1、扬州市20202021学年度第一学期高三适应性练习试题 高三数学 2021.1(全卷满分150分,考试时间120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分. 在每小题给出的选项中,只有一项符合要求)1已知集合,则( )ABCD2已知复数满足,则的共轭复数在复平面内对应的点位于( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3展开式中,含项的系数为( )A B C D4如图是某品牌手机的商标图案,制作时以曲线段为分界线,裁去一部分图形而成,已知该分界线是一段半径为的圆弧,若圆弧的长度为,则两点间的距离为( )ABC D5已知正的边长为,是边上一点,且,则( )A B C D6过抛物
2、线焦点的直线交抛物线于两点(点在第一象限),若直线的倾斜角为,则的值为( ) A B C D7已知数列是各项均为正数的等比数列,若,则的最小值为( )A40B20C10D 58已知函数,若且,则的最大值为( )ABCD 二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分) 9.下列说法中正确的是( )A.“”是“”的既不充分又不必要条件;B. “”是“成等比数列”的充分不必要条件;C. “”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件;D. 对于函数,“”是“函数为奇函数”的充要条件.10. 已知函数的部分
3、图像如图所示,则下列说法中正确的是( )A. B. C. D.11如图,正方体的棱长为,线段上有两个动点,且,则下列说法中正确的是( ) A存在点使得 B异面直线与所成的角为 C三棱锥的体积为定值 D到平面的距离为1216世纪时,比利时数学家罗门向全世界数学家提出了一个具有挑战性的问题:“45次方程的根如何求?”,法国数学家韦达利用三角知识成功解决了该问题,并指出当时,此方程的全部根为,根据以上信息可得方程的根可以是( )A B C D三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13已知长方体的长、宽、高分别为,则该长方体的外接球的半径 681012235614某种型号的机器使用总时间
4、(年)(其中)与所需支出的维修总费用(万元)的统计数据如下表:根据表中数据可得与之间的线性回归方程为,若该设备维修总费用超过12万元就报废,据此模型预测该设备最多可使用_年.(填整数) 15几何学中有两件瑰宝,一个是勾股定理,一个是黄金分割,其中顶角为的等腰三角形被称为“黄金三角形”.如图,已知五角星是由5个“黄金三角形”与1个正五边形组成,且. 记阴影部分的面积为,正五边形的面积为,则 16已知双曲线的右顶点为, 以为圆心,为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点,若(其中为坐标原点),则双曲线的离心率为 四、解答题(本大题共6小题,计70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(
5、本小题满分10分)在中,角的对边分别为,的面积为,(1)求;(2)若, ,求请在, 这三个条件中任选一个,补充在上面的问题中,并加以解答注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分18(本小题满分12分)已知数列的前项和为,且满足,(1)求数列的通项公式; (2)若,且,求数列的前项和19(本小题满分12分) 如图,在四棱锥中,四边形是长方形,(1)证明:平面;(2)若,为中点,求二面角的余弦值. 20(本小题满分12分) 为了了解扬州市高中生周末运动时间,随机调查了名学生,统计了他们的周末运动时间,制成如下的频率分布表: 周末运动时间(分钟)人数(1)从周末运动时间在的学生中抽取人,在的学
6、生中抽取人,现从这人中随机推荐人参加体能测试,记推荐的人中来自的人数为,求的分布列和数学期望;(2)由频率分布表可认为:周末运动时间服从正态分布,其中为周末运动时间的平均数,近似为样本的标准差,并已求得. 可以用该样本的频率估计总体的概率,现从扬州市所有高中生中随机抽取名学生,记周末运动时间在之外的人数为,求(精确到);参考数据1:当时,. 参考数据2:21(本小题满分12分) 已知椭圆的离心率为,左右顶点分别为,上下顶点分别为,四边形的面积为,(1)求椭圆的方程;(2)过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于,两点,直线、分别交直线于两点,判断是否为定值,并说明理由.22(本小题满分12分) 已知函数
7、,(其中为参数)(1)若,且直线与的图象相切,求实数的值;(2)若对任意,不等式成立,求正实数的取值范围.20202021学年度第一学期高三适应性练习 高三数学参考答案 2021.11、B 2、C 3、A 4、C 5、D 6、B 7、A 8、D9、AB 10、AD 11、BCD 12、AC13、 14、 15、 16、 17、解:(1)在中,因为,所以由正弦定理得,因为,所以, 2分所以因为,所以, 4分因为,所以 5分(2)选:由正弦定理得,即,因为,所以,所以,所以是直角三角形,所以. 10分选:由得,解得因为,所以,所以,所以是直角三角形,所以. 10分选:因为,所以, 因为,所以,又,
8、所以为正三角形,所以 10分18、解:(1)因为 ,所以,两式相减得, 2分因为,所以令,则可得 所以又,所以()所以,(), 5分所以数列是首项为、公比为的等比数列,所以 6分 注:结果对,但没有说明的扣2分(2)因为,所以 7 分所以 9分所以 12分19、(1)证明:四边形为长方形,平面 3分 . 同理,又,平面. 5分(2)以为坐标原点,所在直线分别为轴,建立如图所示空间直角坐标系 6分则设为平面的法向量, ,令,则, 平面的一个法向量. 8分同理可求得平面的一个法向量, 10分. 二面角的大小为钝角二面角的余弦值为. 12分注:错将二面角的余弦值写成的扣1分20、解:(1)随机变量的
9、可能取值为, 3分所以 5分(2) 7分又,所以 9分 所以或, 所以, 所以 11分 12分21、解:(1)由题意得, .2分解得,所以椭圆的方程为. .4分 (2)方法1:若直线的斜率不存在,则直线方程为,此时可得,所以. .5分若直线的斜率存在,设直线的方程为,代入整理得,易得恒成立.设, 则, 7分由直线的方程可得点,由直线的方程可得点,所以 .8分所以 .9分综上,为定值. .12分方法2:显然直线的斜率不为0,设直线的方程为,代入整理得,易得恒成立. 设,则, 7分由直线的方程可得点,由直线的方程可得点,所以 .8分所以 .9分 .12分22、解:(1)若,则,设切点,则,即 .2分令,观察得, .4分 又,所以在上递增,所以方程的根仅有,所以 .5分注:观察出是的根但没有交待唯一性的扣1分 (2)方法1:(直接研究差函数的最小值)令,则,令,则在上递增,且,所以存在唯一,使得,所以 当时,故函数单调递减当时,故函数单调递增所以 .7分 .9分由恒成立得,即,令,则,所以在上递减由得的解为,所以, .11分令,则在上递增,所以,所以 .12分 方法2:(构建同构式处理不等式) 由得,即,两边同时加得令,则, .9分 为单调增函数 ,即,令,则在上单调递减,在上单调递增,解得 .12分