1、解三角形1正弦定理、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容(1)2R(2)a2b2c22bccos A；b2c2a22cacos B；c2a2b22abcos C变形(3)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(4)sin A，sin B，sin C；(5)abcsin Asin Bsin C；(6)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin A(7)cos A；cos B；cos C2.三角形常用面积公式(1)Saha(ha表示边a上的高)；(2)Sabsin Cacsin B
2、bcsin A；(3)Sr(abc)(r为三角形内切圆半径)3测量中的有关几个术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角方位角的范围是0能否推出sin sin ？在ABC中，AB是否可推出sin Asin B?提示第一象限的角不能推出sin sin .在ABC中，由AB可推出sin Asin B.2在ABC中，已知a，b和锐角A，讨论a，b，sin A满足什么条件时，三角形无解，有一解，有两解提示图形关系式a
3、bsin Absin Aababsin A或ab解的个数无解两解一解1（2020新课标）在中，则ABCD【答案】A【解析】在中，由余弦定理可得；故；，故选2（2020新课标）在中，则ABCD【答案】C【解析】，可得，则故选3（2019新课标）的内角，的对边分别为，已知，则A6B5C4D3【答案】A【解析】的内角，的对边分别为，解得，故选4（2018新课标）在中，则ABCD【答案】A【解析】在中，则故选5（2018新课标）的内角，的对边分别为，若的面积为，则ABCD【答案】C【解析】的内角，的对边分别为，的面积为，故选6（2017山东）在中，角，的对边分别为，若为锐角三角形，且满足，则下列等式成
4、立的是ABCD【答案】A【解析】在中，角，的对边分别为，满足，可得：，因为为锐角三角形，所以，由正弦定理可得：故选7（2019浙江）在中，点在线段上，若，则_，_【答案】，【解析】在直角三角形中，在中，可得，可得；，即有，故答案为：，8（2019新课标）的内角，的对边分别为，若，则的面积为_【答案】【解析】由余弦定理有，故答案为：9（2019新课标）的内角，的对边分别为，已知，则_【答案】【解析】，由正弦定理可得：，可得：，可得：，故答案为：10（2019上海）在中，且，则_【答案】【解析】，由正弦定理可得：，由，可得：，由余弦定理可得：，解得：故答案为：11（2018江苏）在中，角，所对的边
5、分别为，的平分线交于点，且，则的最小值为_【答案】9【解析】由题意得，即，得，得，当且仅当，即时，取等号，故答案为：912（2018浙江）在中，角，所对的边分别为，若，则_，_【答案】，3【解析】在中，角，所对的边分别为，由正弦定理得：，即，解得由余弦定理得：，解得或（舍，故答案为：，313（2018新课标）的内角，的对边分别为，已知，则的面积为_【答案】【解析】的内角，的对边分别为，利用正弦定理可得，由于，所以，所以，则由于，则：，当时，解得，所以当时，解得（不合题意），舍去故：故答案为：14（2018北京）若的面积为，且为钝角，则_；的取值范围是_【答案】；【解析】的面积为，可得：，可得：
6、，所以，为钝角，故答案为：；15（2020天津）在中，角，所对的边分别为，已知，（）求角的大小；（）求的值；（）求的值【解析】（）由余弦定理以及，则，；（）由正弦定理，以及，可得；（） 由，及，可得，则，16（2020北京）在中，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求：（）的值；（）和的面积条件：，；条件：，注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分【解析】选择条件（）由余弦定理得，即，即，联立，解得，故（）在中，由正弦定理可得，选择条件（）在中，由正弦定理可得，故；（）在中，17（2020新课标）的内角，的对边分别为，已知（1）若，求的面积；（2）若，求【解析】（1）中，（负值
7、舍去），（2），即，化简得，18（2020山东）在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在，它的内角，的对边分别为，且，_？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【解析】中，即，中，即，即，又，与已知条件相矛盾，所以问题中的三角形不存在19（2020江苏）在中，角、的对边分别为、已知，（1）求的值；（2）在边上取一点，使得，求的值【解析】（1）因为，由余弦定理可得：，由正弦定理可得，所以，所以；（2）因为，所以，在三角形 中，易知为锐角，由（1）可得，所以在三角形中，因为，所以，所以20（2020新课标）的内
