1、第八章测评(时间:120分钟满分:150分)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.函数y=sin 3x+cos 3x的最小正周期是()A.6B.2C.23D.3解析由y=sin3x+cos3x,得y=222sin3x+22cos3x=2sin3x+4,可知该函数的最小正周期T=2|=23,故选C.答案C2.cos215+cos275+cos 15cos 75的值是()A.32B.62C.34D.54答案D3.已知sin+2cossin-2cos=5,则cos2+12sin 2=()A.-25B.3C.-3D.25解析因为si
2、n+2cossin-2cos=5,所以tan+2tan-2=5,解得tan=3,cos2+12sin2=cos2+sincoscos2+sin2=1+tan1+tan2=1+31+9=25,故选D.答案D4.若a,b是非零向量且满足(a-2b)a,(b-2a)b,则a与b的夹角是()A.6B.3C.23D.56解析因为a2-2ab=0,b2-2ab=0,所以a2=b2=2ab,|a|=|b|,所以cos=ab|a|b|=12a2|a|2=12.又0,所以=3.答案B5.若cos =-35,且180270,则tan2的值为()A.2B.-2C.2D.-12解析cos=-35,且180270,90
3、290,则tan Atan B与1的大小关系为()A.tan Atan B1B.tan Atan B90,所以A,B都为锐角.则有tanA0,tanB0,tanC0.又因为C=-(A+B),所以tanC=-tan(A+B)=-tanA+tanB1-tanAtanB0,即tanAtanB1.答案B7.设ABC的三个内角为A,B,C,向量m=(3sin A,sin B),n=(cos B,3cos A),若mn=1+cos(A+B),则C=()A.6B.3C.23D.56解析因为mn=3sinAcosB+sinB3cosA=3sin(A+B)=3sinC=1-cosC,所以sinC+6=12.又因
4、为0C,所以C+6=56,故C=23.答案C8.已知sin(+2)=34,cos =13,为锐角,则sin(+)的值为()A.37-2212B.3-21412C.37+2212D.3+21412解析因为sin(+2)=34,cos=13,为锐角,又cos2=2cos2-1=-790,所以+2大于90.由同角三角函数关系,可得cos(+2)=-74,sin=223,所以sin(+)=sin(+2)-=sin(+2)cos-cos(+2)sin=3413-74223=3+21412,故选D.答案D二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部
5、选对的得5分,部分选对得3分,有选错的得0分.9.已知曲线C1:y=cos x,C2:y=cos x(cos x+3sin x)-12,则下面的结论不正确的是()A.把C1上各点的横坐标变为原来的12,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移12个单位,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标变为原来的12,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移6个单位,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移12个单位,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移6个单位,得到曲线C2解析y=cosx(cosx+3sinx)-12=c
6、os2x+3sinxcosx-12=1+cos2x2+32sin2x-12=12cos2x+32sin2x=cos2xcos3+sin2xsin3=cos2x-3,将曲线C1上各点的横坐标变为原来的12,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移6个单位,得到曲线C2.A,C,D不合题意,故选ACD.答案ACD10.ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足AB=2a,AC=2a+b,则下列结论不正确的是()A.|b|=1B.abC.ab=1D.(4a+b)BC解析在ABC中,由BC=AC-AB=2a+b-2a=b,得|b|=2.由题得,|a|=1,所以ab=|a|b|cos120=-1,所以(
7、4a+b)BC=(4a+b)b=4ab+|b|2=4(-1)+4=0,所以(4a+b)BC.答案ABC11.函数f(x)=sin 2x+3cos 2x的单调递增区间有()A.-512,12B.53,136C.712,1312D.1912,2512解析f(x)=sin2x+3cos2x=2sin2x+3,由2k-22x+32k+2(kZ),得k-512xk+12(kZ),即函数的单调递增区间为k-512,k+12(kZ),当k=0时,得-512,12,当k=1时,得712,1312,当k=2时,得1912,2512.故选ACD.答案ACD12.已知锐角,满足sin -cos =16,tan +t
8、an +3tan tan =3,则()A.42B.4C.4D.40,所以44,所以40)的图像的相邻两条对称轴的距离为32.(1)求的值并写出函数f(x)的单调递增区间;(2)设是第一象限角,且f32+2=2326,求sin(+4)cos(4+2)的值.解(1)因为f(x)=cos2x+3sinxcosx=1+cos2x2+32sin2x,所以f(x)=sin2x+6+12的最小正周期T=22=3,解得=13,则f(x)=sin23x+6+12.令2k-223x+62k+2(kZ)可得3k-x3k+2(kZ),即f(x)的单调递增区间为3k-,3k+2(kZ).(2)因为f32+2=2326,
9、即sin+2+12=cos+12=2326,所以cos=513,又是第一象限角,所以sin=1213,所以sin(+4)cos(4+2)=22sin+coscos2=22(cos-sin)=-13214.20.(12分)如图所示,已知的终边所在直线上的一点P(-3,4),的终边在第一象限且与单位圆的交点Q的纵坐标为210.(1)求tan(2-)的值.(2)若2,02,求+.解(1)由三角函数的定义可知tan=-43,所以tan2=2(-43)1-(-43)2=247.又由三角函数线知sin=210.因为为第一象限角,则cos=7210,所以tan=17,所以tan(2-)=247-171+24
10、717=16173.(2)因为cos=-35,sin=210,2,02,2+32.所以sin=45,cos=7210,因为sin(+)=sincos+cossin=457210-35210=22,又2+32,所以+=34.21.(12分)已知函数f(x)=sin x-23sin2x2.(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间;(2)求f(x)在区间0,23上的最小值.解(1)f(x)=sinx+3cosx-3=2sinx+3-3,f(x)的最小正周期为2.由2k+2x+32k+32(kZ),得2k+6x2k+76(kZ),f(x)的单调递减区间是2k+6,2k+76(kZ).(2)0x23,
11、3x+3,-3f(x)2-3.当x+3=,即x=23时,f(x)取得最小值.f(x)在区间0,23上的最小值为f23=-3.22.(12分)设函数f(x)=ab,其中向量a=(2cos x,1),b=(cos x,3sin 2x+m).(1)求函数f(x)的最小正周期和在0,上的单调递增区间;(2)当x0,6时,-4f(x)4恒成立,求实数m的取值范围.解(1)f(x)=2cos2x+3sin2x+m=2sin2x+6+m+1,函数f(x)的最小正周期T=,在0,上的单调递增区间为0,6,23,.(2)当x0,6时,f(x)单调递增,当x=6时,f(x)的最大值等于m+3.当x=0时,f(x)的最小值等于m+2.由题设知m+3-4,解得-6m1.故实数m的取值范围是(-6,1).
