1、第五章函数应用微专题集训五函数的综合应用专题1增长函数模型差异比较的应用1.%*3￥*695%(2020北京朝阳区练习)假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案每天的回报如图5-1。图5-1横轴为投资时间,纵轴为每天的回报,根据以上信息,若使回报最多,下列说法错误的是()。A.投资3天以内(含3天),采用方案一B.投资4天,不采用方案三C.投资6天,采用方案一D.投资12天,采用方案二答案：D解析：由题图可知,投资3天以内(含3天),方案一的回报最多,A正确;投资4天,方案一的回报约为404=160(元),方案二的回报约为10+20+30+40=100(元),都多于方案三
2、的回报,B正确;投资6天,方案一的回报约为406=240(元),方案二的回报约为10+20+30+40+50+60=210(元),都多于方案三的回报,且方案一的回报最多,C正确;投资12天,明显方案三的回报最多,所以此时采用方案三,D错误。故选D。2.%*78#*80%(2020宜昌考试)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),有以下结论:当x1时,甲在最前面;当x1时,乙在最前面;当0x1时,丁在最后面;丙不可能在最
3、前面,也不可能在最后面;如果它们一直运动下去那么最终在最前面的是甲。其中,正确结论的序号为。答案：解析：路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),它们相应的函数模型分别是指数型函数、二次函数、一次函数和对数型函数。当x=2时,f1(2)=3,f2(2)=4,故不正确。当x=5时,f1(5)=31,f2(5)=25,故不正确。根据四种函数的变化特点,对数型函数的增长速度是先快后慢,当x=1时,甲、乙、丙、丁四个物体的路程相等,当0x1时,丁在最后面,故正确。结合对数型函数和指数型
4、函数的图像变化情况,可知丙不可能在最前面,也不可能在最后面,故正确。指数型函数的增长速度是先慢后快,当运动的时间足够长,最前面的物体一定是按照指数型函数运动的物体,即一定是甲,故正确。3.%2￥5#4￥9￥%(2020北京丰台区一模)某学校为了实现60万元的生源利润目标,准备制订一个激励招生人员的奖励方案:在生源利润达到5万元时,按生源利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随生源利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过3万元,同时奖金不超过利润的20%。现有三个奖励模型:y=0.2x,y=log5x,y=1.02x,其中哪个模型符合该校的要求?答案：解:一次函数直线上升,指数函数爆炸增
5、长,都会很快超过3万元,只有对数函数增长速度缓慢,满足题意。故只有模型y=log5x符合该校的要求。专题2已知函数模型解决实际问题4.%￥#0*￥269%(2020宁波期末)某产品的总成本y(单位:万元)与产量x(单位:台)之间的函数关系式是y=3000+20x-0.1x2(0x240,xN)。若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()。A.100台B.120台C.150台D.180台答案：C解析：由题意,知3000+20x-0.1x225x,0x240,xN,即x2+50x-300000,0x240,xN,解得150x240,且xN。所以生产者不亏本
6、时的最低产量是150台。故选C。5.%*9*1￥80%(2020雅安中学期中)某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(单位:年)的函数关系如图5-2。以下四种说法:图5-2前3年总产量增长速度越来越快;前3年总产量增长速度越来越慢;第3年后,这种产品停止生产;第3年后产量保持不变。其中正确说法的序号是。答案：解析： t0,3的图像反映了C随时间的变化而逐渐增长但增长速度越来越慢。由t(3,8的图像,知总产量C没有变化,即第3年后停产,所以正确。6.%69#*83%(2020天津七校联考)载人飞船是通过火箭发射的。已知某型号火箭的起飞重量Mt是箭体(包括搭载的飞行器)的重量mt和燃料重量xt之和
