1、2020-2021学年天津某校高二（上）期中数学试卷一、选择题（共10题，每题3分，共30分）)1. 已知双曲线y24-x21，则双曲线C的离心率为（ ）A.5B.55C.52D.2552. 已知直线l1：(a-2)x+ay+30，l2:x+(a-2)y+40，其中aR，若l1l2，则a的值（ ）A.2B.-1C.2或-1D.1或43. 过点M(3,1)作圆x2+y2-2x-6y+20的切线l，则l的方程为（ ）A.x+y-40B.x+y-40或x3C.x-y-20D.x+y-20或x34. 直线x-y+10与圆x2+(y+1)24相交于A、B，则弦AB的长度为（ ）A.2B.22C.2D.4
2、5. 已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+40与圆C相切，则圆C的方程为（ ）A.x2+y2-2x-30B.x2+y2+4x0C.x2+y2+2x-30D.x2+y2-4x06. 已知椭圆x216+y212=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且|PF1|3，则PF1F2的面积为（ ）A.6B.42C.32D.37. 对于向量a、b、c和实数，下列命题中真命题是（ ）A.若ab=0，则a=0或b=0B.若a=0，则0或a=0C.若a2=b2，则a=b或a=-bD.若ab=ac，则b=c8. 如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，ABBC1，AA13，E是侧棱
3、BB1上靠近点B1的三等分点，则三棱锥A-C1D1E的体积为（ ）A.16B.13C.12D.19. 已知双曲线C:x23-y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N若OMN为直角三角形，则|MN|=( )A.3B.32C.23D.410. 已知点P是双曲线E:x216-y29=1的右支上一点，F1，F2为双曲线E的左、右焦点，PF1F2的面积为20，则下列说法正确的个数是（ ）点P的横坐标为203；PF1F2的周长为803；F1PF2小于3；PF1F2的内切圆半径为34A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（共6题，每题4分，共24分）)11.
4、若圆C1:x2+y216与圆C2：(x-a)2+y21(a0)相外切，则a的值为_12. 如图，在空间四边形ABCD中，AB=a-2c，CD=5a+6b-8c，棱AC，BD，BC的中点分别为E，F，G，若FE=-3a-3b+c，则_13. 已知圆C:x2+y2-2x-2y-60直线l过点(0,3)，且与圆C交于A、B两点，|AB|4，则直线l的方程_3或_=43x+3 14. 已知两圆x2+y2-2x+10y-240和x2+y2+2x+2y-80相交，则公共弦的长度为_15. 已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率是3，左、右焦点分别是F1，F2，过F2且与x轴垂直的直线交双曲
5、线于A，B两点，则： （1）其渐近线方程是_；（2）tanAF1F2_16. 已知椭圆x29+y25=1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是_三、解答题（共3题，17题15分，18题15分，19题16分）)17. 如图，在三棱锥P-ABC中，PA底面ABC，BAC90点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PAAC4，AB2 （1）直线NP与直线BE所成角的余弦值；（2）求证：MN/平面BDE；（3）求面CEM与面EMN夹角的余弦值18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD平面ABCD，
6、PAPD，PAPD，ABAD，AB1，AD2，ACCD=5 （1）求证：PD平面PAB；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（3）设AM=AP(01)，是否存在实数使得BM/平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由19. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)经过点(0,3)，离心率为12，左右焦点分别为F1(-c,0)，F2(c,0)()求椭圆的方程；()若直线l:y=-12x+m与椭圆交于A、B两点，与以F1F2为直径的圆交于C、D两点，且满足|AB|CD|=534，求直线l的方程参考答案与试题解析2020-2021学年天津某校高二（上）期中数学试卷一、选择题（共10题，每
7、题3分，共30分）1. C2. C3. C4. B5. D6. A7. B8. B9. A10. C二、填空题（共6题，每题4分，共24分）11. 512. 513. y,y14. 2515. y2x3316. 15三、解答题（共3题，17题15分，18题15分，19题16分）17. PA底面ABC，BAC90，PAAC4，AB2 PBBC=25，PC=42， E为PC的中点， BEPC，取CE的中点G，连接NG， N为BC的中点， NG/BE， NGPC， PNG是直线NP与直线BE所成角，在RtPNG中，NG=12BE=23，PG=34PC=32， tanPNG=PGNG=3223=62，
8、cosPNG=105，故直线NP与直线BE所成角的余弦值为105证明：取AB中点F，连接MF、NF， M为AD中点， MF/BD， BD平面BDE，MF平面BDE， MF/平面BDE， N为BC中点， NF/AC，又D、E分别为AP、PC的中点， DE/AC， NF/DE， DE平面BDE，NF平面BDE， NF/平面BDE，又MFNFF，MF、NF平面MFN， 平面MFN/平面BDE， MN/平面BDE以A为原点，AB、AC、AP分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,4,0)，E(0,2,2)，M(0,0,1)，N(1,2,0)， ME=(0,2,1)，MN=(1,2,-
9、1)，设平面EMN的法向量为n=(x,y,z)，则nME=0nMN=0，即2y+z=0x+2y-z=0，令y1，则x-4，z-2， n=(-4,1,-2)，同理可得，平面CEM的法向量为m=(1,0,0)， cos=mn|m|n|=-4116+1+4=-42121，由图可知，面CEM与面EMN所成的角是锐角，故面CEM与面EMN夹角的余弦值为4212118. 证明： 平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD，且ABAD，AB平面ABCD， AB平面PAD， PD平面PAD， ABPD，又PDPA，且PAABA， PD平面PAB取AD中点为O，连接CO，PO， CDAC=5， COA
10、D，又 PAPD， POAD以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：则P(0,0,1)，B(1,1,0)，D(0,-1,0)，C(2,0,0)，则PB=(1,1,-1)，PD=(0,-1,-1)，PC=(2,0,-1)，CD=(-2,-1,0)，设n=(x,y,z)为平面PCD的法向量，则nPD=-y-z=0nPC=2x-z=0，取x1，得n=(1,-2,2)，设PB与平面PCD的夹角为，则直线PB与平面PCD所成角的正弦值为：sin=|nPB|n|PB|=393=33设AM=AP(01)，假设存在实数使得BM/平面PCD，M(0,y1,z1)，由（2）知，A(0,1,0)，P(0,0,1)，
11、AP=(0,-1,1)，B(1,1,0)，AM=(0,y1-1,z1)，由AM=AP(01)，可得M(0,1-,)， BM=(-1,-,)， BM/平面PCD，n=(1,-2,2)为平面PCD的法向量， BMn=-1+2+20，解得=14综上，存在实数=14，使得BM/平面PCD19. （1）由题意可得b=3ca=12a2=b2+c2，解得b=3，c1，a2 椭圆的方程为x24+y23=1（2）由题意可得以F1F2为直径的圆的方程为x2+y21 圆心到直线l的距离d=2|m|5，由d1，可得|m|52(*) |CD|21-d2=21-4m25=255-4m2设A(x1,y1)，B(x2,y2)联立y=-12x+mx24+y23=1，化为x2-mx+m2-30，可得x1+x2m，x1x2=m2-3 |AB|=1+(-12)2m2-4(m2-3)=1524-m2由|AB|CD|=534，得4-m25-4m2=1，解得m=33满足(*)因此直线l的方程为y=-12x33
