1、力学教程第五讲机械振动和机械波511、简谐振动的动力学特点如果一个物体受到的回复力与它偏离平衡位置的位移大小成正比，方向相反。即满足：的关系，那么这个物体的运动就定义为简谐振动根据牛顿第二是律，物体的加速度，因此作简谐振动的物体，其加速度也和它偏离平衡位置的位移大小成正比，方何相反。x图5-1-1现有一劲度系数为k的轻质弹簧，上端固定在P点，下端固定一个质量为m的物体，物体平衡时的位置记作O点。现把物体拉离O点后松手，使其上下振动，如图5-1-1所示。当物体运动到离O点距离为x处时，有 式中为物体处于平衡位置时，弹簧伸长的长度，且有，因此 说明物体所受回复力的大小与离开平衡位置的位移x成正比。
2、因回复力指向平衡位置O，而位移x总是背离平衡位置，所以回复力的方向与离开平衡位置的位移方向相反，竖直方向的弹簧振子也是简谐振动。注意：物体离开平衡位置的位移，并不就是弹簧伸长的长度。512、简谐振动的方程图5-1-2由于简谐振动是变加速运动，讨论起来极不方便，为此。可引入一个连续的匀速圆周运动，因为它在任一直径上的分运动为简谐振动，以平衡位置O为圆心，以振幅A为半径作圆，这圆就称为参考圆，如图5-1-2，设有一质点在参考圆上以角速度作匀速圆周运动，它在开始时与O的连线跟轴夹角为,那么在时刻t，参考圆上的质点与O的连线跟的夹角就成为，它在轴上的投影点的坐标 （2）这就是简谐振动方程，式中是t=0
3、时的相位，称为初相：是t时刻的相位。参考圆上的质点的线速度为，其方向与参考圆相切，这个线速度在轴上的投影是 ） （3）这也就是简谐振动的速度参考圆上的质点的加速度为，其方向指向圆心，它在轴上的投影是 ） （4）这也就是简谐振动的加速度 由公式（2）、（4）可得 由牛顿第二定律简谐振动的加速度为因此有 （5） 简谐振动的周期T也就是参考圆上质点的运动周期，所以 513、简谐振动的判据 物体的受力或运动，满足下列三条件之一者，其运动即为简谐运动： 物体运动中所受回复力应满足 ；物体的运动加速度满足 ；物体的运动方程可以表示为 。事实上，上述的三条并不是互相独立的。其中条件是基本的，由它可以导出另外
4、两个条件和。5.2 弹簧振子和单摆简谐振动的教学中经常讨论的是弹簧振子和单摆，下面分别加以讨论。图5-2-1521、弹簧振子弹簧在弹性范围内胡克定律成立，弹簧的弹力为一个线性回复力，因此弹簧振子的运动是简谐振动，振动周期 。（1）恒力对弹簧振子的作用比较一个在光滑水平面上振动和另一个竖直悬挂振动的弹簧振子，如果m和k都相同（如图5-2-1），则它们的振动周期T是相同的，也就是说，一个振动方向上的恒力不会改变振动的周期。如果在电梯中竖直悬挂一个弹簧振子，弹簧原长，振子的质量为m=1.0kg，电梯静止时弹簧伸长=0.10m，从t=0时，开始电梯以g/2的加速度加速下降,然后又以g/2加速减速下降直
5、至停止试画出弹簧的伸长随时间t变化的图线。由于弹簧振子是相对电梯做简谐运动，而电梯是一个有加速度的非惯性系，因此要考虑弹簧振子所受到的惯性力f。在匀速运动中，惯性力是一个恒力，不会改变振子的振动周期，振动周期因为，所以因此在电梯向下加速或减速运动的过程中，振动的次数都为当电梯向下加速运动时，振子受到向上的惯性力mg/2，在此力和重力mg的共同作用下，振子的平衡位置在 的地方，同样，当电梯向下减速运动时，振子的平衡位置在 图5-2-2的地方。在电梯向下加速运动期间，振子正好完成5次全振动，因此两个阶段内振子的振幅都是。弹簧的伸长随时间变化的规律如图5-2-2所示，读者可以思考一下，如果电梯第二阶
6、段的匀减速运动不是从5T时刻而是从4.5T时刻开始的，那么图线将是怎样的？ （2）弹簧的组合 设有几个劲度系数分别为、的轻弹簧串联起来，组成一个新弹簧组，当这个新弹簧组在F力作用下伸长时，各弹簧的伸长为，那么总伸长 各弹簧受的拉力也是F，所以有 图5-2-3故 根据劲度系数的定义，弹簧组的劲度系数 即得 如果上述几个弹簧并联在一起构成一个新的弹簧组，那么各弹簧的伸长是相同的。要使各弹簧都伸长，需要的外力根据劲度系数的定义，弹簧组的劲度系数 导出了弹簧串、并联的等效劲度系数后，在解题中要灵活地应用，如图5-2-3所示的一个振动装置，两根弹簧到底是并联还是串联？这里我们必须抓住弹簧串并联的本质特征
