1、6.2.2直线上向量的坐标及其运算学习目标课标要求素养要求1.理解直线上向量的坐标的定义.2.掌握直线上向量的运算与坐标的关系.3.会求数轴上两点之间的距离及中点坐标.通过对直线上向量的坐标定义的理解,提升学生的数学抽象、直观想象素养;通过直线上向量坐标的运算,提升学生的数学运算素养.自主预习1.如图,已知向量a长度为1.(1)那么向量a与向量b和c是什么关系?(2)向量b和c用a怎么表示?2.数轴是怎样定义的?3.画一条数轴,在轴上作出两个坐标相反的点.我们已学过了数轴上点的坐标,如图问题1点A,B的坐标分别是什么?问题2向量OA,OB的长度分别是多少?问题3如果向量e是与轴方向相同的单位向
2、量,如何用e表示OA,OB?问题4如果点A(x1),B(x2),又怎么办呢?课堂探究一、直线上向量的坐标的定义给定一条直线l以及这条直线上一个单位向量e,一定存在唯一的实数x,使得a=xe,此时,称为向量a的坐标.如果直线上向量a的坐标为x,此时|a|=|xe|=|x|e|=|x|;当x0时,a的方向与e的方向;当x=0时,a为;当x0时,a的方向与e的方向.题型一直线上的向量坐标例1已知e是直线l上的一个单位向量,向量a与b都是直线l上的向量,分别在下列条件下写出a与b的坐标:(1)a=2e,b=-3e;(2)a=-13e,b=4e.训练1如图所示,求出向量a,b的坐标.思考:如何得出直线上
3、向量的坐标呢?二、直线上向量的运算与坐标的关系我们已学过了数轴上点的坐标,如图问题1向量OA+OB坐标是多少?问题2如果A(x1),B(x2)又怎么办呢?问题3以小组为单位总结如下问题,若a,b的坐标分别为x1,x2,则a+b的坐标为;a-b的坐标为;a的坐标为;ua+vb的坐标为;ua-vb的坐标为.学生总结:(1)假设直线上两个向量a,b的坐标分别为x1,x2,当a=b时,;反之,结论也成立.(2)a+b的坐标是,a-b的坐标是,ua+vb的坐标是,ua-vb的坐标是.题型二直线上向量坐标的线性运算例2已知直线上向量a的坐标为-3,b的坐标为4,求下列向量的坐标:(1)a-b;(2)15b
4、;(3)-2a+3b.我们已学过了数轴上点的坐标,如图问题1AB,BA对应的坐标分别是多少?问题2如果点A(x1),B(x2),又怎么办呢?问题3与两者顺序有关吗?如果已知数轴上点A(x1),B(x2),则以两点为端点的向量的坐标如何表示?.训练2已知A,B都是数轴上的点,A(-3),且AB的坐标为-5,求点B的坐标.三、数轴上两点之间的距离公式与中点坐标公式我们已学过了数轴上点的坐标,如图问题1AB,BA对应的长度分别是多少?问题2AB的中点坐标是多少?问题3如果点A(x1),B(x2),又怎么办呢?学生总结数轴上两点之间的距离公式与数轴上的中点坐标公式.设A(x1),B(x2)是数轴上两点
5、,M(x)是线段AB的中点,则AB=|AB|=.x=.题型三数轴上两点之间的距离公式与中点坐标公式例3已知A,B,C为数轴上三点,且xA=-2,xB=6,试求符合下列条件的点C的坐标.(1)AC=10;(2)|AC|=3|BC|.训练3设数轴上两点A,B的坐标分别为2,-6,求:(1)向量AB的坐标以及点A与B的距离;(2)线段AB中点的坐标.课堂练习1.已知直线上OA,OB的坐标分别为-1,2,则下列结论不正确的是()A.OAOBB.|OA|OB|C.|AB|=3D.AB的中点坐标为122.数轴上的向量a的模为1,则a的坐标为()A.1B.-1C.1D.不能确定3.数轴上点A(-3)关于点M