7、。在不考虑空气阻力的条件下,假设火箭的最大速度ykm/s关于x的函数关系为y=kln(m+x)-ln(2m)+4ln2(k0)。当燃料重量为(e-1)mt时,该火箭的最大速度为4km/s。(1)求此型号火箭的最大速度ykm/s与燃料重量xt之间的函数关系式;答案：解:由题意,得4=klnm+(e-1)m-ln(2m)+4ln2,解得k=8,所以y=8ln(m+x)-ln(2m)+4ln2=8lnm+xm。(2)若此型号火箭的起飞重量是479.8t,则应装载多少吨燃料(精确到0.1t,取e2.718)才能使火箭的最大飞行速度达到8km/s,顺利地把飞船发送到预定的椭圆轨道?答案：由已知,得M=m
8、+x=479.8,则m=479.8-x。将y=8代入(1)中所得式中,得8=8ln479.8479.8-x,解得x303.3。所以应装载大约303.3t燃料,才能使火箭的最大飞行速度达到8km/s,顺利地把飞船发送到预定的椭圆轨道。专题3建立函数模型解决实际问题7.%88*93￥#%(2020重庆市第一中学期中)某列火车从北京西站开往石家庄,全程277km。火车出发10min开出13km,之后以120km/h的速度匀速行驶。试写出火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的函数关系式,并求离开北京2h时火车行驶的路程。答案：解:因为火车匀速行驶的总时间为(277-13)120=115(h),所以
9、0t115。因为火车匀速行驶th所行驶的路程为120tkm,所以火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的函数关系式为s=13+120t0t115。离开北京2h时火车匀速行驶的时间为2-16=116(h),此时火车行驶的路程s=13+120116=233(km)。8.%#3061#￥%(2020达州四模)某企业实行裁员增效,已知现有员工a人,每人每年可创纯收益(已扣工资等)1万元,据评估,在生产条件不变的情况下,每裁员一人,则留岗员工每人每年可多创收0.01万元,但每年需付给下岗工人每位0.4万元的生活费,并且企业正常运转所需人数不得少于现有员工的34,设该企业裁员x人后,年纯收益为y万元。(
10、1)写出y关于x的函数关系式,并指出x的取值范围;答案：解:由题意,知y=(a-x)(1+0.01x)-0.4x=-1100x2+a100-140100x+a。因为a-x34a,所以x14a。故x的取值范围是0,a4上的自然数。(2)当140a280时,该企业应裁员多少人,才能获得最大的经济效益(注:在保证能取得最大经济效益的情况下能少裁员,应尽量少裁员)?答案：因为y=-1100x-a2-702+1100a2-702+a,且140a280,所以当a为偶数时,x=a2-70,y取最大值;当a为奇数时,x=a-12-70因为尽可能少裁员,所以舍去x=a+12-70,y取最大值。所以当员工人数为偶
11、数时,该企业裁员a2-70人才能获得最大的经济效益;当员工人数为奇数时,该企业裁员a-12-70人才能获得最大的经济效益。9.%66￥05*%(2020保山统测试卷)某林区2013年木材蓄积量为200万m3,由于采取了封山育林、严禁砍伐等措施,木材蓄积量的年平均增长率达到5%。(1)若经过x年后,该林区的木材蓄积量为y万m3,求y=f(x)的解析式,并求此函数的定义域;答案：解:现有木材蓄积量为200万m3,经过1年后木材蓄积量为200+2005%=200(1+5%)万m3;经过2年后木材蓄积量为200(1+5%)+200(1+5%)5%=200(1+5%)2万m3;经过x年后木材蓄积量为200(1+5%)x万m3,所以y=f(x)=200(1+5%)x(xN*)。(2)作出函数y=f(x)的图像,并应用该图像求经过多少年后,林区的木材蓄积量能达到300万m3。答案：作函数y=f(x)=200(1+5%)x(x0)的图像,如图。x0123y200210220.5231.5作直线y=300,与函数y=200(1+5%)x的图像交于A点,则A点的坐标为(x0,300),A点的横坐标x0的值就是函数值y=300时,经过的时间x(年)的值。经计算8x09,则取x0=9,所以经过9年后,林区的木材蓄积量能达到300万m3。