7、：串联的本质特征是每根弹簧受力相同；并联的本质特征是每根弹簧形变相同。由此可见图5-2-3中两根弹簧是串联。当m向下偏离平衡位置时，弹簧组伸长了2 ，增加的弹力为 m受到的合外力（弹簧和动滑轮质量都忽略） 所以m的振动周期 = 再看如图5-2-4所示的装置，当弹簧1由平衡状态伸长时，弹簧2由平衡位置伸长了，那么，由杆的平衡条件一定有（忽略杆的质量）ba图5-2-4 由于弹簧2的伸长，使弹簧1悬点下降 因此物体m总的由平衡位置下降了此时m所受的合外力所以系统的振动周期 （3）没有固定悬点的弹簧振子 质量分别为和的两木块A和B，用一根劲度系数为k的轻弹簧联接起来，放在光滑的水平桌面上（图5-2-5
8、）。现在让两木块将弹簧压缩后由静止释放，求系统振动的周期。想象两端各用一个大小为F、方向相反的力将弹簧压缩，假设某时刻A、B各偏离了原来的平衡位置和，因为系统受的合力始终是零，所以应该有 A、B两物体受的力的大小 由、两式可解得图5-2-5 由此可见A、B两物体都做简谐运动，周期都是此问题也可用另一种观点来解释：因为两物体质心处的弹簧是不动的，所以可以将弹簧看成两段。如果弹簧总长为，左边一段原长为，劲度系数为；右边一段原长为，劲度系数为，这样处理所得结果与上述结果是相同的，有兴趣的同学可以讨论，如果将弹簧压缩之后，不是同时释放两个物体，而是先释放一个，再释放另一个，这样两个物体将做什么运动？系
9、统的质心做什么运动？图5-2-6522、单摆一个质量为m的小球用一轻质细绳悬挂在天花板上的O点，小球摆动至与竖直方向夹角，其受力情况如图5-2-6所示。其中回复力，即合力的切向分力为 当时，振体由于惯性，来不及改变运动，处于静止状态。5.4 振动的合成若一个物体同时受到两个或几个周期性策动力的作用，在一般情况下其中一个力的存在不会对另外一个力产生影响，这时物体的振动就是它在各个策动力单独作用下产生的振动相互叠加后的振动，由各策动力单独产生的振动来求它们叠加后的振动，叫振动的合成。5. 41、 同方向、同频率两简谐运动的合成当一个物体同时参与同方向的两个振动时，它在某一时刻的位移应为同一时刻两个
10、振动的位移的代数和。当两振动的频率相同时，设此两振动的位移分别为则合振动的位移应为 上式中 根据以上结论，进一步可以看到若（k为整数），则即合振动的振幅达到最大值，此时合振动的初位相与分振动的初位相同（或相差）若或 则即合振动的振幅达到最小值。此时合振动的初位相取决于和的大小。即当时，合振动的初位相等于；当时，合振动的初位相等于；当时，则A=0，物体不会发生振动。一般情况下，可以任意值，合振动的振幅A的取值范围为5. 42、 同方向、频率相近的两振动的合成设物体同时参与两个不同频率的简谐运动，例如为简单起见，我们已设，这只要适当地选取时间零点，是可以做到的。如果再设，则合振动 T图5-4-1由
11、于和相差不多，则有（）比（）大很多，由此，上一合振动可以看成是振幅为（随时间变化）。角频率为的振动。这种振动称为“拍”。拍的位移时间图像大致如图5-4-1所示。由图可见，振幅的变化周期为变化周期的一半，即或拍频为 543、同频率相互垂直的两个简谐振动的合成当一物体同时参与相互垂直的振动时合振动的轨迹在直角坐标系中的方程为 （6-17）当时，得 合成结果仍为简谐振动（沿斜率为的直线作简谐振动）。当=时，可见，当时，合振动均为椭圆振动，但两者旋转方向不同。5.5机械波551、机械波机械振动在介质中的传播形成机械波，波传递的是振动和能量，而介质本身并不迁移。自然界存在两种简单的波：质点振动方向与波的
