1、专题2.1 函数及其表示【核心素养分析】1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段).4.培养学生数学抽象、数学运算能力。【重点知识梳理】知识点1函数与映射的概念(1)函数：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作yf(x)，xA其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与
2、x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域(2)映射：一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射知识点2函数的表示方法(1)用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法(2)用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法(3)列出表格表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法知识点3函数的三要素(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域(2)两个函数相等：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函
3、数相等知识点4分段函数若函数在定义域的不同子集上的对应关系不同，则这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数知识点5复合函数一般地，对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数yf(u)和ug(x)的复合函数，记作yf(g(x)，其中yf(u)叫做复合函数yf(g(x)的外层函数，ug(x)叫做yf(g(x)的内层函数【典型题分析】高频考点一 求函数的定义域例1.（2020北京卷）函数的定义域是_【答案】【解析】由题意得，【变式探究】【2019江苏卷】函数的定义域是 .【答案】 -1,7 【解析】由题意得到关于x的不等式，解不等式可得函数的
4、定义域.由已知得,即，解得，故函数的定义域为-1,7 .【方法技巧】(1)求具体函数yf(x)的定义域(2)求抽象函数的定义域一般有两种情况：已知yf(x)的定义域是A，求yf(g(x)的定义域，可由g(x)A求出x的范围，即为yf(g(x)的定义域；已知yf(g(x)的定义域是A，求yf(x)的定义域，可由xA求出g(x)的范围，即为yf(x)的定义域【举一反三】 (2018江苏卷)函数f(x)的定义域为_【答案】x|x2【解析】由log2x10，即log2xlog22，解得x2，满足x0，所以函数f(x)的定义域为x|x2高频考点二 求函数的解析式例2.（2020山东济南一中模拟）(1)已
5、知二次函数f(2x1)4x26x5，求f(x)；(2)已知函数f(x)满足f(x)2f(x)2x，求f(x)【解析】(1)法一：(待定系数法)因为f(x)是二次函数，所以设f(x)ax2bxc(a0)，则f(2x1)a(2x1)2b(2x1)c4ax2(4a2b)xabc.因为f(2x1)4x26x5，所以解得所以f(x)x25x9(xR)法二：(换元法)令2x1t(tR)，则x，所以f(t)4265t25t9(tR)，所以f(x)x25x9(xR)法三：(配凑法)因为f(2x1)4x26x5(2x1)210x4(2x1)25(2x1)9，所以f(x)x25x9(xR)(2)(解方程组法)由f
6、(x)2f(x)2x，得f(x)2f(x)2x，2，得3f(x)2x12x，即f(x).故f(x)的解析式是f(x)(xR)【方法技巧】函数解析式的常见求法(1)配凑法：已知f(h(x)g(x)，求f(x)的问题，往往把右边的g(x)整理或配凑成只含h(x)的式子，然后用x将h(x)代换(2)待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数f(x)可设为f(x)ax2bxc(a0)，其中a，b，c是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出a，b，c即可(3)换元法：已知f(h(x)g(x)，求f(x)时，往往可设h(x)t，从中解出x，代入g(x)进行换元应用换元
7、法时要注意新元的取值范围(4)解方程组法：已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如f(或f(x)等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)【变式探究】（2020河北衡水中学调研）已知f(x)是二次函数，且f(0)0，f(x1)f(x)x1，求f(x)的解析式【解析】设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)0，知c0，f(x)ax2bx，又由f(x1)f(x)x1，得a(x1)2b(x1)ax2bxx1，即ax2(2ab)xabax2(b1)x1，所以解得ab.所以f(x)x2x(xR)高频考点三 分段函数求值 例3.（2020吉林长
8、春实验中学模拟）已知函数f(x)则f(f(1)()A B2 C4 D11【答案】C【解析】因为f(1)1223，所以f(f(1)f(3)34.故选C.【方法技巧】(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值(2)当出现f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点。【变式3】(2020安徽安庆一中模拟)已知f(x)(0a1)，且f(2)5，f(1)3，则f(f(3)()A2 B2 C3 D3【答案】B【解析】(1)因为f(1)1223，所以f(f(1)f(3)34.故选
9、C.(2)由题意得，f(2)a2b5，f(1)a1b3， 联立，结合0a1，得a，b1，所以f(x)则f(3)319，f(f(3)f(9)log392，故选B。高频考点四 求参数或自变量的值(范围)例4.（2020山东卷）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，所以在上也是单调递减，且，所以当时，当时，所以由可得：或或解得或，所以满足的的取值范围是，【方法技巧】已知函数值(或函数值的范围)求自变量的值(或范围)：应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围
10、)是否符合相应段的自变量的取值范围，当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论。【变式探究】(2018全国卷)设函数f(x)则满足f(x1)f(2x)的x的取值范围是()A(，1B(0，)C(1,0) D(，0)【答案】D【解析】方法一：当即x1时，f(x1)f(2x)即为2(x1)22x，即(x1)2x，解得x1.因此不等式的解集为(，1当时，不等式组无解当即1x0时，f(x1)f(2x)即122x，解得x0时，f(x1)1，f(2x)1，不合题意综上，不等式f(x1)f(2x)的解集为(，0)故选D.方法二：f(x)函数f(x)的图象如图所示结合图象知，要使f(x1)f(2x)，则需或x0
11、，故选D。高频考点五 函数新定义问题例5.(2020广东省惠州一中模拟)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f(x)的图象恰好经过n(nN*)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数给出下列函数：f(x)sin 2x；g(x)x3；h(x)x；(x)ln x.其中是一阶整点函数的是()ABC D【答案】C【解析】对于函数f(x)sin 2x，它的图象(图略)只经过一个整点(0,0)，所以它是一阶整点函数，排除D；对于函数g(x)x3，它的图象(图略)经过整点(0,0)，(1,1)，所以它不是一阶整点函数，排除A；对于函数h(x)x，它的图象(图略)经过整点(0,1)，(
12、1,3)，所以它不是一阶整点函数，排除B，故选C。【方法技巧】本题意在考查考生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养破解新定义函数题的关键是：紧扣新定义的函数的含义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利获解如本例，若能把新定义的一阶整点函数转化为函数f(x)的图象恰好经过1个整点，问题便迎刃而解【变式探究】(2020山东省滨州一中质检)若定义在R上的函数f(x)当且仅当存在有限个非零自变量x，使得f(x)f(x)，则称f(x)为“类偶函数”，则下列函数中为类偶函数的是()Af(x)cos x Bf(x)sin xCf(x)x22x Df(x)x32x【答案】D【解析】A中函数为偶函数，则在定义域内均满足f(x)f(x)，不符合题意；B中，当xk(kZ)时，满足f(x)f(x)，不符合题意；C中，由f(x)f(x)，得x22xx22x，解得x0，不符合题意；D中，由f(x)f(x)，得x32xx32x，解得x0或x，满足题意，故选D。
