1、3.1.2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质学 习 任 务核 心 素 养1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义(重点)2.能根据几何性质求椭圆方程，解决相关问题(难点、易混点)通过研究椭圆的几何性质，提升直观想象、逻辑推理与数学运算素养.已知椭圆C的方程为y21，根据这个方程完成下列任务：(1)观察方程中x与y是否有取值范围，由此指出椭圆C在平面直角坐标系中的位置特征；(2)指出椭圆C是否关于x轴、y轴、原点对称；(3)指出椭圆C与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标知识点椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程1(ab0)1(ab0
2、)范围axa且bybbxb且aya对称性对称轴为坐标轴，对称中心为原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b,0)，B2(b,0)轴长短轴长|B1B2|2b，长轴长|A1A2|2a焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2c离心率e(0,1)(1)离心率对椭圆扁圆程度有什么影响？(2)椭圆上的点到焦点的距离的最大值和最小值分别是多少？提示(1)e越大(接近于1)，椭圆越扁，e越小(接近于0)，椭圆越圆(2)最大值ac，最小值ac.(1)经过点P(3,0)，Q(0,2)的椭圆的标准方程为()A
3、1B1C1D1(2)已知椭圆1，则椭圆的离心率e_.(1)A(2)(1)由题易知点P(3,0)，Q(0,2)分别是椭圆长轴和短轴的一个端点，故椭圆的焦点在x轴上，所以a3，b2，故椭圆的标准方程为1.(2)由题意知a216，b29，则c27，从而e. 类型1由椭圆方程研究几何性质【例1】(对接教材P112例题)(1)椭圆1(ab0)与椭圆(0且1)有()A相同的焦点B相同的顶点C相同的离心率D相同的长、短轴(2)设椭圆方程mx24y24m(m0)的离心率为，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标(1)C在两个方程的比较中，端点a、b均取值不同，故A，B，D都不对，而a，b，c虽然均不同，
4、但倍数增长一样，所以比值不变，故应选C(2)解椭圆方程可化为1.当0m4时，a，b2，c，e，解得m，a，c，椭圆的长轴长和短轴长分别为，4，焦点坐标为F1，F2，顶点坐标为A1，A2，B1(2,0)，B2(2,0)试总结根据椭圆的标准方程研究其几何性质的基本步骤.提示(1)将椭圆方程化为标准形式.(2)确定焦点位置.(焦点位置不确定的要分类讨论)(3)求出a，b，c.(4)写出椭圆的几何性质.跟进训练1已知椭圆C1：1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质解(1
5、)由椭圆C1：1，可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(6,0)，(6,0)，离心率e.(2)椭圆C2：1.几何性质如下：范围：8x8，10y10；对称性：对称轴：x轴、y轴，对称中心：原点；顶点：长轴端点(0,10)，(0，10)，短轴端点(8,0)，(8,0)；焦点：(0,6)，(0，6)；离心率：e，焦距为12. 类型2由椭圆的几何性质求其标准方程【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)椭圆过点(3,0)，离心率e；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；(3)经过点M(1,2)，且与椭圆1有相同的离心率解(1)若焦点在x轴上，则a3，e，c，b
6、2a2c2963.椭圆的方程为1.若焦点在y轴上，则b3，e，解得a227.椭圆的方程为1.所求椭圆的方程为1或1.(2)设椭圆方程为1(ab0)如图所示，A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|c，|A1A2|2b，cb4，a2b2c232，故所求椭圆的方程为1.(3)法一：由题意知e21，所以，即a22b2，设所求椭圆的方程为1或1.将点M(1,2)代入椭圆方程得1或1，解得b2或b23.故所求椭圆的方程为1或1.法二：设所求椭圆方程为k1(k10)或k2(k20)，将点M的坐标代入可得k1或k2，解得k1，k2，故或，即所求椭圆的标准方程为1或1.利用椭圆的
