1、哈五中高三数学（理科）第二轮复习专题讲座专题二概率与统计第一课时& 概念混淆辨析：F 类型一 “非等可能”与“等可能”混同1 掷两枚骰子，求所得的点数之和为6的概率错解 掷两枚骰子出现的点数之和2，3，4，12共11种基本事件，所以概率为F 类型二 “互斥”与“对立”混同2 把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（ ） A对立事件 B不可能事件 C互斥但不对立事件 D以上均不对错解 AF 类型三 “互斥”与“独立”混同3 甲投篮命中率为O8，乙投篮命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少?错解 设“甲恰好投
2、中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，则两人都恰好投中两次为事件，即：& 基础训练：1甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是，乙解决这个问题的概率是，那么恰好有1人解决这个问题的概率是 ( )（A） （B） （C） （D）2连续掷两次骰子，以先后得到的点数、为点的坐标，那么点在圆外部的概率应为（ ） （A） （B） （C） （D）3【07江西】10将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（）ABCD4【07重庆】6从张元，张元，张元的奥运预赛门票中任取张，则所取张中至少有张价格相同的概率为（）ABCD【例】05浙江袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球
3、,从A中摸出一个红球的概率是,从B中摸出一个红球的概率为p() 从A中有放回地摸球,每次摸出一个,有3次摸到红球即停止求恰好摸5次停止的概率；记5次之内(含5次)摸到红球的次数为,求随机变量的分布率及数学期望() 若A、B两个袋子中的球数之比为,将A、B中的球装在一起后,从中摸出一个红球的概率是,求p的值练习1一个袋中装有大小相同的球，其中红球5个，黑球3个，现在从中随机摸出3个球.（I）求至少摸到一个红球的概率；（II）求摸到黑球个数的概率分布和数学期望.练习2一个袋中装有大小相同的球10个，其中红球8个，黑球2个，现从袋中有放回地取球，每次随机取1个求： （）连续取两次都是红球的概率； （
4、）如果取出黑球，则取球终止，否则继续取球，直到取出黑球，但取球次数最多不超过4次，求取球次数的概率分布列及期望作业1袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率.（）摸出2个或3个白球；（）至少摸出一个黑球.2已知甲、乙两人投篮的命中率分别为0.4和0.6现让每人各投两次，试分别求下列事件的概率：（）两人都投进两球；（）两人至少投进三个球.第二课时& 基础训练：1. 种植两株不同的花卉，它们的存活率分别为p和q，则恰有一株存活的概率为 ( )(A) p+q2p q (B) p+qpq (C) p+q (D) pq2. 有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的
5、3面旗帜上分别标上号码1、2和3，现任取出3面，它们的颜色与号码不相同的概率是 . 3. 某班委会由4名男生与3名女生组成,现从中选出2人担任正副班长,其中至少有1名女生当选的概率是 (用分数作答) 4.【07辽宁】9一个坛子里有编号为1，2，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是（ ）ABCD【例】07全国2从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2
6、件，表示取出的2件产品中二等品的件数，求的分布列练习1甲、乙、丙三人分别独立解一道数学题,已知甲做对这道题的概率是，甲、丙两人都做错的概率是，乙、丙两人都做对的概率是(1)求乙、丙两人各自做对这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三人中至少有两人做对这道题的概率练习2中国篮球职业联赛某赛季的总决赛在上海东方队与八一双鹿队之间角逐，采用七局四胜制，即若有一队先胜四场，则此队获胜，比赛就此结束。因两队实力相当，每场比赛获胜的可能性相等。据以往资料统计，第一场比赛组织者可获门票收入30万元，以后每场比赛门票收入都比上一场增加10万元，当两队决出胜负后，问：组织者在此次决赛中要获得门票收入为180万元须比赛
7、多少场？组织者在此次决赛中获得门票收入不少于330万元的概率为多少？作业甲乙两人参加某电视台举办的抽奖游戏，参与游戏者可以从一个不透明的盒子中抽取标有1000元、800元、600元、0元的四个相同的小球中的任意一个，所取到的小球上标有的数字就是其获得的奖金，取后放回同时该人摸奖结束.规定若取到0元，则可再抽取一次，但所得的奖金将减半，若再次抽取到0元，则没有第三次抽取机会.（1）求甲乙两人均抽中1000元奖金的概率；（2）试求甲摸得的奖金数的期望值。第三课时& 基础训练：1将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是 ( )（A） （B） （C） （D）2在5张卡片上分别写着
