1、云南师范大学附属中学2016届高考适应性月考（四）数学理试卷第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（ ）A B C D2.设i是虚数单位，复数是纯虚数，则实数a=（ ）A-2 B2 C D3、某班级有50名学生，现用系统抽样的方法从这50名沉重中抽出10名沉重，将这50名随机编号为1-50号，并按编号顺序平均分成10组（15号，610号，4650号），若在第三组抽到的编号是13，则在第七组抽到的编号是（）A、23B、33C、43D、534.已知中，D为边BC的中点，则（ ）A3 B4 C5 D65
2、.若函数，又，且的最小值为，则的值为（ ）A B C D26.已知变量x，y满足约束条件，则目标函数的最小值是（ ）A4 B3 C2 D17.执行如图所示的程序框图，则输出的s的值为（ ）A2 B3 C4 D58.一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A20 B24 C16 D9.数列是等差数列，若，且它的前n项和有最大值，那么当取得最小正值时，n等于（ ）A17 B16 C15 D1410.已知圆C：，直线，圆C上任意一点P到直线的距离小于2的概率为（ ）A B C D11.过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A，B两点，则满足的直线有（ ）条A4 B3 C2 D112.已知函数，
3、方程恰有3个不同实根，则实数a的取值范围是（ ）A B C D第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设函数是定义在R上的周期为3的偶函数，当时，则 .14.正方体的棱长为3，点P是CD上一点，且，过点三点的平面角底面ABCD于PQ，点Q在直线BC上，则PQ= .15. 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积，则 .16.点P为双曲线右支上的一点，其右焦点为，若直线的斜率为，M为线段的中点，且，则该双曲线的离心率为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）已知向量，设函数的部
4、分图象如图所示，A为图象的最低点，B，C为图象与x轴的交点，且为等边三角形，其高为.（1）求的值及函数的值域；（2）若，且，求的值.18. （本小题满分12分）某学生参加3个项目的体能测试，若该生第一个项目测试过关的概率为，第二个项目、第三个项目测试过关的概率分别为x，y（），且不同项目是否能够测试过关相互独立，记为该生测试过关的项目数，其分布列如下表所示：（1）求该生至少有2个项目测试过关的概率；（2）求的数学期望.19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，侧面底面ABCD，并且，F为SD的中点.（1）求三棱锥的体积；（2）求直线BD与平面FAC所成角的正弦值.20.
5、（本小题满分12分）如图，过椭圆内一点的动直线与椭圆相交于M，N两点，当平行于x轴和垂直于x轴时，被椭圆所截得的线段长均为.（1）求椭圆的方程；（2）在平面直角坐标系中，是否存在与点A不同的定点B，使得对任意过点的动直线都满足？若存在，求出定点B的坐标，若不存在，请说明理由.21. （本小题满分12分）设函数，若是函数的极值点.（1）求实数a的值；（2）当且时，恒成立，求整数n的最大值.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）【选修4-1：几何证明选讲】如图，的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E，的平分线与BC相交于点D，求
6、证：（1）；（2）.23. （本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为，（t为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为，A，B两点的极坐标分别为.（1）求圆C的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）点P是圆C上任一点，求面积的最小值.24. （本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数.（1）解不等式：；（2）已知，求证：恒成立.云南师大附中2016届高考适应性月考卷（四）理科数学参考答案第卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答
7、案CDBCADBACDBA【解析】1，故选C2是纯虚数，故选D4，即 ，故选C5因为的最小值为，所以，所以，故选A6作出可行域如图1中阴影部分，目标函数过点时，最小值为1，故选D7由程序框图知，输出的结果为，当时，故选B8该几何体为一个正方体截去三棱台，如图2所示，截面图形为等腰梯形，梯形的高，所以，所以该几何体的表面积为20，故选A9数列的前n项和有最大值，数列为递减数列，又， 且，又，故当时，取得最小正值，故选C10圆C：，圆心，半径，因为圆心到直线的距离是3，所以圆上到直线距离小于2的点构成的弧所对弦的弦心距是1，设此弧所对圆心角为，则，所以，即，所对的弧长为，所以所求概率为，故选D11
8、当直线l的倾斜角为时，；当直线l的倾斜角为时，故当直线l适当倾斜时，还可作出两条直线使得，故选B12当直线与曲线相切时，设切点为，切线斜率为，则切线方程为，切线过点，此时；当直线过点时，结合图象知，故选A第卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号13141516答案【解析】1314如图3，设PQ与AD交于点M，则DPMCPQ，又DPMDCA，15由余弦定理，又，即16由题意得：，设左焦点为，连接，则OM为的中位线，又，由双曲线定义，得三、解答题（共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本小题满分12分）解：（）由已知可得，由正三角形ABC的高
9、为，可得，所以函数的最小正周期，即，得，（4分）故，所以函数的值域为（6分）（）因为，由（）有，即，由，得，所以，故（12分）18（本小题满分12分）解：（）设事件表示“该生第i个项目测试过关”，依题意，因为所以即且，解得（4分）于是，故该生至少有2个项目测试过关的概率：（8分）（）（12分）19（本小题满分12分）解：（）如图4，取AB的中点E，连接SE，ED，过F作交ED于G，因为平面，并且，又ABCD是菱形，且， 三棱锥SFAC的体积（6分）（）连接AC，BD交于点O，取AB的中点E，连接SE，则，以O为原点，AC，BD为轴建系如图5所示，设直线BD与平面FAC所成角为，则，所以，设平面
10、FAC的法向量为，得，（8分）又，（10分）所以，故直线BD与平面FAC所成角的正弦值为（12分）（说明：以E点为原点，AB，ED，ES为x，y，z轴建系，可参照给分）20（本小题满分12分）解：（）由已知得，点在椭圆上，所以，解得，所以椭圆的方程为（4分）（）当直线l平行于x轴时，则存在y轴上的点B，使，设；当直线l垂直于x轴时，若使，则，有，解得或所以，若存在与点A不同的定点B满足条件，则点B的坐标只可能是（6分）下面证明：对任意直线l，都有，即当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立；当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为设M，N的坐标分别为，由得，其判别式，所以，因此，易知点N关于
11、y轴对称的点的坐标为又，所以，即三点共线，所以故存在与点A不同的定点，使得（12分）21（本小题满分12分）解：（），依题意，据此，解得（4分）（）由（）可知，由，得，于是对且恒成立，令，则，再次求导，若，可知在区间上递减，有，可知在区间上递减，有，而，则，即；若，可知在区间上递增，有，可知在区间上递减，有，而，则，即故当恒成立时，只需，又n为整数，所以，n的最大值是0（12分）22（本小题满分10分）【选修41：几何证明选讲】证明：（）ADE=ABD+BAD，DAE=DAC+EAC，而ABD=EAC，BAD=DAC，ADE=DAE，（5分）（），又，即，由（）知，（10分）23（本小题满分10分）【选修44：坐标系与参数方程】解：（）由得消去参数t，得，所以圆C的普通方程为由，得，即，换成直角坐标系为，所以直线l的直角坐标方程为（5分）（）化为直角坐标为在直线l上，并且，设P点的坐标为，则P点到直线l的距离为，所以面积的最小值是（10分）（说明：用几何法和点到直线的距离公式求也可参照给分）24（本小题满分10分）【选修45：不等式选讲】（）解：，即，当时，不等式为，即，是不等式的解；当时，不等式为，即恒成立，是不等式的解；当时，不等式为，即，是不等式的解综上所述，不等式的解集为（5分）（）证明：，恒成立（10分）