12、传播方向垂直时，称为横波；与传播方向一致时，叫纵波，具有切变弹性的介质能传播横波；具有体变弹性的介质可传播纵波，固体液体中可以同时有横波和纵波，而在气体中一般就只有纵波存在了。在波动中，波上相邻两个同相位质点间的距离，叫做一个波长，也就是质点作一个全振动时，振动传播的距离。由于波上任一个质点都在做受迫振动，因此它们的振动频率都与振源的振动频率相等，也就是波的频率，在波动中，波长、频率与传播速度之间满足 （1）注意：波速不同于振动质点的运动速度，波速与传播介质的密度及弹性性质有关。552、波动方程图5-5-1如图5-5-1所示，一列横波以速度沿轴正方向传播，设波源O点的振动方程为： 在轴上任意点
13、P的振动比O点滞后时间，即当O点相位为时，P点的相位为，由，P点振动方程为 这就是波动方程，它可以描述平面简谐波的传播方向上任意点的振动规律。当波向轴负方向传播时，（2）式只需改变的正负号。由波动方程，可以（1）求某定点处的运动规律将代入式（6-14），得 其中为质点作简谐振动的初相位。 （2）求两点与的相位差 将代入（2）式，得两点、的相位差 若为整数），则，则该两点同相，它们的位移和速度都相同。若为整数），则，则该两点相位相反，它们的位移和速度大小相同，速度方向刚好相反。球面波的波动方程与平面波相比，略有不同，对于球面波，其振幅随传播距离的增加而衰减，设离波源距离为处的振幅为，离波源距离为
14、处的振幅为。则有即振幅与传播的距离成反比球面简谐波的方程为 图5-5-2式中A是与波源的距离为一个单位长度处的振幅。3、波的叠加和干涉当空间存在两个（或两个以上）振源发出的波时，空间任一点的扰动是各个波在该点产生的扰动的矢量和，这叫做波的叠加原理。当有频率相同、振动方向相同的两列波在空间叠加时，会出现某些地方振动增强，某些地方振动减弱的现象，叫做波的干涉，这样的两列波叫相干波。设有两列相干波自振源、发出，两振源的位相相同，空间任一点P至的距离为，至的距离为（图5-5-2），则两列波在P点产生的振动的相位差为 当为整数），即当波程差 时，P点的合振动加强；当，即当波程差图5-5-3时，P点的合振
15、动减弱，可见P点振动的强弱由波程差决定，是P点位置的函数。总之，当某一点距离两同位相波源的波程差等于零或者是波长的整数倍时，该点振动的合振幅最大，即其振动总是加强的；当某一点距离两同位波源的波程差等于半波长或半波长的奇数倍时，该点振动的合振幅最小，即其振动总是削弱的。4、波的反射、折射和衍射 图5-5-4当波在传播过程中遇到的两种介质的交界面时，一部分返回原介质中，称为反射波；另一部分将透入第二种介质继续传播，称为折射波，入射波的传播方向与交界面的法线成角，（叫入射角），反射波的传播方向与交界面的法线成角（叫反射角）。折射波的传播方向与法线成角（叫折射角），如图5-5-3，则有 图5-5-5式
16、中为波在入射介质中的传播速度，为波在折射介质中的传播速度，（1）式称为波的反射定律，（2）式称为波的折射定律。弦上的波在线密度不同的两种弦的连结点处要发生反射，反射的波形有所不同。设弦上有一向上脉冲波，如图5-5-4，传到自由端以后反射，自由端可看成新的振源，振动得以继续延续下去，故反身波仍为向上的脉冲波，只是波形左右颠倒。当弦上有向上脉冲波经固定端反射时，固定端也可看成新的“振源”，由牛顿第三定律，固定端对弦的作用力方向与原脉冲对固定端的作用力方向相反，故反射脉冲向下，即波形不仅左、右颠倒，上、下也颠倒，这时反射波可看成入射波反向延伸的负值（如图5-5-5），将周期波看成一系列连续脉冲，周期
17、波经自由端或固定端的反射也可由此得出。波在传播过程中遇到障碍物时，偏离原来的传播方向，传到障碍物“阴影”区域的现象叫波的衍射。当障碍物或孔的尺寸比波长小，或者跟波长相差不多时，衍射现象比较明显；当障碍物或孔的尺寸比波长大的时候，衍射现象仍然存在，只是发生衍射的部分跟直进部分相比，范围较小，强度很弱，不够明显而已。此外，在障碍物或小孔尺寸一定的情况下，波长越长，衍射现象越明显。565、驻波驻波是频率相同、振幅相同、振动方向一致、传播方向相反的两列简谐波叠加的结果，如图6-5-6，设弦上传递的是连续的周期波，波源的振动方程为向左传播的入射波表达式为设波源到固定端的距离为，则入射波传到反射点时的相位