8、数字1、2、3、4、5，然后把它们混合，再任意排成一行，则得到的数能被5或2整除的概率是( )(A) 0.8 (B) 0.6 (C) 0.4 (D) 0.23【07浙江】（15）随机变量的分布列如下：其中成等差数列，若，则的值是 【例】05浙江袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球,从A中摸出一个红球的概率是,从B中摸出一个红球的概率为p() 从A中有放回地摸球,每次摸出一个,有3次摸到红球即停止求恰好摸5次停止的概率；记5次之内(含5次)摸到红球的次数为,求随机变量的分布率及数学期望E() 若A、B两个袋子中的球数之比为,将A、B中的球装在一起后,从中摸出一个红球的概率是,求p的值练习1甲乙
9、两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92。求： （1）求该题被乙独立解出的概率。 （2）求解出该题的人数的数学期望和方差。练习2在某次测试中，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为，在测试过程中，甲、乙、丙能否达标彼此间不受影响.（）求甲、乙、丙三人均达标的概率；（）求甲、乙、丙三人中至少一人达标的概率；（）设表示测试结束后达标人数与没达标人数之差的绝对值，求的概率分布及数学期望作业两个人射击，甲射击一次中靶概率是P1，乙射击一次中靶概率是P2，已知、是方程的两根,若两人各射击5次，甲的方差是，乙的方差是.（1）求P1和P2.（2）两人各射击2次，中靶
10、至少3次就算完成目的，则完成目的的概率是多少？第四课时& 基础训练：1 从1，2，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是( )（A）（B）（C）（D）2. 甲、乙两人独立地解同一题，甲解决这个问题的概率是0.4，乙解决这个问题的概率是0.5，那么其中至少有一人解决这个问题的概率是 ( )(A)0.9 (B)0.2 (C)0.8 (D)0.73. 一个袋中有带标号的7个白球，3个黑球事件A：从袋中摸出两个球，先摸的是黑球，后摸的是白球那么事件A发生的概率为_【例】猎人在距离100米处射击一野兔，其命中率为0.5，如果第一次射击未中，则猎人进行第二次射击，但距离变为150
11、米.如果第二次射击又未中，则猎人进行第三次射击，并且在发射瞬间距离变为200米.已知猎人命中野兔的概率与距离的平方成反比，且猎人每次射击是否击中野兔是相互独立的，求猎人进行三次射击命中野兔的概率.练习107陕西某项选拔共有三轮考核，每轮设有一问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为且各轮问题能否正确回答互不影响（）求该选手被淘汰的概率；（）该选手在选择中回答问题的个数记为，求随机变量的分布列与数学期望练习207天津 已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球现从甲、乙两个盒内各任取2个球（）求取出
12、的4个球均为黑球的概率；（）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望作业1.06天津某射手进行射击训练,假设每次射击击中目标的概率为,且各次射击的结果互不影响.（1）求射手在3次射击中,至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）；（2）求射手第3次击中目标时,恰好射击了4次的概率（用数字作答）；（3）设随机变量表示射手第3次击中目标时已射击的次数,求的分布列205湖北某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会,一旦某次考试通过,使可领取驾照,不再参加以后的考试,否则就一直考到第4次为止.如果李明决定参加驾照考
13、试,设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9,求在一年内李明参加驾照考试次数的分布列和的期望,并求李明在一年内领到驾照的概率.第五课时统计& 基础训练：1【07全国】14在某项测量中，测量结果服从正态分布若在内取值的概率为0.4，则在内取值的概率为 2【07安徽】10以表示标准正态总体在区间内取值的概率，若随机变量服从正态分布，则概率等于（ ）ABCD3【07湖南】5设随机变量服从标准正态分布，已知，则=（ ）A0.025B0.050C0.950D0.9754【07浙江】5.已知随机变量服从正态分布，则（ ）ABCD，【例】06湖北在某校举行的数学竞赛中,全体参赛学生的竞
14、赛成绩近似服从正态分布.已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名.（）、试问此次参赛学生总数约为多少人？（）、若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生,试问设奖的分数线约为多少分？可共查阅的（部分）标准正态分布表01234567891.21.31.41.92.02.10.88490.90320.91920.97130.97720.98210.88690.90490.92070.97190.97780.98260.8880.90660.92220.97260.97830.98300.89070.90820.92360.97320.97880.98340.89250.90990.92510.
