1、微专题强化练(二)函数性质的综合教师用书独具(建议用时:40分钟)一、选择题1已知函数f(x)(m1)x22mx3为偶函数,则f(x)在(5,2)上是()A增函数B减函数C非单调函数D可能是增函数,也可能是减函数A因为f(x)为偶函数,f(x)f(x),得(m1)(x)22mx3(m1)x22mx3,即m0.所以f(x)x23,所以f(x)在(5,2)上是增函数,故选A2已知偶函数f(x)在区间0,)上的解析式为f(x)x1,下列大小关系正确的是()Af(1)f(2)Bf(1)f(2)Cf(1)f(2)Df(1)f(2)Df(x)在0,)上为增函数,所以f(2)f(1),又f(x)为偶函数,所
2、以f(x)f(x),故f(2)f(2),f(1)f(1),所以f(2)f(1),f(2)f(1)综上所述,D正确3定义在R上的偶函数f(x),对任意x1,x20,)(x1x2),都有0成立,则()Af(3)f(2)f(1)Bf(1)f(2)f(3)Cf(2)f(1)f(3)Df(3)f(1)f(2)A因为f(x)为偶函数,所以f(2)f(2),又对任意x1,x20,)(x1x2),都有0,所以f(x)在0,)上为减函数,所以f(1)f(2)f(3),即f(1)f(2)f(3),故选A4已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x0,f(x)x22x,若f(32a)f(a),则实数a的取值范围是()A
3、(,1)B(,1)C(1,)D(1,)B当x0时,f(x)x22x是增函数,又f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)是R上的增函数,所以由f(32a)f(a)得32aa,解得a15已知奇函数f(x)在(0,)上是减函数,且在区间a,b(ab0)上的值域为3,4,则在区间b,a上()A有最大值4B有最小值4C有最大值3D有最小值3B法一:根据题意作出yf(x)的简图,由图知选B法二:当xb,a时,xa,b,由题意得f(b)f(x)f(a),即3f(x)4,4f(x)3,即在区间b,a上f(x)的最小值为4,f(x)的最大值为3.二、填空题6奇函数f(x)在区间3,6上是增函数,且在区间3,6
4、上的最大值是4,最小值是1,则2f(6)f(3)_.7由题意,函数f(x)在3,6上是增函数,在区间3,6上的最大值为4,最小值为1,故f(3)1,f(6)4.f(x)是奇函数,2f(6)f(3)2f(6)f(3)2417.7已知二次函数f(x)ax22ax1在区间3,2上的最大值为4,则a的值为_3或f(x)的对称轴为直线x1当a0时,f(x)的最大值为f(2)4,解得a;当a0时,f(x)的最大值为f(1)4,解得a3.综上,a或a3.8若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(,0上是减函数,且f(2)0,则不等式0的解集为_(2,0)(2,)由题意知f(x)f(x),所以f(2)f(2)
5、0,又f(x)在(,0上是减函数,所以当x2时,f(x)0,当2x0时,f(x)0.由函数f(x)是定义在R上的偶函数,其图像关于y轴对称可知,当x2时,f(x)0,0x2时,f(x)0,所以使得0成立的x的取值范围是(2,0)(2,)三、解答题9已知函数f(x)(x0)(1)求证:f(x)在(0,1上单调递增;(2)求函数f(x)的最大值和最小值解(1)证明:设x1,x2是区间(0,)上的任意两个实数,且x1x2,则f(x1)f(x2).当0x10,x1x210,f(x1)f(x2)0,f(x1)f(x2),f(x)在(0,1上单调递增(2)当1x10,x1x210,f(x1)f(x2)0,
6、f(x1)f(x2),f(x)在1,)上单调递减结合(1)(2)可知,f(x)maxf(1),无最小值10已知f(x1)是奇函数,f(x1)是偶函数且f(0)2,求f(12)的值解因为f(x1)为奇函数,所以有f(x1)f(x1)令tx1可得f(t)f(2t),因为函数f(x1)是偶函数,所以f(x1)f(x1),令x1t,则可得f(t)f(t2),因为f(t2)f(t2)令t2m,则f(m)f(m4),f(m8)f(m),所以f(12)f(84)f(4)f(0)2.1已知函数yf(x)是定义在R上的偶函数,且在(,0上是增函数,若不等式f(a)f(x)对任意的x1,2恒成立,则实数a的取值范
7、围是()A(,1B1,1C(,2D2,2B由题意,知f(x)在0,)上是减函数,则不等式f(a)f(x)对任意的x1,2恒成立,即不等式f(|a|)f(|x|)对任意的x1,2恒成立,|a|x|对任意的x1,2恒成立,|a|1,即1a1,故选B2(多选题)已知狄利克雷函数f(x)则下列结论正确的是()Af(x)的值域为0,1Bf(x)的定义域为RCf(x1)f(x)Df(x)是偶函数BCD根据分段函数的定义域为每段函数定义域的并集可知,函数的定义域为全体有理数与无理数的并集即R,故函数的定义域为R,值域为1,0,当x为有理数时,x1也为有理数,则f(x1)f(x)1,当x为无理数时,x1也为无
8、理数,则f(x1)f(x)0,从而有f(x1)f(x);x为有理数时,x也为有理数,此时f(x)f(x)1,当x为无理数时,x也为无理数,此时f(x)f(x)0,故函数f(x)是偶函数正确3已知定义在R上的函数f(x)满足f(1x)f(1x),且f(x)在1,)上为减函数,则当x_时,f(x)取得最大值;若不等式f(0)f(m)成立,则实数m的取值范围是_1(0,2)由f(1x)f(1x)知,f(x)的图像关于直线x1对称,又f(x)在1,)上单调递减,则f(x)在(,1上单调递增,所以当x1时f(x)取到最大值由对称性可知f(0)f(2),所以由f(0)f(m),得0m2,即实数m的取值范围
9、为(0,2)4若函数f(x)x22ax3图像的对称轴为x1,则当x1,2时,f(x)的值域为_2,6由对称轴为x1得a1f(x)x22x3,f(x)在1,1上单调递减,在1,2上单调递增,f(x)minf(1)2,f(x)maxf(1)6,f(x)2,6已知函数f(x)的定义域是(0,),当x1时,f(x)0,且f(xy)f(x)f(y)(1)求f(1);(2)证明:f(x)在定义域上是增函数;(3)如果f1,求满足不等式f(x)f(x2)2的x的取值范围解(1)令xy1,得f(1)2f(1),故f(1)0.(2)证明:令y,得f(1)f(x)f0,故ff(x)任取x1,x2(0,),且x1x2,则f(x2)f(x1)f(x2)ff.由于1,故f0,从而f(x2)f(x1)f(x)在(0,)上是增函数(3)由于f1,而ff(3),故f(3)1在f(xy)f(x)f(y)中,令xy3,得f(9)f(3)f(3)2.故所给不等式可化为f(x)f(x2)f(9),f(x)f9(x2),由(2)得f(x)在(0,)上是增函数,x9x18,x.又2x.x的取值范围是.