1、 类型1空间向量的线性运算和数量积空间向量的线性运算与数量积是整章的基础内容，也是后续学习的工具，可类比平面向量的线性运算和数量积进行运算【例1】(1)(多选题)如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2.以下选项正确的是()A0B()()0C0D(2)如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60.求的长；求与夹角的余弦值(1)BCD()()0，所以B正确；0，所以C正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SASBSCSD2，所以22cosASB，22cosCSD，而ASBCSD，于是
2、，因此D正确(2)解记a，b，c，则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，abbcca.|2(abc)2a2b2c22(abbcca)11126，|.即AC1的长为.bca，ab，|，|，(bca)(ab)b2a2acbc1，cos，.即与夹角的余弦值为.跟进训练1如图，已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O，Q是CD的中点，求下列各题中x，y的值：(1)xy；(2)xy.解(1)因为()，所以xy.(2)因为2，所以2.又因为2，所以2，所以2(2)22，所以x2，y2. 类型2利用空间向量证明平行、垂直问题通过直线的方
3、向向量和平面的法向量，把直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系完全转化为两个向量之间的关系，然后通过向量的运算，得到空间图形的位置关系，用空间向量解决位置关系问题时，一般有“基底法”和“坐标法”两种方法，当不易建空间直角坐标系时，可选择“基底法”，“基底法”比“坐标法”更具有一般性【例2】在四棱锥PABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PAADCD2AB2，M为PC的中点(1)求证：BM平面PAD；(2)平面PAD内是否存在一点N，使MN平面PBD？若存在，确定N的位置；若不存在，说明理由解(1)证明：以A为原点，以AB，AD，AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示
4、，则B(1,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，M(1，1,1)，(0,1,1)，平面PAD的一个法向量为n(1,0,0)，n0，即n，又BM平面PAD，BM平面PAD(2)(1,2,0)，(1,0，2)，假设平面PAD内存在一点N，使MN平面PBD设N(0，y，z)，则(1，y1，z1)，从而MNBD，MNPB，即N，在平面PAD内存在一点N，使MN平面PBD跟进训练2在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14.(1)求证：ACBC1；(2)请说明在AB上是否存在点E，使得AC1平面CEB1.解 (1)证明：在直三棱柱ABCA1B1C1中，因
5、为AC3，BC4，AB5，所以AC，BC，CC1两两垂直，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系则C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，B1(0,4,4)因为(3,0,0)，(0，4,4)，所以0，所以，即ACBC1.(2)假设在AB上存在点E，使得AC1平面CEB1，设t(3t,4t,0)，其中0t1.则E(33t,4t,0)，(33t,4t4，4)，(0，4，4)又因为mn成立，所以m(33t)3，m(4t4)4n0，4m4n4，解得t.所以在AB上存在点E，使得AC1平面CEB1，这时点E为AB的中点
6、类型3利用空间向量求距离(1)空间距离的计算思路点P到直线l的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为a，则点P到直线l的距离为(如图1)图1点P到平面的距离：设平面的法向量为n，A是平面内的定点，P是平面外一点，则点P到平面的距离为(如图2)(2)通过利用向量计算空间的角，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力图2【例3】长方体ABCDA1B1C1D1中，AB4，AD6，AA14，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且|CP|2，Q是DD1的中点，求：(1)M到直线PQ的距离；(2)M到平面AB1P的距离解如图，建立空间直角坐标