15、97380.97930.98380.89440.91150.92650.97440.97980.98420.89620.91310.92780.97500.98030.98460.89800.91470.92920.97560.98080.98500.89970.91620.93060.97620.98120.98540.90150.91770.93190.97670.98170.9857练习1. 甲，乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两运动员射击的环数稳定在7，8，9，10环。他们的这次成绩画成频率直方分布图如下：0.30.20.150.350.27 8 9 10 击中环数7
16、8 9 10 击中环数甲乙击中频率击中频率（）根据这次比赛的成绩频率直方分布图推断乙击中8环的概率，以及求甲，乙同时击中9环以上（包括9环）的概率；（）根据这次比赛的成绩估计甲，乙谁的水平更高（即平均每次射击的环数谁大）.练习2. 07北京某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示（I）求合唱团学生参加活动的人均次数；（II）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率 123 10 20 30 4050参加人数活动次数（III）从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机
17、变量的分布列及数学期望作业06全国2某批产品成箱包装,每箱5件一用户在购进该批产品前先取出3箱,再从每箱中任意抽取2件产品进行检验设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品,其余为一等品（）用表示抽检的6件产品中二等品的件数,求的分布列及的数学期望；（）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品,用户就拒绝购买这批产品,求这批产品级用户拒绝的概率& 附件：新题型浏览供有余力的同学使用105山东袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球,甲先取,乙后取,然后甲再取取后不放回,直到两人中有一人取到白球时既终止,每个球在每一次被取出的机会是等可能
18、的,用表示取球终止所需要的取球次数.（I）求袋中原有白球的个数；()求随机变量的概率分布；（III）求甲取到白球的概率.2甲有一个箱子，里面放有x个红球,y个白球（）；乙有一个箱子，里面放有2个红球，1个白球，1个黄球.现在甲从箱子任取2个球，乙从箱子里在取1个球，若取出的3个球颜色全不相同，则甲获胜. （1）试问甲如何安排箱子里两种颜色的个数，才能使自己获胜的概率最大？ （2）在（1）的条件下，求取出的3个球中红球个数的数学期望.3A有一只放有x个红球，y个白球，z个黄球的箱子（x、y、z0，且），B有一只放有3个红球，2个白球，1个黄球的箱子，两人各自从自己的箱子中任取一球比颜色，规定同色
19、时为A胜，异色时为B胜.（1）用x、y、z表示B胜的概率；（2）当A如何调整箱子中球时，才能使自己获胜的概率最大？（3）若规定A取红球，白球，黄球而获胜的得分分别为1，2，3分，否则得0分，求A得分的期望的最大值及此时的值4袋中装有个红球和个白球，这些球除了颜色不同以外，其余都相同.从袋中同时取出2个球.（1）若取出是2个红球的概率等于取出一红一白两个球的概率的整数倍，试证必为奇数；（2）在的数组中，若取出的球是同色的概率等于不同色的概率，试求满足的所有整数组（）.5下面玩掷骰子放球的游戏：若掷出1点，甲盒中放入一球；若掷出2点或是3点，乙盒中放入一球；若掷出4点或5点或6点，丙盒中放入一球!
