1、第二章等式与不等式习题课均值不等式的应用课后篇巩固提升基础达标练1.某工厂第一年产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x,则()A.x=a+b2B.xa+b2C.xa+b2D.xa+b2解析由条件知A(1+a)(1+b)=A(1+x)2,所以(1+x)2=(1+a)(1+b)(1+a)+(1+b)22,所以1+x1+a+b2,故xa+b2.答案B2.已知正数x,y满足x+2y-xy=0,则x+2y的最小值为()A.8B.4C.2D.0解析由x+2y-xy=0,得2x+1y=1,且x0,y0.所以x+2y=(x+2y)2x+1y=4yx+xy+44+4=8,当且仅
2、当x=2y,即x=4,y=2时等号成立.答案A3.若正实数a,b满足a+b=1,则()A.1a+1b有最大值4B.ab有最小值14C.a+b有最大值2D.a2+b2有最小值22解析因为正实数a,b满足a+b=1,所以1a+1b=a+ba+a+bb=2+ba+ab2+2=4,当且仅当a=b=12时,等号成立,故1a+1b有最小值4,故A不正确;由均值不等式可得a+b=12ab,当且仅当a=b=12时,等号成立,ab14,故ab有最大值14,故B不正确;由于(a+b)2=a+b+2ab=1+2ab2,a+b2,故a+b有最大值为2,故C正确;a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab1-12=1
3、2,故a2+b2有最小值12,故D不正确.答案C4.(多选题)(2020辽宁高一月考)已知正数a,b满足a+b=4,ab的最大值为t,不等式x2+3x-t0的解集为M,则下列结论正确的是()A.t=2B.t=4C.M=x|-4x1D.M=x|-1x4解析正数a,b满足a+b=4,aba+b22=4,即ab的最大值为t=4,当且仅当a=b=2时,等号成立.x2+3x-40的解集为M,M=x|-4x0,b0,下列不等式恒成立的是()A.a2+1aB.a+1ab+1b4C.(a+b)1a+1b4D.a2+96a解析A中,由于a2+1-a=a-122+340,a2+1a,故A恒成立;B中,由于a+1a
4、2,b+1b2,a+1ab+1b4,当且仅当a=b=1时,等号成立,故B恒成立;C中,由于a+b2ab,1a+1b21ab,(a+b)1a+1b4,当且仅当a=b时,等号成立,故C恒成立;D中,当a=3时,a2+9=6a,故D不恒成立.答案ABC6.已知一次函数y=-12x+1的图像分别与x轴、y轴相交于A,B两点,若动点P(a,b)在线段AB上,则ab的最大值是,取得最值时a的值为.解析因为A(2,0),B(0,1),所以0b1,由题意得a=2-2b,ab=(2-2b)b=2(1-b)b21-b+b22=12.当且仅当1-b=b,即b=12时等号成立,此时a=1,因此当b=12,a=1时,a
5、b的最大值为12.答案1217.某公司一年需购买某种货物200吨,平均分成若干次进行购买,每次购买的运费为2万元,一年的总存储费用数值(单位:万元)恰好为每次的购买吨数数值,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则每次购买该种货物的吨数是.解析设每次购买该种货物x吨,则需要购买200x次,则一年的总运费为200x2=400x,一年的总存储费用为x,所以一年的总运费与总存储费用为400x+x2400xx=40,当且仅当400x=x,即x=20时等号成立,故要使一年的总运费与总存储费用之和最小,每次应购买该种货物20吨.答案208.如图某村计划建造一个室内面积为800平方米的矩形蔬菜温室,温室内沿
6、左右两侧与后墙内侧各保留1米宽的通道,沿前侧内墙保留3米宽的空地,当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大种植面积是多少?解设矩形的一边长为x米,则另一边长为800x米,因此种植蔬菜的区域宽为(x-4)米,长为800x-2米.由x-40,800x-20得4x0,b0,a+b=1,求证:(1)1a+1b+1ab8;(2)1+1a1+1b9.证明(1)因为a+b=1,a0,b0,所以1a+1b+1ab=21a+1b.所以1a+1b=a+ba+a+bb=2+ab+ba2+2=4,所以1a+1b+1ab8当且仅当a=b=12时等号成立.(2)方法一因为a0,b0,a+b=1,所以1+1a=
7、1+a+ba=2+ba,同理1+1b=2+ab,所以1+1a1+1b=2+ba2+ab=5+2ba+ab5+4=9.所以1+1a1+1b9当且仅当a=b=12时等号成立.方法二1+1a1+1b=1+1a+1b+1ab,由(1)知,1a+1b+1ab8,故1+1a1+1b=1+1a+1b+1ab9.当且仅当a=b=12时取等号.能力提升练1.某金店用一杆不准确的天平(两边臂不等长)称黄金,某顾客要购买10 g黄金,售货员先将5 g的砝码放在左盘,将黄金放于右盘使之平衡后给顾客,然后又将5 g的砝码放入右盘,将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客,则顾客实际所得黄金()A.大于10 gB.小于10
