1、第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.2空间向量的数量积运算课后篇巩固提升基础达标练1.(多选题)下列各命题中,正确的有()A.aa=|a|B.m(a)b=(m)ab(m,R)C.a(b+c)=(b+c)aD.a2b=b2a解析aa=|a|2,故aa=|a|,A正确;m(a)b=(ma)b=mab=(m)ab,故B正确;a(b+c)=ab+ac=ba+ca=(b+c)a,故C正确;a2b=|a|2b,b2a=|b|2a,|a|2b与|b|2a不一定是相等向量,故D不正确.答案ABC2.已知e1,e2为单位向量,且e1e2,若a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,ab,则实数k
2、的值为()A.-6B.6C.3D.-3解析由题意可得ab=0,e1e2=0,|e1|=|e2|=1,(2e1+3e2)(ke1-4e2)=0,2k-12=0,k=6.答案B3.已知a=3p-2q,b=p+q,p和q是相互垂直的单位向量,则ab=()A.1B.2C.3D.4解析由条件知pq=0,p2=q2=1,所以ab=(3p-2q)(p+q)=3p2-2q2+pq=1.答案A4.已知|a|=1,|b|=2,且a-b与a垂直,则a与b的夹角为()A.30B.45C.135D.60解析a-b与a垂直,(a-b)a=0,aa-ab=|a|2-|a|b|cos=1-12cos=0,cos=22.018
3、0,=45.答案B5.设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(DB+DC-2DA)(AB-AC)=0,则ABC是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形解析因为DB+DC-2DA=(DB-DA)+(DC-DA)=AB+AC,所以(DB+DC-2DA)(AB-AC)=(AB+AC)(AB-AC)=AB2-AC2=0,所以|AB|=|AC|,因此ABC是等腰三角形.答案B6.(多选题)如图,已知四边形ABCD为矩形,PA平面ABCD,连接AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积为零的是()A.PC与ADB.DA与PBC.PD与ABD.PA与CD解析因为PA
4、平面ABCD,所以PACD,故PACD=0;因为ADAB,ADPA,且PAAB=A,所以AD平面PAB,故ADPB,则DAPB=0;同理可得PDAB=0;而PC与AD所成角为PCB,显然不垂直.答案BCD7.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则A1BB1C=.解析A1BB1C=A1BA1D=|A1B|A1D|cos=2a2acos60=a2.答案a28.在平行四边形ABCD中,AD=4,CD=3,D=60,PA平面ABCD,PA=6,求PC的长.解因为PC=PA+AD+DC,所以|PC|2=PC2=(PA+AD+DC)2=|PA|2+|AD|2+|DC|2+2PAAD+2PADC
5、+2ADDC=62+42+32+2|AD|DC|cos120=61-12=49,所以|PC|=7,即PC=7.能力提升练1.已知在空间四边形ABCD中,ACD=BDC=90,且AB=2,CD=1,则AB与CD所成的角是()A.30B.45C.60D.90解析根据已知ACD=BDC=90,得ACCD=DBCD=0,ABCD=(AC+CD+DB)CD=ACCD+|CD|2+DBCD=|CD|2=1,cos=ABCD|AB|CD|=12,AB与CD所成的角为60.答案C2.已知e1,e2是夹角为60的两个单位向量,则a=e1+e2与b=e1-2e2的夹角是()A.60B.120C.30D.90解析由
6、题意得ab=(e1+e2)(e1-2e2)=e12-e1e2-2e22=1-1112-2=-32,|a|=a2=(e1+e2)2=e12+2e1e2+e22=1+1+1=3,|b|=b2=(e1-2e2)2=e12-4e1e2+4e22=1-2+4=3.cos=ab|a|b|=-323=-12.=120.答案B3.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有下列命题,其中正确的有()A.(AA1+AD+AB)2=3AB2B.A1C(A1B1-A1A)=0C.AD1与A1B的夹角为60D.正方体的体积为|ABAA1AD|解析如图所示,(AA1+AD+AB)2=(AA1+A1D1+D1C1)
7、2=AC12=3AB2;A1C(A1B1-A1A)=A1CAB1=0;AD1与A1B的夹角是D1C与D1A夹角的补角,而D1C与D1A的夹角为60,故AD1与A1B的夹角为120;正方体的体积为|AB|AA1|AD|.答案AB4.已知向量a,b,c两两夹角都是60,且|a|=|b|=|c|=1,则|a-2b+c|=.解析因为|a-2b+c|2=a2+4b2+c2-4ab-4bc+2ac=1+4+1-4cos60-4cos60+2cos60=3,所以|a-2b+c|=3.答案35.四棱柱ABCD-A1B1C1D1各棱长均为1,A1AB=A1AD=BAD=60,则点B与点D1之间的距离为.解析四棱
8、柱ABCD-A1B1C1D1各棱长均为1,A1AB=A1AD=BAD=60,BD1=BA+AD+DD1,BD12=(BA+AD+DD1)2=BA2+AD2+DD12+2BAAD+2BADD1+2ADDD1=1+1+1+211cos120+211cos120+211cos60=2,|BD1|=2.点B与点D1两点间的距离为2.答案26.如图,在正四面体ABCD中,棱长为a,M,N分别是棱AB,CD上的点,且MB=2AM,CN=12ND,求MN.解MN=MB+BC+CN=23AB+(AC-AB)+13(AD-AC)=-13AB+13AD+23AC,MNMN=-13AB+13AD+23AC-13AB
9、+13AD+23AC=19AB2+19AD2+49AC2-29ABAD-49ABAC+49ADAC=69a2-29a2cos60-49a2cos60+49a2cos60=59a2,故|MN|=MNMN=53a,即MN=53a.7.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为D1C1的中点,试求A1C1与DE所成角的余弦值.解设正方体的棱长为1,AB=a,AD=b,AA1=c,则|a|=|b|=|c|=1,ab=bc=ca=0.A1C1=AC=AB+AD=a+b,DE=DD1+D1E=DD1+12D1C1=c+12a,A1C1DE=(a+b)c+12a=ac+bc+12a2+12ab=1
10、2a2=12.又|A1C1|=2,|DE|=1+122=52,cos=A1C1DE|A1C1|DE|=12252=1010,A1C1与DE所成角的余弦值为1010.素养培优练如图,在直三棱柱ABC-ABC中,AC=BC=AA,ACB=90,D,E分别为AB,BB的中点.(1)求证:CEAD;(2)求异面直线CE与AC所成角的余弦值.(1)证明设CA=a,CB=b,CC=c,根据题意得|a|=|b|=|c|,且ab=bc=ca=0.CE=b+12c,AD=-c+12b-12a.CEAD=b+12c-c+12b-12a=-12c2+12b2=0,CEAD,即CEAD.(2)解AC=-a+c,|AC|=2|a|,|CE|=52|a|,ACCE=(-a+c)b+12c=12c2=12|a|2,cos=12|a|2252|a|2=1010.异面直线CE与AC所成角的余弦值为1010.