20、 设掷次后，甲、乙、丙盒内的球数分别为（1）当时，求、成等差数列的概率；（2）当时，求、成等比数列的概率；（3）设掷4次后，甲盒和乙盒中球的个数差的绝对值为，求.ABCDS6如图，四棱锥的所有棱长均为1米，一只小虫从点出发沿四棱锥爬行，若在每顶点处选择不同的棱都是等可能的.设小虫爬行米后恰回到点的概率为.(1)求的值；(2)求证：；(3)求证：哈五中高三数学（理科）第二轮复习专题讲座(教师版)专题二概率与统计第一课时& 概念混淆辨析：F类型一 “非等可能”与“等可能”混同例1 掷两枚骰子，求所得的点数之和为6的概率错解 掷两枚骰子出现的点数之和2，3，4，12共11种基本事件，所以概率为P=剖
21、析 以上11种基本事件不是等可能的，如点数和2只有(1，1)，而点数之和为6有(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)共5种事实上，掷两枚骰子共有36种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和为6”的概率为P=F类型二 “互斥”与“对立”混同例2 把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（ ） A对立事件 B不可能事件 C互斥但不对立事件 D以上均不对错解 A剖析 本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同，二者的联系与区别主要体现在 ： (1)两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；(2)互斥概念适用于多个
22、事件，但对立概念只适用于两个事件；(3)两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生 事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰有一个发生，一个不发生，可能两个都不发生，所以应选CF类型三 “互斥”与“独立”混同例3 甲投篮命中率为O8，乙投篮命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少?错解 设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，则两人都恰好投中两次为事件，即：剖析 本题错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑，将两人都恰好投中2次理解
23、为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和互斥事件是指两个事件不可能同时发生；两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生与否没有影响，它们虽然都描绘了两个事件间的关系，但所描绘的关系是根本不同解： 设“甲恰好投中两次”为事件，“乙恰好投中两次”为事件，且，相互独立，则两人都恰好投中两次为事件，于是& 基础训练：1甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是，乙解决这个问题的概率是，那么恰好有1人解决这个问题的概率是 ( B )（A） （B） （C） （D）2连续掷两次骰子，以先后得到的点数、为点的坐标，那么点在圆外部的概率应为（ D ） （A） （B） （C） （D）3【07
24、江西】10将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（B）ABCD4【07重庆】6从张元，张元，张元的奥运预赛门票中任取张，则所取张中至少有张价格相同的概率为（C）ABCD【例】05浙江袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球,从A中摸出一个红球的概率是,从B中摸出一个红球的概率为p() 从A中有放回地摸球,每次摸出一个,有3次摸到红球即停止求恰好摸5次停止的概率；记5次之内(含5次)摸到红球的次数为,求随机变量的分布率及数学期望() 若A、B两个袋子中的球数之比为,将A、B中的球装在一起后,从中摸出一个红球的概率是,求p的值解：() .随机变量的取值为0、1、2、3.由n次
25、独立重复试验概率公式Pn(k)=,得P(=0)=,P(=1)=,P(=2)=,P(=3)=.随机变量的分布列是0123P的数学期望是E=0+1+2+3=()设袋子A中有m个球,则袋子B中有2m个球,由,得p=.练习1一个袋中装有大小相同的球,其中红球5个,黑球3个,现在从中随机摸出3个球.（I）求至少摸到一个红球的概率；（II）求摸到黑球个数的概率分布和数学期望.解:（1）至少摸到一个红球的概率（2）表示摸到黑球个数 摸到黑球个数的概率分布为：0123P摸到黑球个数的数学期望：.练习2一个袋中装有大小相同的球10个，其中红球8个，黑球2个，现从袋中有放回地取球，每次随机取1个求： （）连续取两
