1、 第五章 三角函数 5.6 函数y=Asin（x+ ）的图像本节课选自普通高中课程标准实验教科书数学必修15.6.2节 函数y=Asin(x+)的图象通过图象变换,揭示参数、A变化时对函数图象的形状和位置的影响。通过引导学生对函数ysinx到yAsin(x+)的图象变换规律的探索,让学生体会到由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想；并通过对周期变换、相位变换先后顺序调整后,将影响图象变换这一难点的突破,让学生学会抓住问题的主要矛盾来解决问题的基本思想方法;通过对参数、A的分类讨论,让学生深刻认识图象变换与函数解析式变换的内在联系。通过图象变换和“五点”作图法,正确找出函数ysinx到yAsin(
2、x+)的图象变换规律,这也是本节课的重点所在。提高学生的推理能力。让学生感受数形结合及转化的思想方法。发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。课程目标学科素养1.借助计算机画出函数yAsin(x+) 的图象，观察参数，A对函数图象变化的影响； 2. 引导学生认识yAsin(x+) 的图象的五个关键点，学会用“五点法”画函数yAsin(x+)的简图；用准确的数学语言描述不同的变换过程. 3.体会数形结合以及从特殊到一般的化归思想;培养学生从不同角度分析问题，解决问题的能力.a.数学抽象：三个参数对函数图像变化的影响；b.逻辑推理：由特殊到一般的归纳推理；c.数学运算：运用规律解
3、决问题；d.直观想象：由函数图像归纳规律；e.数学建模：运用规律解决问题；教学重点：重点：将考察参数、对函数y=Asin(x+)图象的影响的问题进行分解，找出函数ysin x到yAsin(x+)的图象变换规律.学习如何将一个复杂问题分解为若干简单问题的方法.；会用五点作图法正确画函数yAsin(x+)的简图.教学难点： ：学生对周期变换、相位变换顺序不同，图象平移量也不同的理解多媒体教学过程设计意图核心教学素养目标（一）创设问题情境提出问题上面我们利用三角函数的知识建立了一个形如y=Asin（x+ ） 其中（ A ， ） 的函数 显然 ， 这个函数由参数 A ， ， 所确定 因此 ， 只要了解
4、这些参数的意义 ， 知道它们的变化对函数图象的影响 ， 就能把握这个函数的性质 从解析式看 ， 函数 y=cosx就是函数yAsin(x)，在 A ， ， 时的特殊情形 (1)能否借助我们熟悉的函数 y=sinx的图象与性质研究参数 A ， ， 对函数yAsin(x)的影响 ？(2)函数 yAsin(x)含有三个参数 ， 你认为应按怎样的思路进行研究. 1. 探索 对ysin(x)图象的影响 为了更加直观地观察参数 对函数图象的影响 ， 下面借助信息技术做一个数学实验 如图 5.6.4，取 A ， ， 动点 M在单位圆 O1上以单位角速度按逆时针方向运动 图 5.6.4如果动点 M 以 O0为
5、起点 （ 此时 ）， 经过x 后运动到点P ， 那么点 P 的纵坐标 y就等于 sinx 以 （ x ， y ） 为坐标描点 ， 可得正弦函数 y =sinx 的图象 在单位圆上拖动起点Q0 ， 使点 Q0绕点 Q1旋转6 到Q1 ， 你发现图象有什么变化 ？如果使点Q0 绕点 Q1旋转- 6 , 3 , - 3， 或者旋转一个任意角 呢 当起点位于Q1 时 ， =6 ， 可得函数ysin(x6) 的图象 进一步 ， 在单位圆上 ， 设两个动点分别以Q0 ，Q1 为起点同时开始运动 如果以 Q0为起点的动点到达圆周上点 P的时间为x ， 那么以Q1 为起点的动点相继到达点P 的时间是 (x-
6、6) 这个规律反映在图象上就是 ： 如果 F （ x ， y ） 是函数ysinx 图象上的一点 ， 那么 G(x- 6, y )就是函数 ysin(x6) 图象上的点 ， 如图 5.6-4所示 这说明 ， 把正弦曲线ysinx 上的所有点向左平移6 个单位长度 ， 就得到ysin(x6) 的图象 分别说一说旋转- 6 , 3 , - 3时的情况 一般地 ， 当动点 M 的起点位置 Q所对应的角为 时 ， 对应的函数是 ysin(x) (0) ， 把正弦曲线上的所有点向左（ 当 时 ） 或向右 （ 当 时 ） 平移 个单位长度 ， 就得到函数ysin(x) 的图象 2. 探索 （ ） 对y=s
7、in（x+ ） 图象的影响下面 ， 仍然通过数学实验来探索 如图 5.6.5， 取圆的半径 A=1 为了研究方便 ， 不妨令 6 当 时得到ysin(x6) 的图象 取 ， 图象有什么变化 ？ 取 12 呢 ？取 ， 13 ， 图象又有什么变化 ？当 取任意正数呢? 取 时 ， 得到函数 ysin(2x6) 的图象 进一步 ， 在单位圆上 ， 设以Q1 为起点的动点 ， 当 时到达点 P 的时间为 x1 ，当 时到达点 P的时间为x2 因为 时动点的转速是 时的 倍 ，所以 x212x1 这样 ， 设 G （ x ， y ） 是函数ysin(x6) 图象上的一点 ， 那么K （12x， y ）
