1、专题3.2 导数与函数的单调性、极值与最值【考情分析】1.了解函数的单调性与导数的关系；2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。3.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；4.会用导数求函数的极大值、极小值；5.会求闭区间上函数的最大值、最小值。【重点知识梳理】知识点一 函数的单调性与导数的关系函数yf(x)在某个区间内可导，则：(1)若f(x)0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f(x)0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f(x)0，右侧f(x)0x0附近的左侧f(x)0图象形如山峰形如山谷极值f(x0)为极大值f(x0)为极小值极值点x0为极大值点x0为极小
2、值点知识点四 函数的最值与导数(1)函数f(x)在a，b上有最值的条件如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤求函数yf(x)在(a，b)内的极值；将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.【特别提醒】1.函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f(x)0，“f(x)0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.2.对于可导函数f(x)，“f(x0)0”是“函数f(x)在xx0处有极值”的必要不充分条件.3.
3、求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.4.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.【典型题分析】高频考点一 求函数的单调区间例1.【2019天津卷】设函数为的导函数，求的单调区间。【解析】由已知，有因此，当时，有，得，则单调递减；当时，有，得，则单调递增所以，的单调递增区间为的单调递减区间为【答案】的单调递增区间为的单调递减区间为.【方法技巧】利用导数求函数单调区间的方法(1)当导函数不等式可解时，解不等式f(x)0或f(x)0求出单调区间(2)当方程f(x)0可解时，解出方程的实根，按实
4、根把函数的定义域划分成若干个区间，确定各区间f(x)的符号，从而确定单调区间(3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f(x)的结构特征，利用其图象与性质确定f(x)的符号，从而确定单调区间【变式探究】【2019浙江卷】已知实数，设函数，当时，求函数的单调区间。【解析】当时，所以，函数的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+）。【答案】的单调递增区间是,单调递减区间是；高频考点二 判断函数的单调性例2【2020全国卷】已知函数.（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；（2）当x0时，f（x）x3+1，求a的取值范围.【解析】（1）当a=1时，f（x）=ex+x2x，则=ex+2x1故
5、当x（，0）时，0所以f（x）在（，0）单调递减，在（0，+）单调递增（2）等价于.设函数，则.（i）若2a+10，即，则当x（0，2）时，0.所以g（x）在（0，2）单调递增，而g（0）=1，故当x（0，2）时，g（x）1，不合题意.（ii）若02a+12，即，则当x(0，2a+1)(2，+)时，g(x)0.所以g(x)在(0，2a+1)，(2，+)单调递减，在(2a+1，2)单调递增.由于g(0)=1，所以g(x)1当且仅当g(2)=(74a)e21，即a.所以当时，g(x)1.（iii）若2a+12，即，则g(x).由于，故由（ii）可得1.故当时，g(x)1.综上，a的取值范围是.【举
6、一反三】【2019全国卷】已知函数，讨论的单调性；【解析】令，得x=0或.若a0，则当时，；当时，故在单调递增，在单调递减；若a=0，在单调递增；若a，则当x时，f(x)0.所以f(x)在x2处取得极小值.若a，则当x(0，2)时，x20，ax1x10.所以2不是f(x)的极小值点.综上可知，a的取值范围是.【方法技巧】 已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.【变式探究】(2020河北承德一中模拟)若函数f(x)x2x1在区间上有极
7、值点，则实数a的取值范围是 【答案】【解析】函数f(x)在区间上有极值点等价于f(x)0有2个不相等的实根且在内有根，由f(x)0有2个不相等的实根，得a2或a2.由f(x)0在内有根，得ax在内有解，又x2，所以2a，综上，a的取值范围是.高频考点六 利用导数研究函数的最值例6. (2019全国卷)已知函数f(x)2x3ax2b.(1)讨论f(x)的单调性；(2)是否存在a，b，使得f(x)在区间0,1的最小值为1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由【解析】(1)f(x)6x22ax2x(3xa)令f(x)0，得x0或x.若a0，则当x(，0)时，f(x)0；当x时，
8、f(x)0.故f(x)在(，0)，单调递增，在单调递减若a0，f(x)在(，)单调递增若a0，则当x(0，)时，f(x)0；当x时，f(x)0.故f(x)在，(0，)单调递增，在单调递减(2)满足题设条件的a，b存在()当a0时，由(1)知，f(x)在0,1单调递增，所以f(x)在区间0,1的最小值为f(0)b，最大值为f(1)2ab.此时a，b满足题设条件当且仅当b1，2ab1，即a0，b1.()当a3时，由(1)知，f(x)在0,1单调递减，所以f(x)在区间0,1的最大值为f(0)b，最小值为f(1)2ab.此时a，b满足题设条件当且仅当2ab1，b1，即a4，b1.()当0a3时，由(
9、1)知，f(x)在0,1的最小值为fb，最大值为b或2ab.若b1，b1，则a3，与0a3矛盾若b1,2ab1，则a3或a3或a0，与0a3矛盾综上，当且仅当a0，b1或a4，b1时，f(x)在0,1的最小值为1，最大值为1.【方法技巧】(1)求函数在(a，b)内的极值(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)(3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值【变式探究】(2018全国卷)已知函数f(x)2sin xsin 2x，则f(x)的最小值是_【解析】f(x)2cos x2cos 2x2cos x2(2cos2x1)2(2cos2xcos x1
10、)2(2cos x1)(cos x1)cos x10，当cos x时，f(x)0，f(x)单调递减；当cos x时，f(x)0，f(x)单调递增当cos x，f(x)有最小值又f(x)2sin xsin 2x2sin x(1cos x)，当sin x时，f(x)有最小值，即f(x)min2.【答案】高频考点七 利用导数研究生活中的优化问题例7. (2020浙江省海盐高级中学模拟)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若
11、该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大【解析】(1)因为当x5时，y11，所以1011，解得a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y10(x6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)(x3) 210(x3)(x6)2,3x6.则f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)极大值42由上表可得，当x4时，函数f(x)取得极大值，也是最大值所以，当x4时，函数f(x)取得最大值且最大值等于42.即当销售价格为4元/千克时，商
12、场每日销售该商品所获得的利润最大【方法技巧】(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x)(2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0.(3)比较函数在区间端点和f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值(4)回归实际问题，结合实际问题作答【变式探究】(2020辽宁省抚顺市第十中学模拟)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率
13、)(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大【解析】(1)因为蓄水池侧面的总成本为1002rh200rh元，底面的总成本为160r2元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元又根据题意得200rh160r212 000，所以h(3004r2)，从而V(r)r2h(300r4r3)由h0，且r0可得0r5，故函数V(r)的定义域为(0,5)(2)因为V(r)(300r4r3)，所以V(r)(30012r2)令V(r)0，解得r15，r25(因为r25不在定义域内，舍去)当r(0,5)时，V(r)0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r(5,5)时，V(r)0，故V(r)在(5,5)上为减函数由此可知，V(r)在r5处取得最大值，此时h8，即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大