26、次都是红球的概率； （）如果取出黑球，则取球终止，否则继续取球，直到取出黑球，但取球次数最多不超过4次，求取球次数的概率分布列及期望解：（）连续取两次都是红球的概率 （）的可能取值为1，2，3，4，则，的概率分布列为1234PE=1234=作业1袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率.（）摸出2个或3个白球；（）至少摸出一个黑球.2已知甲、乙两人投篮的命中率分别为0.4和0.6现让每人各投两次，试分别求下列事件的概率：（）两人都投进两球；（）两人至少投进三个球.作业答案1.（）P（A+B）= P（A）+P（B）=; （） P=-=2.（）（两人都投进两球）=
27、（）P（两人至少投进三个球）第二课时& 基础训练：1. 种植两株不同的花卉，它们的存活率分别为p和q，则恰有一株存活的概率为 ( A )(A) p+q2p q (B) p+qpq (C) p+q (D) pq2. 有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3，现任取出3面，它们的颜色与号码不相同的概率是 . 3. 某班委会由4名男生与3名女生组成,现从中选出2人担任正副班长,其中至少有1名女生当选的概率是 (用分数作答) 4.【07辽宁】9一个坛子里有编号为1，2，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球
28、，且至少有1个球的号码是偶数的概率是（ D ）ABCD【例】07全国2从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，表示取出的2件产品中二等品的件数，求的分布列解：（1）记表示事件“取出的2件产品中无二等品”，表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”则互斥，且，故于是解得（舍去）（2）的可能取值为若该批产品共100件，由（1）知其二等品有件，故所以的分布列为012练习1甲、乙、丙三人分别独立解一道数学题,已知甲做对这道题的概率是，甲、丙两人都
29、做错的概率是，乙、丙两人都做对的概率是(1)求乙、丙两人各自做对这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三人中至少有两人做对这道题的概率解：(1)记甲、乙、丙三人独立做对这道题的事件分别为A、B、C，依题得：故乙、丙两人各自做对这道题的概率分别为，(2)甲、乙、丙三人中恰好有两人做对这道题的概率为P(ABACBC)P(A)P(B)P()P(A)P()P(C)P()P(B)P(C)甲、乙、丙都做对这道题的概率为P(ABC)故甲、乙、丙三人中至少有两人做对这道题的概率为练习2中国篮球职业联赛某赛季的总决赛在上海东方队与八一双鹿队之间角逐，采用七局四胜制，即若有一队先胜四场，则此队获胜，比赛就此结束。因两队
30、实力相当，每场比赛获胜的可能性相等。据以往资料统计，第一场比赛组织者可获门票收入30万元，以后每场比赛门票收入都比上一场增加10万元，当两队决出胜负后，问：组织者在此次决赛中要获得门票收入为180万元须比赛多少场？组织者在此次决赛中获得门票收入不少于330万元的概率为多少？，比赛4场收入180万元。，则 （i）比赛6场，则前5场为2:3且为领先一场的人获胜。 （ii）比赛7场，则前6场为3:3收入大于330万元的概率为作业甲乙两人参加某电视台举办的抽奖游戏，参与游戏者可以从一个不透明的盒子中抽取标有1000元、800元、600元、0元的四个相同的小球中的任意一个，所取到的小球上标有的数字就是其
31、获得的奖金，取后放回同时该人摸奖结束.规定若取到0元，则可再抽取一次，但所得的奖金将减半，若再次抽取到0元，则没有第三次抽取机会.（1）求甲乙两人均抽中1000元奖金的概率；（2）试求甲摸得的奖金数的期望值。解：（1）甲从四个小球中任取一个，有4种等可能的结果，所以能取到1000元奖金的概率是；同理，乙从四个小球中任取一个，也有4种等可能的结果，所以能取到1000元奖金的概率也是，由于甲抽到1000元与乙抽到1000元之间是相互独立的，因此甲乙两人均抽中1000元奖金的概率是.(2)设甲摸得的奖金数为随机变量，则可能的取值有：1000,800,600,500,400,300,0共7种，依题意有
32、：.表示第一次抽到0元，第二次抽到1000元，故减半得到500元，所以.因此，的分布列如下：10008006005004003000故甲摸得的奖金数的期望值是（元）第三课时& 基础训练：1将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是 ( D )（A） （B） （C） （D）2在5张卡片上分别写着数字1、2、3、4、5，然后把它们混合，再任意排成一行，则得到的数能被5或2整除的概率是( B )(A) 0.8 (B) 0.6 (C) 0.4 (D) 0.23【07浙江】（15）随机变量的分布列如下：其中成等差数列，若，则的值是 【例】05浙江袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球