7、几何性质求标准方程的思路(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：确定焦点位置；设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2a2c2，e等(2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个提醒：与椭圆1(ab0)有相同离心率的椭圆方程为k1(k10，焦点在x轴上)或k2(k20，焦点在y轴上)跟进训练2(1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3,0
8、)，则椭圆的标准方程为_(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cosOFA，则椭圆的标准方程是_(1)1(2)1或1(1)由题意，得解得因为椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为1.(2)因为椭圆的长轴长是6，cosOFA，所以点A不是长轴的端点(是短轴的端点)所以|OF|c，|AF|a3，所以，所以c2，b232225，所以椭圆的标准方程是1或1. 类型3求椭圆的离心率【例3】(1)设椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2F1F2，PF1F230，则C的离心率为()ABCD(2)已知P为椭圆1(ab0)
9、上一点，F1，F2为椭圆焦点，且|PF1|3|PF2|，则椭圆离心率的范围是()ABCD离心率e，因此建立a，b，c中二个量之间的关系式就可以求离心率或其范围，由此思考根据条件如何建立关系式.(1)B(2)D(1)法一：由题意知，|PF1|2|PF2|，且|PF1|PF2|2a，所以|PF1|a，|PF2|a，又|F1F2|2|PF2|2|PF1|2，(2c)2，即e.法二：由PF2F1F2可知P点的横坐标为c，将xc代入椭圆方程可解得y，所以|PF2|.又由PF1F230可得|F1F2|PF2|，故2c，变形可得(a2c2)2ac，等式两边同除以a2，得(1e2)2e，解得e或e(舍去)(2
10、)由题意知解得由|PF1|aac得e，又0e1，e1，故选D1求椭圆的离心率的常见思路一是先求a，c，再计算e；二是依据条件，结合有关知识和a，b，c的关系，构造关于e的方程，再求解；三是注意e，可以利用a，b直接求e，注意e的范围：0eb0)，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上总存在点P使得PF1PF2，则椭圆的离心率的取值范围为_(1)D(2)(1)在RtPF1F2中，PF2F160，|F1F2|2c，则|PF2|c，|PF1|c，又|PF1|PF2|2a，cc2a，e1，故选D(2)由PF1PF2，知F1PF2是直角三角形，所以cb，即c2a2c2，所以ac，因为e，0e1，所以e
11、1.1已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率为，则C的方程是()A1B1C1Dy21C依题意知，所求椭圆的焦点位于x轴上，且c1，e，则a2，b2a2c23，因此椭圆的方程是1.2椭圆6x2y26的长轴的端点坐标是()A(1,0)，(1,0)B(0，1)，(0,1)C(，0)，(，0)D(0，)，(0，)D椭圆方程可化为x21，焦点在y轴上，长轴端点的坐标为(0，)3已知椭圆C2过椭圆C1：1的两个焦点和短轴的两个端点，则椭圆C2的离心率为()AB CDA椭圆C1：1的焦点为(，0)，短轴的两个端点为(0，3)，由题意可得椭圆C2：a3，b，可得c2，即离心率e.4与椭圆1有相同
12、的离心率且长轴长与1的长轴长相等的椭圆的标准方程为_1或1椭圆1的离心率为e，椭圆1的长轴长为4.所以解得a2，c，故b2a2c26.又因为所求椭圆焦点既可在x轴上，也可在y轴上，故方程为1或1.5若焦点在y轴上的椭圆1的离心率为，则m的值为_由题意知0m2，且e211.所以m.回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)试总结根据椭圆的标准方程研究其几何性质的步骤提示化标准，把椭圆方程化成标准形式；定位置，根据标准方程中x2，y2对应分母的大小来确定焦点位置；求参数，写出a，b的值，并求出c的值；写性质，按要求写出椭圆的简单几何性质(2)试总结根据椭圆的几何性质，求其标准方程的思路提示已知椭圆的几何性质，求其标准方程主要采用待定系数法，解题步骤为：确定焦点所在的位置，以确定椭圆标准方程的形式；确立关于a，b，c的方程(组)，求出参数a，b，c；写出标准方程(3)试总结求椭圆离心率的方法提示若已知a，c的值或关系，则可直接利用e求解；若已知a，b的值或关系，则可利用e求解；若已知a，b，c的关系，则可转化为a，c的方程或不等式，进而得到关于e的方程或不等式进行求解