8、 就是函数ysin(2x6)图象上的相应点 ， 如图 5.6-5示 这说明 ， 把ysin(x6) 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 12倍（ 纵坐标不变 ）， 就得到 ysin(2x6) 的图象 ysin(2x6) 的周期为， 是ysin(x6) 的周期的 12倍 同理 ， 当 12 时 ， 动点的转速是 时的 12倍 ， 以Q1为起点 ， 到达点 P的时间是 时的 倍 这样 ， 把ysin(x6) 图象上所有点的横坐标扩大到原来的 倍 （ 纵坐标不变 ）， 就得到 ysin(12x6) 的图象 ysin(12x6)的周期为， 是 ysin(x6) 的周期的 倍 一般地 ， 函数 的周期是
9、2 ， 把 ysin(x ) 图象上所有点的横坐标缩短 （ 当 时 ） 或伸长 （ 当 时 ） 到原来的1 倍 （纵坐标不变 ）， 就得到 的图象 3. 探索 A（ A ） 对 y=sin（x+ ）图象的影响 下面通过数学实验探索A 对函数图象的影响 为了研究方便 ， 不妨令 =2, =6当 A 时 ， 如图 5.6.6， 可得y=sin（2x+6）的图象 改变 A 的取值 ， 使 A 取 ， 12， , 13等 ， 你发现图象有什么变化 ？当 A 取任意正数呢 ?当 A 时 ， 得到函数 y=2sin（2x+6）的图象 进一步 ， 设射线O1Q1 与以O1为圆心 、 为半径的圆交于T1 如果
10、单位圆上以O1 为起点的动点 ， 以 的转速经过 x 到达圆周上点 P ， 那么点 P 的纵坐标是 2sin（2x+6）； 相应地 ， 点 T1在以 O1为圆心 、 为半径的圆上运动到点 T ， 点 T 的纵坐标是 2sin（2x+6）这样 ， 设 K（ x ， y ） 是函数y=sin（2x+6） 图象上的一点 ， 那么点 N （ x ，2 y ）就是函数图象y=2sin（2x+6）上的相应点 ， 如图 5.6.6所示 这说明 ， 把 y=sin（2x+6）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 倍 （ 横坐标不变 ）， 就得到 y=2sin（2x+6）的图象 同理 ， 把y=sin（2x+6）
11、图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12 倍（ 横坐标不变 ）， 就得到y=12sin（2x+6）的图象 一般地 ， 函数 yAsin(x)的图象 ， 可以看作是把yAsin(x)图象上所有点的纵坐标伸长 （ 当 A 时 ）或缩短 （ 当 A 时 ） 到原来的 A 倍 （ 横坐标不变 ） 而得到 从而 ， 函数 yAsin(x)的值域是 A ， A ，最大值是 A ， 最小值是 A 你能总结一下从正弦函数图象出发 ， 通过图象变换得到 yAsin(x) （ A ， ） 图象的过程与方法吗 ? 一般地 ， 函数yAsin(x) （ A ， ） 的图象 ， 可以用下面的方法得到 ： 先画出函数 ysi
12、nx的图象 ； 再把正弦曲线向左 （ 或右 ） 平移个单位长度 ， 得到函数ysin(x) 的图象 ； 然后把曲线上各点的横坐标变为原来的1 倍 （纵坐标不变 ）， 得到函数ysin(x) 的图象 ； 最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的 A 倍 （ 横坐标不变 ），这时的曲线就是函数yAsin(x) 的图象 规律总结:先平移后伸缩的步骤程序如下:y=sinx的图象得y=sin(x+)的图象得y=sin(x+)的图象得y=Asin(x+)的图象.先伸缩后平移(提醒学生尽量先平移),但要注意第三步的平移.y=sinx的图象得y=Asinx的图象得y=Asin(x)的图象来源:学科网ZXXK得y=A
13、sin(x+)的图象.典例解析例 画出函数 y=12sin（3x- 6）的简图 解 ：先画出函数y=sinx的图象 ； 再把正弦曲线向右平移 6个单位长度 ，得到函数的图象 ； 然后使曲线上各点的横坐标变为原来的 13 倍 ， 得到函数 的图象 ； 最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的 倍 ， 这时的曲线就是函数y=12sin（3x- 6）的图象 ， 如图 5.6.7所示 下面用 “ 五点法 ” 画函数y=12sin（3x- 6）在一个周期（T=23 ）内的图象 令 X 3x- 6， 则 x 13（ X+ 6）列表 （ 表 5.6.1），描点画图 （ 图 5.6.8） 例 2 摩天轮是一种大型转