33、,从A中摸出一个红球的概率是,从B中摸出一个红球的概率为p() 从A中有放回地摸球,每次摸出一个,有3次摸到红球即停止求恰好摸5次停止的概率；记5次之内(含5次)摸到红球的次数为,求随机变量的分布率及数学期望E() 若A、B两个袋子中的球数之比为,将A、B中的球装在一起后,从中摸出一个红球的概率是,求p的值解：() .随机变量的取值为0、1、2、3.由n次独立重复试验概率公式Pn(k)=,得P(=0)=,P(=1)=,P(=2)=,P(=3)=.随机变量的分布列是0123P的数学期望是E=0+1+2+3=()设袋子A中有m个球,则袋子B中有2m个球,由,得p=.练习1甲乙两人独立解某一道数学题
34、，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92。求： （1）求该题被乙独立解出的概率。 （2）求解出该题的人数的数学期望和方差。解：（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为A、B.设甲独立解出此题的概率为P1，乙独立解出此题的概率为P2.则P（A）=P1=0.6，P（B）=P2P（A+B）=1P（）=1(1P1)(1P2)=P1+P2P1+P2=0.920.6+P20.6P2=0.92，则 0.4P2=0.32即P2=0.8. （2）P（=0）=P（）P（）=0.40.2=0.08P(=1)=P(A)P()+P()P(B)=0.60.2+0.40.8=0.44P(=2)=P(A
35、)P(B)=0.60.8=0.48的概率分布为：012P0.080.440.48E=00.08+10.44+20.48=0.44+0.96=1.4D=(01.4)20.08+(11.4)20.44+(21.4)20.48=0.1568+0.0704+0.1728=0.4解出该题的人数的数学期望为1.4，方差为0.4。练习2在某次测试中，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为，在测试过程中，甲、乙、丙能否达标彼此间不受影响.（）求甲、乙、丙三人均达标的概率；（）求甲、乙、丙三人中至少一人达标的概率；（）设表示测试结束后达标人数与没达标人数之差的绝对值，求的概率分布及数学期望解：（）分别记“甲达标”，“
36、乙达标”，“丙达标”为事件由已知相互独立，.3个人均达标的概率为（）至少一人达标的概率为（）测试结束后达标人数的可能取值为0，1，2，3,相应地，没达标人数的可能取值为3，2，1，0，所以的可能取值为1，3. = 的概率分布如下表：13P0.780.22 作业两个人射击，甲射击一次中靶概率是P1，乙射击一次中靶概率是P2，已知、是方程x25x60的两根,若两人各射击5次，甲的方差是，乙的方差是.（1）求P1和P2.（2）两人各射击2次，中靶至少3次就算完成目的，则完成目的的概率是多少？解：（1）由题意可知 甲5P1（1P1），乙5P2（1P2） 5； 6 P1 P2（2）两类情况；共击中3次共
37、击中4次概率为第四课时& 基础训练：1 从1，2，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是 ( C )（A）（B）（C）（D）2. 甲、乙两人独立地解同一题，甲解决这个问题的概率是0.4，乙解决这个问题的概率是0.5，那么其中至少有一人解决这个问题的概率是 ( D )(A)0.9 (B)0.2 (C)0.8 (D)0.73. 一个袋中有带标号的7个白球，3个黑球事件A：从袋中摸出两个球，先摸的是黑球，后摸的是白球那么事件A发生的概率为_【例】猎人在距离100米处射击一野兔，其命中率为0.5，如果第一次射击未中，则猎人进行第二次射击，但距离变为150米.如果第二次射击又未
38、中，则猎人进行第三次射击，并且在发射瞬间距离变为200米.已知猎人命中野兔的概率与距离的平方成反比，且猎人每次射击是否击中野兔是相互独立的，求猎人进行三次射击命中野兔的概率.解析：记三次射击依次为事件，其中，由，求得，解法一：对互斥事件分类处理，则猎人命中野兔的概率为解法二：猎人命中野兔的概率为练习107陕西某项选拔共有三轮考核，每轮设有一问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为且各轮问题能否正确回答互不影响（）求该选手被淘汰的概率；（）该选手在选择中回答问题的个数记为，求随机变量的分布列与数学期望解法一：（）记“该选手能正确回答第
39、轮的问题”的事件为，则，该选手被淘汰的概率：（）的可能值为，的分布列为123解法二：（）记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为，则，该选手被淘汰的概率（）同解法一练习207天津 已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球现从甲、乙两个盒内各任取2个球（）求取出的4个球均为黑球的概率；（）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望（）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件由于事件相互独立，且，故取出的4个球均为黑球的概率为（）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从
