1、云南省宣威市第五中学2020-2021学年度高二数学上学期期中试题 文（含解析）一、选择题：本大题共12小题.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1. 直线x-y10的倾斜角为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据直线方程，先得到斜率，再利用求解.【详解】k1，tan1，.故选：A2. 命题“，”的否定为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】该题命题的否定是：，特称命题和全程命题的否定，固定的变换方式是：换量词，否结论，不变条件故答案选D3. 从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是（ ）A. B. C. D.
2、 【答案】C【解析】【分析】利用列举法以及古典概型的概率公式可求得求过.【详解】三个正品记为1，2，3，一个次品记为a，则基本事件分别为（1，2），（1，3），（2，3），（1，a），（2，a），（3，a），共6个，其中全是正品的基本事件有3个，故概率为.故选：C4. 如图所示，用符号语言可表达为（ ）A. ， B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】根据课本点、线、面及其关系的符号表示规定逐一判断.【详解】点为元素，线和面是集合，根据点与集合、集合与集合之间的关系易得.故选:A5. 设，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要
3、条件【答案】B【解析】根据二次不等式的解法得到： ，由条件知道小范围推大范围，大范围推不出小范围， 反之推不出故选必要不充分条件故答案选B6. 已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率为，则C的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由焦点坐标得到，再由离心率求出，由求出，则椭圆的方程可求【详解】因为椭圆的右焦点为，所以，又离心率等于，所以，则所以椭圆的方程为故答案为：故选：C.7. 命题“若，则”，命题“若，则”有（ ）A. 真，假B. “且”为真C. “或”为假D. 假，真【答案】C【解析】【分析】利用特殊值法判断出命题、的真假，结合复合命题的真假与简单命
4、题真假之间的关系可得出合适的选项.【详解】对于命题，若，由，可得，命题为假命题，对于命题，取，则，但，命题为假命题，所以，“且”假，“或”为假.故选：C.8. 若在一次试验中，测得的四组数值分别是，则与之间的回归直线方程是()A. B. C. D. 【答案】B【解析】由四组数值，可得，则， ， 与之间的回归直线方程是，故选B.9. 若圆 ，上有且只有两个点到直线 的距离等于1，则半径r的取值范围是（ ）A. （4，6）B. （4，5C. （4，7）D. 4，6【答案】A【解析】【分析】利用圆心到直线的位置关系来判断.【详解】圆心 ，直线， 故选:A.10. 某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了
5、10场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则10场比赛里甲运动员的平均得分与乙运动员得分的中位数分别为（ ）A. 18，11B. 18，12C. 16，12D. 16，13【答案】B【解析】【分析】利用平均数和中位数定义可求得结果.【详解】甲运动员的平均得分为，因为乙运动员得分为所以乙的中位数为.故选：B【点睛】关键点点睛：正确识别茎叶图是解题关键.11. 已知双曲线（a0，b0）左支上一点P到左焦点的距离为4，到右焦点的距离为8，且双曲线一条渐近线的倾斜角为60，则该双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据双曲线左支上一点P到左焦点的距离为4
6、，到右焦点的距离为8，利用双曲线的定义求得a，再由双曲线的渐近线的倾斜角为60求得b即可.【详解】因为双曲线左支上一点P到左焦点的距离为4，到右焦点的距离为8，所以2a8-44，解得a2，因为双曲线一条渐近线的倾斜角为60，所以，故，所以双曲线的方程为.故选：D12. 、分别是双曲线C：的左、右焦点，若关于渐近线的对称点恰落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线C的离心率为（ )A. 2B. C. 3D. 【答案】A【解析】【分析】求出到渐近线的距离，利用关于渐近线的对称点恰落在以为圆心，为半径的圆上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率【详解】由题意，一条渐近线方程为，则到渐近线的距离为设关于
7、渐近线的对称点为M，与渐近线交于A，A为的中点又0是的中点，为直角，为直角三角形，由勾股定理得，故选A【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查勾股定理的运用，考查学生的分析与计算能力，属于中档题二、填空题：本大题共4小题.13. 点到直线的距离是_【答案】【解析】点到直线的距离是 14. 一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积为_.【答案】【解析】【分析】由三视图画出原图可得答案.【详解】.由题可知该三棱锥的底面是一个等腰直角三角形，顶点在地面上的射影在斜边的中点处，如图所示，由三视图可知，设是的中点，则，且，所以，所以该棱锥的表面积为，故答案为：.【点睛】本题主要考查了求三棱锥的表面积问题，解
8、题关键是掌握三视图依据“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，考查了空间想象能力和计算能力，属于中档题.15. 已知直线3x4y-120与x轴，y轴相交于A，B两点，点C在圆x2y2-10x-12y520上移动，则ABC面积的最大值和最小值之差为_.【答案】15【解析】【分析】根据直线3x4y-120可求得的坐标及，利用圆心到直线的距离求出点C到直线的距离的最小值和最大值，利用面积公式可求得结果.【详解】令得，令得，所以A（4，0），点B（0，3），|AB|5，由x2y2-10x-12y52得，所以圆的半径为3，圆心为，圆心到直线的距离，所以点C到直线的距离的最小值为，最大值为，所以的最大值为，
9、最小值为，所以ABC面积的最大值和最小值之差为.故答案为：15【点睛】关键点点睛：利用圆心到直线的距离求出点C到直线的距离的最小值和最大值是解题关键.16. 已知直线与椭圆相交于两点，且（为坐标原点），若椭圆的离心率，则的最大值为_【答案】【解析】试题分析：设，由，得，即，整理得，即考点：椭圆的几何性质三、解答题：本大题共6小题.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17. 编号为1，2的两个纸箱中各有6个相同的小球（分别标有数字1，2，3，4，5，6），从1，2两个纸箱中各摸出一个小球，分别为 ，求满足条件 的概率.【答案】.【解析】【分析】利用古典概型公式求解.【详解】从1，2两个
10、纸箱中各摸出一个小球的事件总数有36种.又，其中,满足条件的有,故所求概率.18. 如图所示的四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为矩形，AEEBBC2，AD平面ABE，且CE上的点F满足BF平面ACE.（1）求证：AE平面BFD；（2）求三棱锥C-AEB的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由ABCD为矩形，易得G是AC的中点，又BF平面ACE，BCBE，则F是EC的中点，从而FGAE，再利用线面平行的判定定理证明.（2）根据AD平面ABE，易得AEBC，再由BF平面ACE，得到AEBF，进而得到AE平面BCE，然后由求解.【详解】（1）如图所示：因为底面ABCD为矩
11、形，所以AC，BD的交点G是AC的中点，连接FG，BF平面ACE，则CEBF，而BCBE，F是EC的中点，FGAE.又AE平面BFD，FG平面BFD，AE平面BFD.（2）AD平面ABE，ADBC，BC平面ABE，则AEBC.又BF平面ACE，则AEBF，AE平面BCE.三棱锥C-AEB的体积.【点睛】方法点睛：1、判断或证明线面平行的常用方法：（1）利用线面平行的定义，一般用反证法；（2）利用线面平行的判定定理(a，b，aba)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；（3）利用面面平行的性质定理(，aa)；（4）利用面面平行的性质(，a，aa)19.