14、轮状的机械建筑设施 ， 游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转 ， 可以从高处俯瞰四周景色 如图 5.6.9， 某摩天轮最高点距离地面高度为 120 ， 转盘直径为110 ， 设置有 48个座舱 ， 开启后按逆时针方向匀速旋转 ， 游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱 ， 转一周大约需要30in （ ） 游客甲坐上摩天轮的座舱 ， 开始转动 t min 后距离地面的高度为 H ， 求在转动一周的过程中 ， H关于t 的函数解析式 ；（ ） 求游客甲在开始转动 min后距离地面的高度 ；（ ） 若甲 、 乙两人分别坐在两个相邻的座舱里 ， 在运行一周的过程中 ， 求两人距离地面的高度差h （ 单位
15、： ） 关于 t的函数解析式 ， 并求高度差的最大值 （ 精确到 ） 分析 ： 摩天轮上的座舱运动可以近似地看作是质点在圆周上做匀速旋转 在旋转过程中 ， 游客距离地面的高度 犎 呈现周而复始的变化 ， 因此可以考虑用三角函数来刻画 解 ： 如图 5.6.10， 设座舱距离地面最近的位置为点 P ，以轴心 O为原点 ， 与地面平行的直线为 x轴建立直角坐标系 （ ） 设 t=0min时 ， 游客甲位于点 P（0 ，-55 ），以 OP为终边的角为 - 2； 根据摩天轮转一周大约需要 30min， 可知座舱转动的角速度约为15 radmin ， 由题意可得H=55sin（15t- 2）+65 ,
16、0t30,（ ） 当 t 时 ， H=55sin（155- 2）+65 =37.5 所以 ， 游客甲在开始转动 5 min后距离地面的高度约为 37.5（ ） 如图 5.6.10,甲 、 乙两人的位置分别用点 A,B表示 ， 则 AOB24824 经过tmin 后甲距离地面的高度为 H1=55sin（15t- 2）+65 ，点 B相对于点 A 始终落后 24 rad， 此时乙距离地面的高度为H2=55sin（15t- 1324）+65 则甲 、 乙距离地面的高度差h=H1-H2=55sin（15t-2）-sin（15t-1324)=55sin（15t-2）+sin（1324-15t),利用si
17、n+sin=2sin+2cos-2，可得 h=110sin48sin（15t-48), 0t30，当 15t-48=2（或32）， 即 t 7.8（ 或 22.8） 时 ， h 的最大值为 110 sin48 7.2所以 ， 甲 、 乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.2通过开门见山，提出问题，利用图像变换观察参数对函数图像的影响问题，培养和发展数学抽象、直观想象的核心素养。通过对典型问题的分析解决，发展学生数学建模、逻辑推理，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；三、当堂达标1函数y3sin的振幅和周期分别为()A3,4 B3， C. ，4 D.，3【解析】由于函数y3sin，振幅是3，
18、周期T4.【答案】A2将函数ysin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为() Aysin Bysin Cysinx Dysin【解析】函数ysin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得ysin的图象，再将此图象向左平移个单位，得ysinsin的图象，选D.【答案】D3已知函数yAsin(x)(A0，0)的最大值是3，最小正周期是，初相是，则这个函数的表达式是()Ay3sin By3sin Cy3sin Dy3sin【解析】由已知得A3，T，7，所以y3sin.【答案】B4函数y2sin图象的一条对称轴是_(填序号)x
19、；x0；x；x.【解析】由正弦函数对称轴可知xk，kZ，xk，kZ，k0时，x.【答案】5已知函数f(x)2sin，xR.(1)写出函数f(x)的对称轴方程、对称中心的坐标及单调区间；(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值. 【解】(1)由2xk，kZ，解得f(x)的对称轴方程是x，kZ；由2xk，kZ解得对称中心是，kZ；由2k2x2k，kZ解得单调递增区间是，kZ；由2k2x2k，kZ，解得单调递减区间是，kZ.(2)0x，2x，当2x，即x0时，f(x)取最小值为1；当2x，即x时，f(x)取最大值为2.通过练习巩固本节所学知识，巩固对三角函数图像变换规律的理解，增强学生的直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。四、小结1.由学生自己回顾总结本节课探究的知识与方法,以及对三角函数图象及三角函数解析式的新的认识,使本节的总结成为学生凝练提高的平台.2.教师强调本节课借助于计算机讨论并画出y=Asin(x+3)的图象,并分别观察参数、A对函数图象变化的影响,同时通过具体函数的图象的变化,领会由简单到复杂、特殊到一般的化归思想.五、作业1. 课时练 2. 预习下节课内容学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；