40、乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件由于事件互斥，且，故取出的4个球中恰有1个红球的概率为（）解：可能的取值为由（），（）得，从而的分布列为0123的数学期望作业1.06天津某射手进行射击训练,假设每次射击击中目标的概率为,且各次射击的结果互不影响.（1）求射手在3次射击中,至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）；（2）求射手第3次击中目标时,恰好射击了4次的概率（用数字作答）；（3）设随机变量表示射手第3次击中目标时已射击的次数,求的分布列（）解：记“射手射击1次,击中目标”为事件,则
41、在3次射击中至少有两次连续击中目标的概率（）解：射手第3次击中目标时,恰好射击了4次的概率（）解：由题设,“”的概率为（且）所以,的分布列为：34kP205湖北某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会,一旦某次考试通过,使可领取驾照,不再参加以后的考试,否则就一直考到第4次为止.如果李明决定参加驾照考试,设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9,求在一年内李明参加驾照考试次数的分布列和的期望,并求李明在一年内领到驾照的概率.解：的取值分别为1,2,3,4.,表明李明第一次参加驾照考试就通过了,故P（）=0.6.,表明李明在第一次考试未
42、通过,第二次通过了,故 ,表明李明在第一、二次考试未通过,第三次通过了,故,表明李明第一、二、三次考试都未通过,故李明实际参加考试次数的分布列为1234P0.60.280.0960.024的期望=10.6+20.28+30.096+40.024=1.544.李明在一年内领到驾照的概率为 1(10.6)(10.7)(1-0.8)(10.9)=0.9976.第五课时统计& 基础训练：1【07全国】14在某项测量中，测量结果服从正态分布若在内取值的概率为0.4，则在内取值的概率为 0.82【07安徽】10以表示标准正态总体在区间内取值的概率，若随机变量服从正态分布，则概率等于（ B ）ABCD3【0
43、7湖南】5设随机变量服从标准正态分布，已知，则=（ C ）A0.025B0.050C0.950D0.9754【07浙江】（5）已知随机变量服从正态分布，则 （ A ）ABCD，【例】06湖北在某校举行的数学竞赛中,全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布.已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名.（）、试问此次参赛学生总数约为多少人？（）、若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生,试问设奖的分数线约为多少分？可共查阅的（部分）标准正态分布表01234567891.21.31.41.92.02.10.88490.90320.91920.97130.97720.98210.88690.9049
44、0.92070.97190.97780.98260.8880.90660.92220.97260.97830.98300.89070.90820.92360.97320.97880.98340.89250.90990.92510.97380.97930.98380.89440.91150.92650.97440.97980.98420.89620.91310.92780.97500.98030.98460.89800.91470.92920.97560.98080.98500.89970.91620.93060.97620.98120.98540.90150.91770.93190.97670
45、.98170.9857解：（1）设参赛学生的分布数为,因为,由条件知：这说明成绩在90分以上（含90分）的学生人数约占全体参赛人数的2.28因此,参赛总人数约为（人）（2）假定设奖的分数线为分,则即,查表得,解得故设奖的分数线约为83分.练习1. 甲，乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两运动员射击的环数稳定在7，8，9，10环。他们的这次成绩画成频率直方分布图如下：0.30.20.150.350.27 8 9 10 击中环数7 8 9 10 击中环数甲乙击中频率击中频率（）根据这次比赛的成绩频率直方分布图推断乙击中8环的概率，以及求甲，乙同时击中9环以上（包括9环）的概率；（）根
46、据这次比赛的成绩估计甲，乙谁的水平更高（即平均每次射击的环数谁大）.解：解（1）由图可知，所以=10.20.20.35=0.25同理， ，所以因为 所以甲，乙同时击中9环以上（包括9环）的概率P=0.650.55=0.3575 .(2) 因为=70.2+80.15+90.3+100.35=8.8 =70.2+80.25+90.2+100.35=8.7 所以估计甲的水平更高.练习2. 07北京某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示 123 10 20 30 4050参加人数活动次数（I）求合唱团学生参加活动的