8、角，的对边分别为，已知（1）求；（2）若，证明：是直角三角形【解析】（1），解得，；（2）证明：，由正弦定理可得，可得，可得是直角三角形，得证21（2020浙江）在锐角中，角，所对的边分别为，已知（）求角的大小；（）求的取值范围【解析】（），为锐角三角形，（）为锐角三角形，为锐角三角形，解得，的取值范围为，22（2019上海）如图，为海岸线，为线段，为四分之一圆弧，（1）求的长度；（2）若，求到海岸线的最短距离（精确到【解析】（1）由题意可得，弧所在的圆的半径，弧的长度为；（2）根据正弦定理可得，到海岸线的最短距离为23（2019新课标）的内角、的对边分别为，已知（1）求；（2）若为锐角三角形
9、，且，求面积的取值范围【解析】（1），即为，可得，若，可得，不成立，由，可得；（2）若为锐角三角形，且，由余弦定理可得，由三角形为锐角三角形，可得且，且，解得，可得面积，24（2019天津）在中，内角，所对的边分别为，已知，（）求的值；（）求的值【解析】（）在三角形中，由正弦定理，得，又由，得，即又因为，得，由余弦定理可得（）由（）得，从而，故25（2019北京）在中，（）求，的值；（）求的值【解析】（），由余弦定理，得，；（）在中，由正弦定理有：，为锐角，26（2019江苏）在中，角，的对边分别为，（1）若，求的值；（2）若，求的值【解析】（1）在中，角，的对边分别为，由余弦定理得：，解得（
10、2），由正弦定理得：，27（2019北京）在中，（）求，的值；（）求的值【解析】（1），由余弦定理，得，；（2）在中，由正弦定理有：，28（2019新课标）的内角，的对边分别为，设（1）求；（2）若，求【解析】（1）的内角，的对边分别为，由正弦定理得：，（2），由正弦定理得，解得，29（2018全国）在中，角、对应边、，外接圆半径为1，已知（1）证明；（2）求角和边【解析】（1）在中，角、对应边、，外接圆半径为1，由正弦定理得：，化简，得：，故解：（2），解得，30（2018天津）在中，内角，所对的边分别为，已知（）求角的大小；（）设，求和的值【解析】（）在中，由正弦定理得，得，又，即，又，（
11、）在中，由余弦定理得，由，得，31（2018北京）在中，（）求；（）求边上的高【解析】（），即是锐角，由正弦定理得得，则（）由余弦定理得，即，即，得，得或（舍，则边上的高32（2018新课标）在平面四边形中，（1）求；（2）若，求【解析】（1），由正弦定理得：，即，（2），1（2020武昌区校级模拟）珠穆朗玛峰是印度洋板块和欧亚板块碰撞挤压形成的这种挤压一直在进行，珠穆朗玛峰的高度也一直在变化由于地势险峻，气候恶劣，通常采用人工攀登的方式为珠峰“量身高”攀登者们肩负高精度测量仪器，采用了分段测量的方法，从山脚开始，直到到达山顶，再把所有的高度差累加，就会得到珠峰的高度年5月，中国珠峰高程测量登
12、山队8名队员开始新一轮的珠峰测量工作在测量过程中，已知竖立在点处的测量觇标高10米，攀登者们在处测得到觇标底点和顶点的仰角分别为，则、的高度差约为A10米B9.72米C9.40米D8.62米【答案】C【解析】根据题意画出如图的模型，则，所以，所以，所以在中，（米故选2（2020庐阳区校级模拟）如图，为测得河对岸铁塔的高，先在河岸上选一点，使在铁塔底的正东方向上，测得点的仰角为，再由点沿北偏东方向走到位置，测得，则铁塔的高为ABCD【答案】A【解析】在中，解得在中，故选3（2020平阳县模拟）在中，点在线段上，且满足，则的最小值为A0BCD【答案】D【解析】如图：令，且所以，易知可得，当且仅当时
13、取等号所以，又因为在上单调递增，在单调递减，可知故选4（2020焦作四模）在中，角，所对的边分别为，的面积为4，是方程的一个根，则的最小值为ABC3D【答案】D【解析】由得或因为，所以，所以由余弦定理得（当且仅当时，等号成立）因为的面积为4，所以，所以，所以，所以的最小值为故选5（2020长春四模）如图，为测量某公园内湖岸边，两处的距离，一无人机在空中点处测得，的俯角分别为，此时无人机的高度为，则的距离为ABCD【答案】A【解析】如图所示，由题意作，可得，则，在中，在中，由正弦定理，解得；又，又，且、，所以，所以故选6（2020邯郸二模）如图，在中，是边上的高，若，则的面积为A4B6C8D12
14、【答案】B【解析】故选7（2020武昌区模拟）一艘海轮从处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东的方向直线航行，30分钟后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是南偏东，在处观察灯塔，其方向是北偏东，那么，两点间的距离是A6 海里B海里C海里D海里【答案】A【解析】由题意可知：，又在中，由正弦定理得，即，故选8（2020山东模拟）泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点处测得“泉标”顶端的仰角为，沿点向北偏东前进到达点，在点处测得“泉标”顶端的仰角为，则“泉标”的高度为ABCD【答案】A【解析】根据题意，画出图形为：所以，
