1、第二章直线和圆的方程2.2直线的方程2.2.2直线的两点式方程课后篇巩固提升基础达标练1.(多选题)下列语句中不正确的是()A.经过定点P(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示B.经过任意两个不同点P(x1,y1),Q(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示C.不经过原点的直线都可以用方程xa+yb=1表示D.经过定点的直线都可以用y=kx+b表示解析A不正确,该方程无法表示直线x=x0;C不正确,该方程无法表示与坐标轴平行的直线;D不正确,该方程无法表示与x轴垂直的直线,B正确.答案ACD2.两条直线xm-yn=1与xn
2、-ym=1在同一平面直角坐标系中的图象是下图中的()解析两直线的方程分别化为y=nmx-n,y=mnx-m,易知两直线的斜率符号相同.答案B3.过点P(3,4)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是()A.x-y+1=0B.x-y+1=0或4x-3y=0C.x+y-7=0D.x+y-7=0或4x-3y=0解析当直线过原点时,直线方程为y=43x,即4x-3y=0;排除A、C;当直线不过原点时,设直线方程为xa+ya=1,因为该直线过点P(3,4),所以3a+4a=1,解得a=7.所以直线方程为x+y-7=0.所以过点P(3,4)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为4x-3y=0或x+y-7=0.
3、故选D.答案D4.直线l过点(-1,-1)和(2,5),点(1 010,b)在直线l上,则b的值为()A.2 019B.2 020C.2 021D.2 022解析直线l的两点式方程为y-(-1)5-(-1)=x-(-1)2-(-1),化简得y=2x+1,将x=1010代入,得b=2021.答案C5.经过点A(1,3)和B(a,4)的直线方程为.解析当a=1时,直线AB的斜率不存在,所求直线的方程为x=1;当a1时,由两点式,得y-34-3=x-1a-1,整理,得x-(a-1)y+3a-4=0,在这个方程中,当a=1时方程也为x=1,所以,所求的直线方程为x-(a-1)y+3a-4=0.答案x-
4、(a-1)y+3a-4=06.斜率为12,且与两坐标轴围成的三角形的面积为4的直线方程为.解析设直线方程为y=12x+b,令x=0,得y=b;令y=0,得x=-2b.所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积为S=12|b|-2b|=b2.由b2=4,得b=2.所以直线方程为y=12x2,即x-2y+4=0或x-2y-4=0.答案x-2y+4=0或x-2y-4=07.已知三角形三个顶点分别是A(-3,0),B(2,-2),C(0,1),求这个三角形三边各自所在直线的方程.解由两点式方程得AB:y-0-2-0=x-(-3)2-(-3),即AB方程为y=-25-65.由两点式方程得BC:y-1-2-1=
5、x-02-0,即BC方程为y=-32x+1.由截距式方程,得AC:x-3+y1=1.即AC方程为y=13x+1.能力提升练1.直线x-y+1=0关于y轴对称的直线的方程为()A.x-y-1=0B.x-y-2=0C.x+y-1=0D.x+y+1=0解析令y=0,则x=-1,令x=0,则y=1,直线x-y+1=0关于y轴对称的直线过点(0,1)和(1,0),由直线的截距式方程可知,直线x-y+1=0关于y轴对称的直线方程是x+y=1,即x+y-1=0.答案C2.(多选题)经过点(2,1),且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程可以是()A.x+y-3=0B.x+y+3=0C.x-y-1=0D.x
6、-y+1=0解析由题意设直线方程为xa+ya=1或xa+y-a=1,把点(2,1)代入直线方程得2a+1a=1或2a+1-a=1,解得a=3或a=1,所求直线的方程为x3+y3=1或x1+y-1=1,即x+y-3=0或x-y-1=0.答案AC3.已知两点A(3,0),B(0,4),动点P(x,y)在线段AB上运动,则xy()A.无最小值,且无最大值B.无最小值,但有最大值C.有最小值,但无最大值D.有最小值,且有最大值解析线段AB的方程为x3+y4=1(0x3),于是y=41-x3(0x3),从而xy=4x1-x3=-43x-322+3,显然当x=320,3时,xy取最大值为3;当x=0或3时
7、,xy取最小值0.答案D4.已知直线l过点P(2,1),且与x轴,y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,则三角形OAB面积的最小值为.解析设直线l的截距式方程为xa+yb=1,依题意,a0,b0,又因为点P(2,1)在直线l上,所以2a+1b=1,即2b+a=ab.又因为OAB面积S=12|OA|OB|=12ab,所以S=12ab=12(2b+a)22ab2=2ab,当且仅当2b=a时等号成立,所以12ab2ab,解这个不等式,得ab8.从而S=12ab4,当且仅当2b=a时,S取最小值4.答案45.已知直线l过点P(4,1),(1)若直线l过点Q(-1,6),求直线l的方程;(2)若
8、直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍,求直线l的方程.解(1)直线l过点P(4,1),Q(-1,6),所以直线l的方程为y-16-1=x-4-1-4,即x+y-5=0.(2)由题意知,直线l的斜率存在且不为0,所以设直线l的斜率为k,则其方程为y-1=k(x-4).令x=0得,y=1-4k;令y=0得,x=4-1k.1-4k=24-1k,解得k=14或k=-2.直线l的方程为y-1=14(x-4)或y-1=-2(x-4),即y=14x或2x+y-9=0.6.如图,已知点A(2,5)与点B(4,-7),试在y轴上找一点P,使得|PA|+|PB|的值最小.解先求出点A关于y轴的对称点A(-2
9、,5),则|PA|=|PA|.若使|PA|+|PB|的值最小,则P点为直线AB与y轴的交点.由两点式得直线AB的方程为y+75+7=x-4-2-4,化简为2x+y-1=0,令x=0,得y=1,故所求点P坐标为P(0,1).素养培优练直线过点P43,2且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,是否存在这样的直线同时满足下列条件:(1)AOB的周长为12;(2)AOB的面积为6.若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.解设直线方程为xa+yb=1(a0,b0),若满足条件(1),则a+b+a2+b2=12.又直线过点P43,2,43a+2b=1.由可得5a2-32a+48=0,解得a=4,b=3或a=125,b=92,所求直线的方程为x4+y3=1或5x12+2y9=1,即3x+4y-12=0或15x+8y-36=0.若满足条件(2),则ab=12,由题意得43a+2b=1,由整理得a2-6a+8=0,解得a=4,b=3,或a=2,b=6,所求直线的方程为x4+y3=1或x2+y6=1,即3x+4y-12=0或3x+y-6=0.综上所述,存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程,为3x+4y-12=0.
