1、第 2 讲 空间几何体的表面积与体积第七章 立体几何初步1圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图 侧面积公式S 圆柱侧_S 圆锥侧_S 圆台侧_2rlrl(rr)l2.空间几何体的表面积与体积公式 名 称 几何体 表面积体积柱 体(棱柱和圆柱)S 表面积S 侧2S 底V_锥 体(棱锥和圆锥)S 表面积S 侧S 底V_ 台 体(棱台和圆台)S 表面积S 侧S 上S 下V13(S 上S 下 S上S下)h 球S_V_S 底h13S 底h4R243R31辨明两个易误点(1)求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理(2)底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时
2、要紧扣定义，以防出错2.求空间几何体体积的常用方法(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体3几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为 a，球的半径为 R，若球为正方体的外接球，则 2R 3a；若球为正方体的内切球，则 2Ra；若球与正方体的各棱相切，则 2R 2a.(2)长方体的共顶点的三条棱长分别为 a，b，c，外接球的半径为 R，则 2R a2b2c2.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为
3、 31.1如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为 1，那么这个几何体的体积为()A1 B12C13D16D 解析 由三视图可知，该几何体为三棱锥，V13Sh131211116，故选 D.2.教材习题改编 圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱的体积比 V 球V 柱为()A12 B23C34 D13B 解析 设球的半径为 R.则V球V柱43R3R22R23，故选 B.3.教材习题改编 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A6 B3 3C2 3D3B 解析 由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，其底面为侧视图，该侧视
4、图是底边为 2，高为 3的三角形，正视图的长为三棱柱的高，故 h3，所以几何体的体积 VSh122 333 3.4.教材习题改编 已知圆锥的侧面积为 a m2，且它的侧面展开图为半圆，则圆锥的体积为_m3.a63a2解析 圆锥的直观图与侧面展开图如图所示 设圆锥的底面半径为 r，母线为 l，则 rla，2rl，联立解得 ra2，l2a2，所以 OO1 l2r2 3a2，所以圆锥的体积 V13r2OO113 a23a2 a63a2.5.教材习题改编 一个棱长为 2 cm 的正方体的顶点都在球面上，则球的体积为_cm3.4 3解析 由题意知正方体的体对角线为其外接球的直径，所以其外接球的半径 r1
5、22 3 3(cm)，所以 V 球43r3433 34 3(cm3)空间几何体的表面积典例引领(1)(2016高考全国卷乙)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径若该几何体的体积是283，则它的表面积是()A17 B18C20D28A(2)(2017安徽江南十校联考)某几何体的三视图如图所示，其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧，则该几何体的表面积为()A4164 3B5164 3C4162 3D5162 3D【解析】(1)由三视图可得此几何体为一个球切割掉18后剩下的几何体，设球的半径为 r，故7843r3283，所以 r2，表面积 S784r234r217，选 A
6、.(2)由三视图可知该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体，三棱柱的两个侧面面积之和为 24216，两个底面面积之和为 2122 32 3；半圆柱的侧面积为 44，两个底面面积之和为 21212，所以几何体的表面积为5162 3，故选 D.空间几何体表面积的求法(1)表面积是各个面的面积之和，求多面体的表面积，只需将它们沿着棱剪开展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积求旋转体的表面积，可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，
7、先求出这些基本的柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差，求出几何体的表面积 通关练习1某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于()A82 2B112 2C142 2D15B 解析 由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示 直角梯形斜腰长为 1212 2，所以底面周长为 4 2，侧面积为 2(4 2)82 2，两底面的面积和为 2121(12)3，所以该几何体的表面积为 82 23112 2.2(2017长春调研)某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为()A21 52B212 52C2(1 5)D22 52A 解析 由几何体的三视图可知，该几何体是一个沿旋转轴
8、作截面，截取的半个圆锥，底面半径是 1，高是 2，所以母线长为 5，所以其表面积为底面半圆面积和圆锥的侧面积的一半以及截面三角形的面积的和，即1212 5122221 52.空间几何体的体积(高频考点)空间几何体的体积是每年高考的热点，考查时多与三视图结合考查，题型既有选择题、填空题，也有解答题，属于容易题高考对空间几何体的体积的考查主要有以下三个命题角度：(1)求简单几何体的体积；(2)求组合体的体积；(3)求以三视图为背景的几何体的体积典例引领(1)(2016高考北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()A16 B13C12D1A(2)(2016高考山东卷)一个由半球和四棱锥
