兹力始终与速度垂直，所以洛伦兹力不做功，粒子在运动过程中可能受到空气的阻力，对粒子做负功，所以其动能会减小。(2)粒子在运动过程中，若电荷量减小，由半径公式 rmvqB 可知，轨迹半径是增大的，地球南北两极附近的磁感应强度较强，由半径公式 rmvqB 可知，轨迹半径是减小的，所以粒子旋转半径不断减小的原因是地球南北两极附近的磁感应强度较强。如图所示为一速度选择器，也称为滤速器的原理图。K 为电
17、子枪，由枪中沿 KA 方向射出的电子，速率大小不一。当电子通过方向互相垂直的均匀电场和磁场后，只有一定速率的电子能沿直线前进，并通过小孔 S。设产生匀强电场的平行板间的电压为300 V，间距为 5 cm，垂直纸面的匀强磁场的磁感应强度为 0.06 T。探究：(1)磁场的指向应该向里还是向外？(2)速度为多大的电子才能通过小孔 S?提示：(1)速率不同的电子从 A 点沿直线 KA 射入板间，受到竖直向上的电场力，则洛伦兹力竖直向下，根据左手定则知 B 的方向垂直于纸面向里；(2)沿直线 KA 通过小孔 S 的电子所受电场力与洛伦兹力大小相等，由平衡条件得 evBeUd，代入数据解得 v1105
18、m/s，即只有速率为 105 m/s 的电子可以通过小孔 S。课堂检测素养达标1在匀强磁场中，一个带电粒子做匀速圆周运动，如果又顺利垂直进入另一磁感应强度是原来磁感应强度一半的匀强磁场，则()A粒子的速率加倍，周期减半B粒子的速率不变，轨道半径减半C粒子的速率减半，轨道半径变为原来的 2 倍D粒子的速率不变，周期变为原来的 2 倍【解析】选 D。因洛伦兹力对粒子不做功，故粒子的速率不变，当磁感应强度减半后，由 RmvBq 可知，轨迹半径变成原来的 2 倍，由 T2mBq可知，粒子的周期变成原来的 2 倍，故 D 正确，A、B、C 错误。【加固训练】1(2019广东学业考试)甲、乙两个带电粒子带
19、电量分别为 q 和 2q，运动速度分别为v 和 2v，当它们都进入同一匀强磁场，且速度方向都与磁场方向垂直时，甲、乙受到的洛伦兹力大小之比为()A41 B21 C12 D14【解析】选 D。根据公式 FqBv 得，甲粒子受到的洛伦兹力 F1qBv，乙粒子受到的洛伦兹力 F22qB2v4qBv，所以甲、乙受到的洛伦兹力大小之比为 14；A、B、C 错误，D 正确；故选 D。2如图是洛伦兹力演示仪的实物图和结构示意图。用洛伦兹力演示仪可以观察运动电子在磁场中的运动径迹。下列关于实验现象和分析正确的是()A励磁线圈通以逆时针方向的电流，则能形成结构示意图中的电子运动径迹B励磁线圈通以顺时针方向的电流
20、，则能形成结构示意图中的电子运动径迹C保持励磁电压不变，增加加速电压，电子束形成圆周的半径减小D保持加速电压不变，增加励磁电压，电子束形成圆周的半径增大【解析】选 B。励磁线圈通以顺时针方向的电流，则由右手定则可知线圈内部磁场向里，由左手定则可知能形成结构示意图中的电子运动径迹，故 B 正确，A 错误；保持励磁电压不变，增加加速电压，则电子的运动速度变大，根据 rmvqB 可知电子束形成圆周的半径增大，故 C 错误；保持加速电压不变，增加励磁电压，则 B 变大，根据 rmvqB 电子束形成圆周的半径减小，故 D 错误。2(多选)(2019海南高考)如图，虚线 MN 的右侧有方向垂直于纸面向里的
21、匀强磁场，两电荷量相同的粒子 P、Q 从磁场边界的 M 点先后射入磁场，在纸面内运动。射入磁场时，P 的速度 vP 垂直于磁场边界，Q 的速度 vQ 与磁场边界的夹角为 45。已知两粒子均从 N 点射出磁场，且在磁场中运动的时间相同，则()AP 和 Q 的质量之比为 12BP 和 Q 的质量之比为 2 1CP 和 Q 速度大小之比为 2 1DP 和 Q 速度大小之比为 21【解析】选 A、C。作出两粒子在磁场中的运动图像如图所示，可知其半径 rP、rQ 之比为 1 2，因为两粒子在磁场中运动的时间相同，所以 TPTQ12，根据 qvBmv2r得 rmvqB，则 T2rv2mqB，mPmQ TP
22、TQ 12，选项 A 正确，B 错误；vPvQ rPTQrQTP 2 1，所以选项 C 正确，D 错误。3.如图所示，在真空中，有一半径为 r 的圆形区域内充满垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为 B，一带电粒子质量为 m，电量为 q，以某一速度由 a 点沿半径方向射入磁场，从 b 点射出磁场时其速度方向改变了 60，(粒子的重力可忽略)试求：(1)该粒子在磁场中的运动时间 t；(2)粒子做圆周运动的半径 R；(3)粒子运动的速度 v0。【解析】(1)设圆周运动半径为 R，粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力 Bqv0mv20R而 T2Rv0联立解得周期为 T2mBq则粒子运动时间 t16
23、T m3Bq(2)由几何关系有 Rrtan 60 3 r(3)洛伦兹力提供向心力 Bqv0mv20R解得 v0 3Bqrm答案：(1)m3Bq (2)3 r(3)3Bqrm 【加固训练】(多选)如图所示为圆柱形区域的横截面，在该区域加沿圆柱轴线方向的匀强磁场。带电粒子(不计重力)第一次以速度 v1 沿截面直径入射，粒子飞出磁场区域时，速度方向偏转 60角；该带电粒子第二次以速度 v2 从同一点沿同一方向入射，粒子飞出磁场区域时，速度方向偏转 90角。则带电粒子第一次和第二次在磁场中运动的()A半径之比为 3 1 B速度大小之比为 1 3C时间之比为 23 D时间之比为 32【解析】选 A、C。设磁场半径为 R，当第一次以速度 v1 沿截面直径入射时，粒子飞出此磁场区域时速度方向偏转 60角，则知带电粒子轨迹对应的圆心角：160轨迹半径为：r1Rtan60运动时间为：t1 60360 T16 T带电粒子第二次以速度 v2 沿直径入射时，粒子飞出此磁场区域时速度方向偏转 90角，则知带电粒子轨迹对应的圆心角：290轨迹半径为：r2R运动时间为：t2 90360 T14 T所以轨迹半径之比：r1r2 3 1时间之比：t1t223根据半径公式 rmvqB 得，速度大小之比：v1v2r1r2 3 1故 A、C 正确，B、D 错误；故选 A、C。