18、为考虑到入射波和反射波在连接点的振动相位相反，即入射波在反射时产生了的相位突变，故反射波在反射点的相位为反射波在原点P的相位为 因而，反射波的波动方程为合成波为： 合成波的振幅为与x有 关，振幅最大处为波腹，振幅最小处为波节。波腹的位置为图5-5-62A图5-5-7即 如图5-6-6中的D、E、F等处。波节的位置为即 如图5-5-7中的O、A、B等处。相邻两波节（或波腹）之间的间距为。不同时刻驻波的波形如图5-6-7所示，其中实线表示、T、2T时的波形；点线表示、时的波形；点划线表示、时的波形。556、多普勒效应站在铁路旁边听到车的汽笛声，发现当列车迎面而来时音调较静止时为高，而列车迅速离去时
19、音调较静止时为低，此外，若声源静止而观察者运动，或者声源和观察者都运动，也会发生收听频率和声源频率不一致的现象，这种现象称为多普勒效应。下面分别探讨各种情况下多普勒频移的公式：图5-5-8（1）波源静止观察者运动情形如图5-5-8所示，静止点波源发出的球面波波面是同心的，若观察者以速度趋向或离开波源，则波动相对于观察者的传播速度变为或，于是观察者感受到的频率为从而它与波源频率之比为图5-5-9 （2）波源运动观察者静止情形若波源以速度运动，它发出的球面波不再同心。图5-5-9所示两圆分别是时间相隔一个周期T的两个波面。它们中心之间的距离为T，从而对于迎面而来或背离而去的观察者来说，有效的波长为
20、观察者感受到的频率为因而它与波源频率之比为（3）波源和观察者都运动的情形此处只考虑波的传播方向、波源速度、观察者速度三者共线的特殊情况，这时有效波速和波长都发生了变化，观察者感受到的频率为从而它与波源频率之比为下举一个例 单行道上，有一支乐队，沿同一个方向前进，乐队后面有一坐在车上的旅行者向他们靠近。此时，乐队正在奏出频率为440HZ的音调。在乐队前的街上有一固定话筒作现场转播。旅行者从车上的收音机收听演奏，发现从前面乐队直接听到的声音和从广播听到的声音混合后产生拍，并测出三秒钟有四拍，车速为18km/h，求乐队前进速度。（声速=330m/s）。解：先考虑车上听到的频率，连续两次应用多普勒效应
21、，有 （为旅行者听到乐队的频率）得 收音机得到频率为 旅行者听到广播频率为 又拍频为 综上得：=2.98m/s557声波机械振动在空气中的传播称为声波。声波作用于人耳，产生声音感觉。人耳可闻声波频率是1620000。频率超过20000的声波叫超声波。超声波具有良好的定向性和贯穿能力。频率小于16的声波称为次声波。在标准情况下，声波在空气中的速度为331m/s。（1）声波的反射声波遇障碍物而改变原来传播方向的现象。回声和原来的声波在人耳中相隔至少0.1秒以上，人耳才能分辨，否则两种声音将混在一起，加强原声。室内的声波，经多次反射和吸收，最后消失，这样声源停止发声后，声音还可在耳中继续一段时间，这
22、段时间叫交混回响时间。交混回响时间太长，前后音互相重叠，分辨不清；交混时间太短，给人以单调不丰满的感觉，这种房间不适于演奏。（2）声波的干涉两列同频率同振幅的声波在媒质中相遇而发生的波干涉现象。（3）声波的衍射声波遇障碍物而发生的波衍射现象。由于声波波长在17cm17m之间，与一般障碍物尺寸可相比拟，可绕过障碍物进行传播。而可见光的波长在0.40.8，一般障碍物不能被光绕过去。这就是“闻其声而不见其人”的缘由。（4）共鸣声音的共振现象音叉和空气柱可以发生共鸣。在一个盛水的容器中插入一根玻璃管，在管口上方放一个正在发声的音叉，当把玻璃管提起和放下，以改变玻璃管中空气柱的长度时，便可以观察到空气柱与音叉发生共鸣的现象。在这个实验中发生共鸣的条件是：，式中L为玻璃管的长度，为音叉发出声波的波长，n为自然数。5、乐音噪声好听、悦耳的声音叫乐音，嘈杂刺耳的声音叫噪声。乐音是由作周期性振动的声源发出的，嘈声是由做无规则非周期性振动的声源产生的。6、音调、响度与音品为乐音三要素。音调基音频率的高低，基频高则称音调高。人们对音调的感觉客观上也取决于声源振动的频率，频率高，感觉音调高。响度声音的强弱。声源振幅大、声音的声强（单位时间内通过垂直于声波传播方向的单位面积的能量）也大，人感觉到的声音也大。音品音色，它反映了不同声源发出的声音具有不同的特色。音品由声音所包含的泛音的强弱和频率决定。