6、(2)的对称点为B(x),则x=.4.已知a,b是直线上的向量,a的坐标为1,且|3a-2b|=1,求b的坐标.核心素养专练基础达标1.已知a,b是直线上的向量,满足|a-b|=1的是()A.a,b的坐标分别为-1,+1B.a,b的坐标分别为0,2C.a,b的坐标分别为-1,0D.a,b的坐标分别为-2,02.已知a,b是数轴上的向量,且满足|a+b|=|a|+|b|,下列叙述正确的是()A.a,b都与数轴正方向相同B.a,b都与数轴正方向相反C.a,b中一个与数轴正方向相同,另一个与数轴正方向相反D.a,b都与数轴的正方向相同或相反,或者a,b中至少有一个为零向量3.数轴上,点A(-2)关于
7、原点O的对称点是点B(x),点O与点C(y)的中点是B.则y=.4.如图所示,求出直线上向量a,b的坐标.5.设数轴上两点A,B的坐标分别为-1,3,求:(1)向量AB的坐标以及点A与B的距离;(2)线段AB中点的坐标.能力提升6.已知a,b是直线上的向量,满足2a+3b=e的一组向量a,b的坐标分别为.(答案不唯一)创新猜想7.(多选题)已知a,b是同一直线上的向量,下列选项中一定不成立的是()A.|a|-|b|a+b|B.|a|-|b|a-b|0时,a的方向与e的方向;当x=0时,a=;当x0时,a的方向与e的方向.二、直线上向量的运算与坐标的关系1.已知两个向量a,b的坐标分别为x1,x
8、2,则(1)a+b的坐标为;(2)ua+vb的坐标为;(3)ua-vb的坐标为.小试牛刀:已知直线上a的坐标为-2,b的坐标为5,求下列向量的坐标:(1)a+b;(2)15b;(3)-2a-3b.2.数轴上两点间的距离公式:设点A(x1),B(x2),则|AB|=.3.中点坐标公式:设M(x)是线段AB的中点,则x=.小试牛刀:已知数轴上A,B两点的坐标分别为3,-7,求:(1)向量AB的坐标及A,B两点之间的距离;(2)线段AB中点的坐标.课堂探究探究一、概念的辨析问题例1下列命题正确的个数为()(1)向量的长度大于0;(2)数轴上离原点越远的点表示的数越大;(3)AB+AC=BC.A.0B
9、.1C.2D.3变式训练1以下结论错误的为()A.0在数轴上表示的点是原点B.一千万分之一在数轴上的对应的点是不存在的C.规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴D.在数轴上表示2和-2的点到原点的距离相等探究二、直线上向量基本公式的应用例2已知数轴上有A,B两点,A,B之间的距离为1,点A与原点O的距离为3.(1)求向量OA,AB的坐标;(2)求所有满足条件的点B到原点O的距离之和.变式训练2(1)已知数轴上三点A,B,C的坐标分别是4,-2,-6.求:AB,BC,CA的坐标长度.(2)已知A,B,C是数轴上任意三点.若点A(4),B(-2),求AB中点的坐标;若AB的坐标为4,CB的坐标是
10、2,求|AC|.探究三、直线上向量坐标运算的实际应用例3在平面直角坐标系中,已知点A(3,2),B(1,0),C(-2,0),试在x轴上确定点D的坐标,使SABC=12SABD.变式训练3解关于x的方程:|x-2|+|x-3|=1.课堂小结1.构建思维脉络;2.画知识网络图;3.掌握两种数学思想.课堂练习1.已知数轴上A,B两点的坐标分别为3,-6,则|AB|=()A.3B.6C.9D.42.在数轴上,与点M(-1)的距离是4的点的坐标为.3.在数轴上求一点P,使它到点A(-8)的距离是它到点B(-4)的距离的2倍.4.已知|x-1|1,求实数x的取值范围.作业:P160练习A,B核心素养专练