15、设，所以，在中，利用余弦定理的应用，解得故选9（2020开封三模）在中，角，的对边分别为，若，则_，的面积为_【答案】，【解析】由正弦定理得将代入上式得：，故所以故答案为：，10（2020昆明一模）在中，在线段上，若与的面积之比为，则_【答案】1【解析】因为与的面积之比为，故；故；故答案为：111（2020贵州模拟）如图所示，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走146.4米到达，在测得山顶的仰角为，则山高_米，结果保留小数点后1位）【答案】282.8【解析】，在中，由正弦定理得，即，（米故答案为：282.812（2020香坊区校级二模）在中，、所对的边分别为、，且满足，则_；若，则的
16、面积_【答案】1；【解析】依题意及正弦定理得，且，因此，当时，又，因此，则的面积故答案为：1；13（2020海南模拟）设的内角，所对的边分别为，分别为方程的两根（）求；（）若，求的面积【解析】（）方程可化为，解得，；因为，所以，所以，；因为，所以（结果写成也对）（）由正弦定理，所以，所以的面积为（结果写成也对）14（2020北京模拟）已知，分别为内角，的对边，若同时满足下列四个条件中的三个：；（）满足有解三角形的序号组合有哪些？（）在（）所有组合中任选一组，并求对应的面积【解析】由可得，由可得，解可得，（舍或，由为三角形的内角可得，不能同时成立，所以满足有解三角形的序号组合有或，（）选择，由余
17、弦定理可得，所以，即，解可得，选，由余弦定理可得，解可得，15（2020大兴区一模）在中，且的面积为（）求的值；（）若为上一点，且_，求的值从，这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答【解析】（） 由于，解得；由余弦定理得 ，解得；（）若选，则当时，在中，由正弦定理，即，所以；因为，所以；所以，即若选，则当时，在中，由余弦定理知，因为，所以，所以，所以，即16（2020杨浦区二模）已知三角形中，三个内角、的对应边分别为，且，（1）若，求；（2）设点是边的中点，若，求三角形的面积【解析】（1）中，由余弦定理得，即，整理得，解得或（不合题意，舍去），所以；（2）如图所示，点是边的中点，所以，即
18、，解得，所以，的面积故答案为：17（2020福州模拟）的内角，的对边分别为，设（1）求；（2）若的面积等于，求的周长的最小值【解析】（1）因为由正弦定理得显然，所以所以，所以，（2）依题意，所以时取等号又由余弦定理得当且仅当时取等号所以的周长最小值为18（2020绍兴一模）在中，已知内角，的对边分别是，且，（）求角；（）若，求的面积【解析】（），；所以：（三角形内角）（）因为；（负值舍）；19（2020中卫三模）设的内角，的对边分别为，已知，且（1）求角的大小；（2）若向量与共线，求的周长【解析】（1），又为的内角，；（2）向量与共线，由正弦定理可知，由（1）结合余弦定理可知，即，的周长为20
19、（2020丹东一模）已知同时满足下列四个条件中的三个：；（）请指出这三个条件，并说明理由；（）求的面积【解析】（）同时满足，理由如下：若同时满足，因为，且，所以所以，矛盾所以只能同时满足，因为，所以，故不满足故满足，（）解：因为，所以解得，或（舍所以的面积21（2020北辰区模拟）在中，内角，所对的边分别为，（）求的值；（）求的值【解析】（）在中，由余弦定理得：，又，解得；（）由，所以，由正弦定理得：，得，又，所以，所以，所以，故答案为：22（2020江苏模拟）在中，角、的对边分别为、已知向量，且（1）求的值；（2）若，求的面积【解析】（1）法一：由可得根据正弦定理可得，（法二）：由可得根据余
20、弦定理可得，整理可得，（2）由（1）可知，的面积23（2020南通模拟）在中，角，所对应的边分别为，且（）求角的大小；（）若，求的面积【解析】（），由正弦定理，得 （2分），（4分）， 又， （6分）（）由正弦定理，得 （8分）， （11分） （13分）24（2020广陵区校级模拟）在中，角，所对的边分别为，（）求及的值；（）若，求的面积【解析】（）因为，所以（2分）因为，所以（3分）由题意可知，所以（5分）所以（8分）（）因为，所以，所以（10分）由可知，过点作于，所以（12分）所以（13分）25（2020徐汇区一模）如图，某市郊外景区内一条笔直的公路经过三个景点、，景区管委会又开发了风景优
21、美的景点，经测量景点位于景点的北偏东方向处，位于景点的正北方向，还位于景点的北偏西方向上，已知（1）景区管委会准备由景点向景点修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；（结果精确到（2）求景点与景点之间的距离（结果精确到【解析】（1）法1：在中，设，由余弦定理，得，解得，这条公路的长为3.9法2：如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点在中，；在中，这条公路的长为3.9（2），在中，由题意可知，由（1）可知，所以，在中，景点与景点之间的距离约为 26（2020三明模拟）已知的周长为，且（1）求边的长；（2）若的面积为，求角的度数【解析】（1）的周长为，由正弦定理得，；（2）的面积， ，由余弦定理得，27（2020遂宁模拟）已知向量，向量，函数，直线是函数图象的一条对称轴（1）求函数的解析式及单调递增区间；（2）设的内角，的对边分别为，且，锐角满足，求的值【解析】（1），直线是函数图象的一条对称轴，由，得，单调递增区间为，（2）由，得，即，因为为锐角，所以，所以，即，又，所以由正弦定理得由余弦定理，得，即由解得