12、对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：分组频数频率10，15）100.2515，20）25n20，25）mp25，3020.05合计M1（1）求出表中M，p及图中a的值；（2）若该校高一学生有360人，试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间10，15）内的人数.【答案】（1）M40，；（2）90人.【解析】【分析】（1）根据频数与频率的统计表和频率分布直方图计算可得结果；（2）根据频数样本容量频率可求得结果.【详解】（1）由10，15）内的频数是10，频率是0.25知，
13、所以M40.因为频数之和为40，所以1025m240，m3.因为a是对应分组15，20）的频率与组距的商，所以.（2）因为该校高一学生有360人，分组10，15）内的频率是0.25，所以估计该校高一学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为90人.【点睛】关键点点睛：根据频数与频率的统计表和频率分布直方图计算求解是解题关键.20. 已知椭圆的离心率为，其中一个焦点在直线上.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于两点，试求三角形面积的最大值.【答案】（1）；（2）1.【解析】【分析】（1）根据直线与轴的交点，求得的值，再利用离心率求得的值，进而求得的值，得到椭圆的方程；（2）将直线方程与椭圆方
14、程联立，根据判别式大于零，得到，利用韦达定理得到两根和与两根积，利用弦长公式求得，利用点到直线的距离，求得三角形的高，利用三角形的面积公式，得到关于的式子，利用基本不等式求得最大值.【详解】（1）椭圆的一个焦点即为直线与轴的交点，所以，又离心率为则,，所以椭圆方程为；（2）联立若直线与椭圆方程得，令，得设方程的两根为，则，点到直线的距离，当且仅当，即或时取等号，而或满足，所以三角形面积的最大值为1.【点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆方程的求解，直线与椭圆的位置关系，直线被椭圆截得的弦长，三角形的面积，属于中档题目.21. 矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0）
15、，AB边所在直线的方程为x-3y-60，点T（-1，1）在AD边所在直线上.（1）求AD边所在直线的方程；（2）求矩形ABCD外接圆E的方程；（3）已知点P是（2）中圆E上一动点，点Q（8，0），求线段PQ的中点R的轨迹方程.【答案】（1）3xy20；（2）（x-2）2y28；（3）（x-5）2y22.【解析】【分析】（1）根据AD与AB垂直可求出斜率，再由点斜式即可求出；（2）可得M即为外接圆圆心，根据直线AB和AD方程可求出点A坐标，即可求出半径，得出圆的方程；（3）设R（x，y），利用中点坐标公式表示出点P，代入圆E即可求出.【详解】解：（1）因为AB边所在直线的方程为x-3y-60，且
16、AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为-3.又因为点T（-1，1）在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为y-1-3（x1），即3xy20；（2）由解得点A的坐标为.因为矩形ABCD两条对角线的交点为M（2，0）.所以M为矩形ABCD外接圆的圆心.又从而矩形ABCD外接圆E的方程为（x-2）2y28；（3）设点P（x0，y0），点R（x，y），则由中点坐标公式得，即x02x-8，y02y.因为点P在圆E上，所以，故有，即，即点R的轨迹方程为圆.22. 设双曲线C：y21(a0)与直线l：xy1相交于两个不同的点A，B(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；(2)设直线l与y轴的交点为P，且，求a的
17、值【答案】（1）e且e；（2）a.【解析】【分析】（1）由直线与双曲线联立得(1a2)x22a2x2a20，结合条件得，从而可得离心率范围；（2）设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由可得x1x2，由根与系数的关系可得，从而得解.详解】(1)将yx1代入双曲线y21中，得(1a2)x22a2x2a20.解得0a且e.(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)有P(0,1)，(x1，y11) (x2，y21)由此得x1x2.由于x1，x2都是方程的根，且1a20，因此由根与系数的关系，得x2， .消去x2，得.由a0，得a.【点睛】本题考查双曲线的几何性质、向量问题坐标化，直线与双曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、考查化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，属于中档题.