47、人均次数；（II）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率（III）从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40（I）该合唱团学生参加活动的人均次数为（II）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为（III）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件易知；的分布列：012的数学期望：作业06全国2某
48、批产品成箱包装,每箱5件一用户在购进该批产品前先取出3箱,再从每箱中任意抽取2件产品进行检验设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品,其余为一等品（）用表示抽检的6件产品中二等品的件数,求的分布列及的数学期望；（）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品,用户就拒绝购买这批产品,求这批产品级用户拒绝的概率解：（）可能的取值为0，1，2，3P(0)P(1)P(2)P(3)的分布列为0123P数学期望为1.2()所求的概率为 pP(2)P(2)P(3)附件：新题型浏览105山东袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球,甲先取,乙后取,然后
49、甲再取取后不放回,直到两人中有一人取到白球时既终止,每个球在每一次被取出的机会是等可能的,用表示取球终止所需要的取球次数.（I）求袋中原有白球的个数；()求随机变量的概率分布；（III）求甲取到白球的概率.解:()设袋中原有个白球,由题意知(1)=6得或(舍去)即袋中原有3个白球.()由题意,的可能取值为1,2,3,4,5所以的分布列为:12345()因为甲先取,所以甲只有可能在第1次,第3次和第5次取球,记”甲取到白球”为事件,则事件两两互斥,2甲有一个箱子，里面放有x个红球,y个白球（）；乙有一个箱子，里面放有2个红球，1个白球，1个黄球.现在甲从箱子任取2个球，乙从箱子里在取1个球，若取
50、出的3个球颜色全不相同，则甲获胜. （1）试问甲如何安排箱子里两种颜色的个数，才能使自己获胜的概率最大？ （2）在（1）的条件下，求取出的3个球中红球个数的数学期望.（1）；，当且仅当x=y=2时“=”成立所以当红球与白球各2个时甲获胜的概率最大（2）所以3A有一只放有x个红球，y个白球，z个黄球的箱子（x、y、z0，且），B有一只放有3个红球，2个白球，1个黄球的箱子，两人各自从自己的箱子中任取一球比颜色，规定同色时为A胜，异色时为B胜.（1）用x、y、z表示B胜的概率；（2）当A如何调整箱子中球时，才能使自己获胜的概率最大？（3）若规定A取红球，白球，黄球而获胜的得分分别为1，2，3分，否
51、则得0分，求A得分的期望的最大值及此时的值解：（1）显然A胜与B胜为对立事件，A胜分为三个基本事件：A1：“A、B均取红球”；A2：“A、B均取白球”；A3：“A、B均取黄球”. （2）由（1）知，又于是，即A在箱中只放6个红球时，获胜概率最大，其值为(3)设A的得分为随机变量，则；，时，取得最大值为，此时.4袋中装有个红球和个白球，这些球除了颜色不同以外，其余都相同.从袋中同时取出2个球.（1）若取出是2个红球的概率等于取出一红一白两个球的概率的整数倍，试证必为奇数；（2）在的数组中，若取出的球是同色的概率等于不同色的概率，试求满足的所有整数组（）.解：设取出2个球是红球的概率是取出的球是一
52、红一白2个球的概率的倍（为整数）则有，即，为奇数；（2）由题意，有，即，即，因为，所以，的值只可能是2，3，4，5，6，相应的的值分别是4，9，16，25，36，即或或或或，解得或或或或注意到，满足条件的（）的数组值为（6,3），（10,6），（15,10），(21,15）.5下面玩掷骰子放球的游戏：若掷出1点，甲盒中放入一球；若掷出2点或是3点，乙盒中放入一球；若掷出4点或5点或6点，丙盒中放入一球! 设掷次后，甲、乙、丙盒内的球数分别为（1）当时，求、成等差数列的概率；（2）当时，求、成等比数列的概率；（3）设掷4次后，甲盒和乙盒中球的个数差的绝对值为，求.分析：显然题目描述的是独立重复实
53、验，但不是我们熟悉的两个而是三个，因此需要运用类比方法求解.解：（1）因，且，所以，或，或当，时，只投掷3次出现1次2点或3点、2次4点或5次6点，即此时的概率为.当时，只投掷3次出现1次1点、1次2点或是3点、1次4点或5点或6点，即此时的概率为.当时，只投掷3次出现2次1点、1次2点或3点，即此时的概率为.故当时，成等差数列的概率为；（2）当，且成等比数列时，由，且得：.此时概率为；（3）的可能值为0，1，2，3，4.；.6如图，四棱锥的所有棱长均为1米，一只小虫从点出发沿四棱锥爬行，若在每顶点处选择不同的棱都是等可能的.设小虫爬行米后恰回到点的概率为.ABCDS(1)求的值；(2)求证：；(3)求证：解：(1)表示从点到(或)，然后再回到点的概率所以；因为从点沿一棱，不妨设为棱再经过或，然后再回到点的概率为，所以.(2)设小虫爬行米后恰回到点的概率为，那么表示爬行米后恰好没回到点的概率，则此时小虫必在（或）点，所以，即().(3)由得，从而，所以.