8、gC.大于等于10 gD.小于等于10 g解析设两臂长分别为a,b,两次放入的黄金数是x,y,依题意有ax=5b,by=5a,所以xy=25.因为x+y2xy,所以x+y10,又ab,所以xy.所以x+y10,即两次所得黄金数大于10g.答案A2.若a,b为大于1的实数,且满足a+b=ab,则4a-1+1b-1的最小值是()A.2B.4C.6D.8解析因为a,b为大于1的实数,所以4a-10,1b-10.因为a+b=ab可知ab-(a+b)=0,4a-1+1b-124a-11b-1=4ab-b-a+1=4.当且仅当a=3,b=32时等号成立.答案B3.已知正实数m,n满足m+n=1,且使1m+
9、16n取得最小值.若y=5m,x=4n是方程y=xa的解,则a=()A.-1B.12C.2D.3解析1m+16n=1m+16n(m+n)=1+16mn+nm+16=17+16mn+nm17+216mnnm=25.当且仅当16mn=nm,又m+n=1,即m=15,n=45时,上式取等号,即1m+16n取得最小值时,m=15,n=45,所以y=25,x=5,25=5a.得a=2.答案C4.若a0,b0,且a+b=1,则1a2-11b2-1的最小值是()A.9B.8C.7D.6解析1a2-11b2-1=1-a2-b2a2b2+1=(a+b)2-a2-b2a2b2+1=2ab+12a+b22+1=9.
10、所以当a=b=12时,原式取最小值9.答案A5.已知a0,b0,且2a+b=1,若不等式2a+1bm恒成立,则m的最大值等于()A.10B.9C.8D.7解析2a+1b=2a+1b(2a+b)=5+2ba+2ab5+22ba2ab=9,当且仅当2ba=2ab,即a=b=13时等号成立,所以2a+1b的最小值为9,又因为2a+1bm恒成立,所以m9,即m的最大值为9.答案B6.设a+b=2,b0,则12|a|+|a|b取最小值时a的值为.解析因为a+b=2,所以12|a|+|a|b=24|a|+|a|b=a+b4|a|+|a|b=a4|a|+b4|a|+|a|ba4|a|+2b4|a|a|b=a
11、4|a|+1,当且仅当b4|a|=|a|b时等号成立.又a+b=2,b0,所以当b=-2a,a=-2时,12|a|+|a|b取得最小值.答案-27.已知正数a,b,x,y满足a+b=10,ax+by=1,x+y的最小值为18,求a,b的值.解x+y=(x+y)ax+by=a+bxy+ayx+b=10+bxy+ayx.因为x,y0,a,b0,所以x+y10+2ab=18,当且仅当bxy=ayx时,等号成立.即ab=4.又a+b=10,所以a=2,b=8或a=8,b=2.8.某种商品原来每件售价为25元,年销售量为8万件.(1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2 000件,要使销售的
12、总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元?(2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并提高定价到x元.公司拟投入16(x2-600)万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入15x万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.解(1)设每件定价为t元,依题意得8-t-2510.2t258,整理得t2-65t+10000,解得25t40.所以要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为40元.(2)依题意不等式ax258+50+
13、16(x2-600)+15x有解,等价于x25时,a150x+16x+15有解,因为150x+16x2150x16x=10(当且仅当x=30时,等号成立),所以a10.2.所以当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.素养培优练已知函数y=x+mx-1(m0).(1)若m=1,求当x1时函数的最小值;(2)当x1,所以x-10,所以y=x-1+1x-1+12(x-1)1x-1+1=3,当且仅当x-1=1x-1,即x=2时取等号,所以当x1时函数的最小值为3.(2)因为x1,所以x-10,所以y=x-1+mx-1+1=-1-x+m1-x+1-2(1-x)m1-x+1=-2m+1,当且仅当1-x=m1-x,即x=1-m时取等号,即函数的最大值为-2m+1,所以-2m+1=-3,解得m=4.
