1、课时规范练17任意角、弧度制及任意角的三角函数基础巩固组1.(2021云南大理高三检测)如果角的终边过点(1,-3),则sin 的值等于()A.12B.-12C.-32D.-33答案:C解析:点(1,-3)到原点的距离r=(-3)2+12=2,由定义知sin=yr=-32.2.(2021江苏无锡模拟)若角的终边经过点P(3,a)(a0),则()A.sin 0B.sin 0D.cos 0答案:C解析:由点的坐标可知,角的终边可能在第一或第四象限,故正弦符号不确定,角的余弦必为正值.3.(2021湖北武汉质检)已知角为第二象限角,且cos2=-cos2,则角2是()A.第一象限角B.第二象限角C.
2、第三象限角D.第四象限角答案:C解析:因为角为第二象限角,所以2为第一或第三象限角.又cos20,所以2为第三象限角.4.(2021江西赣州高三期末)我们学过用角度制与弧度制度量角,最近,有学者提出用“面度制”度量角,因为在半径不同的同心圆中,同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数,从而称这个常数为该角的面度数,这种用面度作为单位来度量角的单位制,叫作面度制.在面度制下,角的面度数为3,则角的余弦值为()A.-32B.-12C.12D.32答案:B解析:由面度数的定义可知12r2r2=3,即=23.所以cos=cos23=-12.5.(2021安徽黄山二模)若一扇形的圆心角为144,半
3、径为10 cm,则扇形的面积为cm2.答案:40解析:扇形的面积为S=144360102=40(cm2).6.(2021上海华东师大二附中三模)与2 021终边相同的最小正角是.答案:221解析:因为2021=1800+221=5360+221,所以与2021终边相同的最小正角是221.7.(2021广西南宁三中模拟)已知角的终边过点P(8m,3),且cos =-45,则实数m的值为.答案:-12解析:由题意,cos=8m64m2+9=-45,解得m=-12.综合提升组8.(2021广东梅州一模)九章算术中方田章有弧田面积计算问题,计算术曰:以弦乘矢,矢又自乘,并之,二而一.其大意是弧田面积计
4、算公式为:弧田面积=12(弦矢+矢矢).弧田是由圆弧(弧田的弧)和以圆弧的端点为端点的线段(弧田的弦)围成的平面图形,公式中的“弦”指的是弧田的弦长,“矢”指的是弧田的弧所在圆的半径与圆心到弧田的弦的距离之差.现有一弧田,其弧田的弦AB等于6米,其弧田的弧所在圆为圆O,若用上述弧田面积计算公式算得该弧田面积为72平方米,则sinAOB=.答案:2425解析:如图所示,AB=6,OA=R,CO=d,由题意可得弧田面积S=126(R-d)+(R-d)2=72,解得R-d=1,R-d=-7(舍).又因为R2-d2=32=9,所以R=5,d=4.所以sinCOA=35,cosCOA=45,所以sinA
5、OB=23545=2425.9.(2021广东揭阳质检)长为1 m的圆柱形木材有一部分镶嵌在墙体中,截面如图所示(阴影为镶嵌在墙体内的部分).已知弦AB=2 dm,弓形高CD=(20-103)cm,估算该木材镶嵌在墙中的侧面积约为cm2.答案:20003解析:设截面圆的半径为R,点D在线段CO上,AD=12AB=10cm,OD=R-CD=R-(20-103),根据垂径定理可得R2=OD2+AD2,解得R=20cm,所以AOD=6,则有AOB=3,故可得弧AB=203cm,结合木材长1m,可得该木材镶嵌在墙中的侧面积约为20003cm2.10.(2021湖南永州三模)下图为某月牙潭的示意图,该月
6、牙潭是由两段在同一平面内的圆弧形堤岸连接围成,其中外堤岸为半圆形,内堤岸圆弧所在圆的半径为30米,两堤岸的连接点A,B间的距离为302米,则该月牙潭的面积为平方米.答案:450解析:如图是内堤岸圆弧所在圆,由题意OA=OB=30,AB=302,所以OAOB,弦AB上方弓形面积为S2=14302-123030=225-450,所以所求面积为S=12(152)2-S2=225-(225-450)=450.创新应用组11.(2021江西赣州一模)斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”,它的画法是:以斐波那契数:1,1,2,3,5,8,为边的正方形拼成长方形,然后在每个正方形中画一个圆心角为9
7、0的圆弧,这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案,例如向日葵、鹦鹉螺等.下图为该螺旋线的前一部分,如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面,则该圆锥的高为()A.132B.13154C.134D.132答案:B解析:由斐波那契数的规律可知,从第三项起,每一个数都是前面两个数之和,即接下来的圆弧对应的圆的半径是5+8=13,对应的弧长是l=21314=132.设圆锥底面半径为r,则2r=132,解得r=134,所以圆锥的高为h=132-(134)2=13154.12.(2021广西柳州模拟)如图所示,阴影部分的月牙形的边缘都是圆弧,两段圆弧分别是ABC
8、的外接圆和以AB为直径的圆的一部分,若ACB=23,AC=BC=1,则该月牙形的面积为()A.34+24B.34-24C.14+24D.334-8答案:A解析:如图,取AB的中点D,连接CD.因为AC=BC=1,所以CDAB.因为ACB=23,所以ACD=3,所以AD=ACsin3=132=32,所以AB=3.由正弦定理,得ABsinACB=3sin23=332=2R=2,所以ABC的外接圆半径R=1.设ABC外接圆的圆心为O,连接OD,OA,OB,则ODAB.由题意,内侧圆弧为ABC外接圆的一部分,且其对应的圆心角为AOB=23,则弓形ACB的面积为S扇形AOB-S三角形AOB=13R2-12ABOD=312-12312=3-34.外侧圆弧是以AB为直径的圆的一部分,所以半圆AB的面积为12322=38,则月牙形的面积为38-3-34=34+24.