9、组成的几何体，其三视图如图所示则该几何体的体积为()A1323 B13 23 C13 26 D1 26 C【解析】(1)由三视图可得该几何体的直观图为三棱锥A-BCD，将其放在长方体中如图所示，其中 BDCD1，CDBD，三棱锥的高为 1，所以三棱锥的体积为131211116.故选 A.(2)由三视图可知，四棱锥的底面是边长为 1 的正方形，高为 1，其体积 V11312113.设半球的半径为 R，则 2R 2，即 R 22，所以半球的体积 V21243 R31243 223 26.故该几何体的体积 VV1V213 26.故选 C.求空间几何体体积的方法策略(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或
10、台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积(2)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解 题点通关角度一 求简单几何体的体积1如图所示，已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长均为 1，且AA1底面 ABC，则三棱锥 B1-ABC1 的体积为()A 312B 34C 612D 64A 解析 三棱锥 B1-ABC1 的体积等于三棱锥 A-B1BC1 的体积，三棱锥 A-B1BC1 的高为 32，底面积为12，故其体积
11、为1312 32 312.角度二 求组合体的体积2某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A132B136C73D52B 解析 由三视图可知，该几何体是一个圆柱和半个圆锥组合而成的几何体，其体积为 1221213121136.角度三 求以三视图为背景的几何体的体积3(2017唐山第一次模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A23B43C823D843C 解析 由三视图知原几何体是棱长为 2 的正方体中挖掉一个圆锥，所以 VV 正方体V 圆锥22213(12)2823.球与空间几何体的接、切问题典例引领(2017沈阳模拟)已知直三棱柱 ABC-A1B1C1的 6 个顶点都
12、在球 O 的球面上，若 AB3，AC4，ABAC，AA112，则球 O 的半径为()A3 172 B2 10C132D3 10C【解析】如图所示，由球心作平面 ABC 的垂线，则垂足为 BC 的中点M.又 AM12BC52，OM12AA16，所以球 O 的半径 ROA52262132.若将本例中的直三棱柱改为“底面边长为 2，高为 4 的正四棱锥”，如何求解？解 如图所示，设球半径为 R，底面中心为 O且球心为 O，因为正四棱锥 P-ABCD 中 AB2，所以 AO 2.因为 PO4，所以在 RtAOO中，AO2AO2OO2，所以 R2(2)2(4R)2，解得 R94，即球的半径为94.球与空
13、间几何体接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点 P，A，B，C 构成的三条线段 PA，PB，PC两两互相垂直，且 PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用 4R2a2b2c2 求解 (2017太原一模)如图，平面四边形 ABCD 中，ABADCD1，BD 2，BDCD，将其沿对角线 BD 折成四面体 A-BCD，使平面 ABD平面 BCD，若四面体 A-BCD的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为()A3B 3
14、2 C4D 34 A 解析 由图示可得 BDAC 2，BC 3，DBC 与ABC都是以 BC 为斜边的直角三角形，由此可得 BC 中点到四个点A，B，C，D 的距离相等，即该三棱锥的外接球的直径为 3，所以该外接球的表面积 S43223.巧用“割补法”求体积(2017唐山模拟)如图，ABC 中，AB8，BC10，AC6，DB平面 ABC，且 AEFCBD，BD3，FC4，AE5，则此几何体的体积为_96【解析】法一：如图，取 CMANBD，连接 DM，MN，DN，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥 所以 V 几何体V 三棱柱V 四棱锥 由题知三棱柱 ABC-NDM 的体积为
15、V11286372.四棱锥 D-MNEF 的体积为 V213S 梯形 MNEFDN1312(12)6824，则几何体的体积为 VV1V2722496.法二：用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使 AABBCC8，所以 V 几何体12V 三棱柱12SABCAA1224896.本题给出两种求体积的方法当一个几何体的形状不规则时，常通过分割或者补形的手段将此几何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体，然后再计算经常考虑将三棱锥还原为三棱柱或长方体，将三棱柱还原为平行六面体，将台体还原为锥体 如图所示，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD是边长为 1 的正方形，且ADE，BCF 均为正三角
16、形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为()A 23 B 33 C43 D32A 解析 法一：如图所示，分别过 A，B 作 EF 的垂线，垂足分别为 G，H，连接 DG，CH，则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱，因为三棱锥高为12，直三棱柱高为 1，AG12（12）2 32，取 AD 的中点 M，则 MG 22，所以 SAGD121 22 24，所以 V 24 1213 24 12 23.法二：如图所示，取 EF 的中点 P，则原几何体分割为两个三棱锥和一个四棱锥，易知三棱锥 P-AED 和三棱锥 P-BCF 都是棱长为 1 的正四面体，四棱锥 P-ABCD 为棱长为 1 的正四棱锥 所以 V1312 22 213 34 63 23.本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放
