1、考点2 两异面直线所成的角（2018全国卷（理）在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA13，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）A15B56C55D22【解析】方法一如图，在长方体ABCDA1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体ABBAA1B1B1A1.连接B1B，由长方体性质可知，B1BAD1，所以DB1B为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角连接DB，由题意，得DB12+1+125，BB112+322，DB112+12+325.在DBB1中，由余弦定理，得DB2BB12DB122BB1DB1cosDB1B，即545225cosDB1B，cosDB1B55.故选C方
2、法二如图，以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系Dxyz.由题意，得A（1,0,0），D（0,0,0），D1（0,0，3），B1（1,1，3），AD1（1,0，3），DB1（1,1，3），AD1DB11101（3）22，|AD1|2，|DB1|5，cosAD1，DB1AD1DB1AD1DB122555.故选C【答案】C （2018江苏卷）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA12，点P，Q分别为A1B1，BC的中点（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值【解析】如图，在正三棱柱ABCA1B1C
3、1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则OBOC，OO1OC，OO1OB，以OB，OC，OO1为基底，建立空间直角坐标系Oxyz .因为ABAA12，所以A（0，1，0），B（3，0,0），C（0,1,0），A1（0，1,2），B1（3，0,2），C1（0,1,2）（1）因为P为A1B1的中点，所以P32,-12,2，从而BP-32,-12,2，AC1（0,2,2），故|cosBP，AC1|BPAC1BPAC1-1+452231020.因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为31020.（2）因为Q为BC的中点，所以Q32,12,0，因此AQ32,32,0，AC1（0,2,2），CC1（0,0,2）设n（x，y，z）为平面AQC1的一个法向量，则AQn=0,AC1n=0,即32x+32y=0,2y+2z=0.不妨取n（3，1,1）设直线CC1与平面AQC1所成的角为，则sin |cosCC1，n|CC1nCC1n22555.所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为55.【答案】见解析