7、系Bxyz，则A(4,0,0)，M(2,3,4)，P(0,4,0)，Q(4,6,2)，B1(0,0,4)(1)(2，3,2)，(4，2，2)，在上的射影的模.故M到PQ的距离为.(2)设n(x，y，z)是平面AB1P的一个法向量，则n，n，(4,0,4)，(4,4,0)，因此可取n(1,1,1)，由于(2，3，4)，那么点M到平面AB1P的距离为d，故M到平面AB1P的距离为.跟进训练3在三棱锥BACD中，平面ABD平面ACD，若棱长ACCDADAB1，且BAD30，求点D到平面ABC的距离解如图所示，以AD的中点O为原点，以OD，OC所在直线为x轴、y轴，过O作OM平面ACD交AB于M，以直
8、线OM为z轴建立空间直角坐标系，则A，B，C，D，设n(x，y，z)为平面ABC的一个法向量，则yx，zx，可取n(，1,3)，代入d，得d，即点D到平面ABC的距离是. 类型4利用空间向量求夹角利用空间向量求夹角是空间向量的重要应用，利用向量方法求夹角，可不做出角而求出角的大小，体现了向量方法的优越性【例4】如图，在长方体AC1中，ABBC2，AA1，点E，F分别是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系试用向量方法解决下列问题：(1)求异面直线AF和BE所成的角；(2)求直线AF和平面BEC所成角的正弦值
9、解(1)由题意得A(2,0,0)，F，B(2,2,0)，E(1,1，)，C(0,2,0)，(1，1，)，1210.直线AF和BE所成的角为90.(2)设平面BEC的法向量为n(x，y，z)，又(2,0,0)，(1，1，)，则n2x0，nxyz0，x0，取z1，则y，平面BEC的一个法向量为n(0，1)cos，n.设直线AF和平面BEC所成的角为，则sin ，即直线AF和平面BEC所成角的正弦值为.跟进训练4.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD平面ABCD，PAPD，AB4.(1)求平面BDP与平面PAD的夹角的大小；(2)若M是PB的中点，求直线MC与平面BDP所成角
10、的正弦值解(1)取AD的中点O，设ACBDE，连接OP，OE.因为PAPD，所以OPAD，又因为平面PAD平面ABCD，且OP平面PAD，所以OP平面ABCD因为OE平面ABCD，所以OPOE.因为四边形ABCD是正方形，所以OEAD，如图，建立空间直角坐标系Oxyz，则P(0,0，)，D(2,0,0)，B(2,4,0)，(4，4,0)，(2,0，)设平面BDP的法向量为n(x，y，z)，则即令x1，则y1，z.于是n(1,1，)平面PAD的法向量为p(0,1,0)，所以cosn，p.所以平面BDP与平面PAD的夹角为.(2)由题意知M，C(2,4,0)，.设直线MC与平面BDP所成的角为，则
11、sin |cosn，|.所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为.1(2020新高考全国卷)如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，PD底面ABCD设平面PAD与平面PBC的交线为l.(1)证明：l平面PDC；(2)已知PDAD1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值解(1)证明：因为PD底面ABCD，所以PDAD又底面ABCD为正方形，所以ADDC因此AD平面PDC因为ADBC，AD平面PBC，所以AD平面PBC由已知得lAD因此l平面PDC(2)以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，
12、P(0,0,1)，(0,1,0)，(1,1，1)由(1)可设Q(a,0,1)，则(a,0,1)设n(x，y，z)是平面QCD的法向量，则即可取n(1,0，a)所以cosn，.设PB与平面QCD所成角为，则sin .因此，当且仅当a1时等号成立，所以PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为.2(2020全国卷)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AEADABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PODO.(1)证明：PA平面PBC；(2)求二面角BPCE的余弦值解(1)证明：设DOa，由题设可得POa，AOa，ABACBCa，PAPBPCa.因此PA2PB2AB2，从而PAPB又PA2PC2AC2，故PAPC又PBPCP，PB，PC平面PBC，所以PA平面PBC(2)作ONBC，交AB于点N，以O为坐标原点，以所在的直线为x轴，的方向为y轴正方向，|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由题设可得E(0,1,0)，A(0，1,0)，C，P.所以，.设m(x，y，z)是平面PCE的法向量，则即可取m.由(1)知是平面PCB的一个法向量，记n，则cosn，m.所以二面角BPCE的余弦值为.