11、1.已知向量a,b在同一条直线上,|a|=2|b|,若b的坐标为2,则a的坐标为()A.4B.-4C.2或-2D.4或-42.已知数轴上两点A,B的坐标分别为a,b,则向量AB的坐标为()A.a-bB.b-aC.-a-bD.a+b3.已知数轴上两点A,B的坐标分别为-1和3,若P为数轴上一点,且|PA|+|PB|=6,则点P的坐标为()A.-3B.-3或5C.-2D.-2或44.已知直线上向量a的坐标为m,若b=-a,则向量b的坐标为()A.mB.-mC.0D.m或-m5.已知数轴上两点M,N,且|MN|=4,xM=-3,则xN=()A.1B.2C.-7D.1或-76.已知直线上向量a的坐标为
12、-2,b的坐标为5,则|2a+b|=()A.1B.2C.3D.47.如图,数轴上四点O,A,B,C,其中O为原点,且AC=2,|OA|=|OB|,若点C的坐标为a,则点B的坐标为()A.-a-2B.2-aC.a-2D.a+28.数轴上点A,B的坐标分别为-4,2,点C是线段AB的中点,则向量AC的坐标为.9.已知直线上向量a的坐标为-32,b的坐标为1,c的坐标为-23,则|2a+3b-6c|=.10.已知数轴上两点A,B的坐标分别为x1,x2,求AB,BA的坐标及A,B两点间的距离.(1)x1=2,x2=-5.3;(2)x1=10,x2=20.5.11.直线上向量a的坐标为5,b的坐标为-1
13、3,求下列向量的坐标:(1)-3b;(2)a-b;(3)2a+3b;(4)-a-6b.12.数轴上点A,B,C的坐标分别为4,-6,x,线段AB的中点为D.(1)求向量AB的坐标及点A,B的距离;(2)求点D的坐标;(3)若|AC|=8,求x的值.参考答案自主预习略课堂探究例1A变式训练1B例2解:(1)因为点A与原点O的距离为3,所以点A的坐标为A(3)或A(-3).当A(3)时,A,B之间的距离为1.B(2)或B(4),这时OA的坐标为3,AB的坐标为-1或1;当A(-3)时,A,B之间的距离为1,B(-4)或B(-2),此时OA的坐标为-3,AB的坐标为-1或1.(2)满足所有条件的点B
14、到原点O的距离之和为2+4+4+2=12.变式训练2(1)解:AB=-2-4=-6;BC=-6-(-2)=-4;CA=4-(-6)=10.(2)解:AB中点的坐标为4+(-2)2=1;因为AC=AB+BC=AB-CB=4-2=2,所以|AC|=2.例3解:由题意知ABC与ABD有共同的高h=2,所以使SABC=12SABD,只要|BC|=12|BD|.设D(xD,0),则|1-(-2)|=12|1-xD|.解得xD=-5或7.所以点D的坐标为(-5,0)或(7,0).变式训练3解:方法一分类讨论思想(1)当x2时,原方程等价于-x+2-x+3=1,即2x=4,所以x=2,不满足x3时,原方程等
15、价于x-2+x-3=1,即2x=6,所以x=3,不满足x3,故舍去;综上,满足2x3的实数都是方程的根.方法二数形结合的思想方程中的x表示数轴上与2和3的距离之和为1的点,而数轴上2与3的距离恰恰为1,结合数轴可知满足2x3的实数都是方程的根.课堂练习1.C2.3或-53.解:设点P的坐标为P(x),则d(P,A)=2d(P,B),即|x+8|=2|x+4|,即|x+8|=|2x+8|,即x+8=(2x+8).解得x=0或-163.所以P的坐标为P(0)或P-163.4.0x2.核心素养专练1.D2.B3.D4.B5.D6.A7.B8.39.410.解:(1)AB=x2-x1=-5.3-2=-7.3,BA=x1-x2=2-(-5.3)=7.3,|AB|=7.3.(2)AB=x2-x1=20.5-10=10.5,BA=x1-x2=10-(20.5)=-10.5,|AB|=10.5.11.解:(1)1;(2)163;(3)9;(4)-3.12.解:(1)AB=-6-4=-10,|AB|=10.(2)D(-1);(3)|AC|=|x-4|=8,x=12或-4.
