1、(时间：45分钟满分：60分)一、选择题1已知P为椭圆1上的一点，M，N分别为圆(x3)2y21和圆(x3)2y24上的点，则|PM|PN|的最小值为()A5 B7C13 D15解析：选B.由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|PF2|10，从而|PM|PN|的最小值为|PF1|PF2|127.2已知椭圆x2my21的离心率e(，1)，则实数m的取值范围是()A(0，) B(，)C(0，)(，) D(，1)(1，)解析：选C.在椭圆x2my21中，当0m1时，a2，b21，c2a2b21，e21m，又e1，1m1，解得0m1时，a21，b2，c21，e21，又e1，1.
2、综上可知实数m的取值范围是(0，)(，)3若点P是以A(，0)，B(，0)为焦点，实轴长为2的双曲线与圆x2y210的一个交点，则|PA|PB|的值为()A2 B4C4 D6解析：选D.由题意知2a2，c，所以a，b2c2a21028，所以双曲线方程为1.不妨设点P在第一象限，则由题意知，所以(|PA|PB|)2|PA|2|PB|22|PA|PB|，解得2|PA|PB|32，所以(|PA|PB|)2|PA|2|PB|22|PA|PB|72，所以|PA|PB|6.4已知双曲线：1(a0，b0)的离心率e2，过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2.若直线AB过
3、原点，则k1k2的值为()A2 B3C.D解析：选B.由题意知e2，则b23a2，双曲线 方程可化为3x2y23a2，设A(m，n)，M(x，y)，则B(m，n)，k1k23.5已知双曲线的方程为1(a0，b0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为c(其中c为双曲线的半焦距长)，则该双曲线的离心率为()A.BC.D解析：选A.不妨取双曲线的右焦点(c，0)，双曲线的渐近线yx，即bxay0，则焦点到渐近线的距离为c，即bc，从而b2c2c2a2，所以c2a2，即e2，所以离心率e.6已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则C的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx解析：选C.由e，
4、得，ca，ba.而1(a0，b0)的渐近线方程为yx，所求渐近线方程为yx.7双曲线C1：1(m0，b0)与椭圆C2：1(ab0)有相同的焦点，双曲线C1的离心率是e1，椭圆C2的离心率是e2，则()A. B1C. D2解析：选D.依题意，双曲线C1中c2m2b2，椭圆C2中c2a2b2，所以a2b2m2b2，即m2a22b2，所以2.8已知点P为抛物线y22x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是(，4)，则|PA|PM|的最小值是()A. B4C. D5解析：选C.依题意，焦点F(，0)，当P，A，F三点共线时|PA|PM|才有最小值，此时|PA|PM|PA|PF|，即|PA|PM
5、|的最小值为|FA|5.故选C.9已知抛物线y22px(p0)的焦点F与双曲线1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|AF|，则A点的横坐标为()A2 B3C2 D4解析：选B.抛物线的焦点为(，0)，准线为x.双曲线的右焦点为(3，0)，所以3，即p6，即y212x.过A作准线的垂线，垂足为M，则|AK|AF|AM|，即|KM|AM|，设A(x，y)，则直线AK：yx3，代入y212x，解得x3.故选B.10已知椭圆C：1(ab0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|10，|BF|8，cosABF，则C的离心率为()A.BC
6、.D解析：选B.在ABF中，|AF|2|AB|2|BF|22|AB|BF|cosABF10282210836，则|AF|6.由|AB|2|AF|2|BF|2可知，ABF是直角三角形，OF为斜边AB的中线，c|OF|5.设椭圆的另一焦点为F1，因为点O平分AB，且平分FF1，所以四边形AFBF1为平行四边形，所以|BF|AF1|8.由椭圆的性质可知|AF|AF1|142aa7，则e.二、填空题11已知A，B是双曲线C的两个顶点，直线l与双曲线C交于不同的两点P，Q，且与实轴所在直线垂直若0，则双曲线C的离心率e_解析：如图所示，设双曲线的方程为1(a0，b0)，取其上一点P(m，n)，则Q(m，
7、n)，由0可得(am，n)(ma，n)0，化简得1，又1可得ba，因此双曲线的离心率为e.答案：12已知椭圆C：1(ab0)的离心率为.过右焦点F且斜率为k(k0)的直线与椭圆C相交于A，B两点若3，则k_解析：根据已知，可得a2c2，则b2c2.故椭圆方程为1，即3x212y24c20.设直线的方程为xmyc，代入椭圆方程得(3m212)y26mcyc20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则根据3，得(cx1，y1)3(x2c，y2)，由此得y13y2，根据根与系数的关系得y1y2，y1y2，把y13y2代入得，y2，3y，故9m2m24，故m2，从而k22，k.又k0，故k.答案：1
8、3设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2x2上的两点，直线l是AB的垂直平分线当直线l的斜率为时，直线l在y轴上的截距的取值范围是_解析：设直线l在y轴上的载距为b，则直线l的方程为yxb，过点A，B的直线可设为y2xm，联立方程，得2x22xm0，从而有x1x21，48m0m.又AB的中点(，m1)在直线l上，即m1b，得mb，将mb代入得b，所以直线l在y轴上的截距的取值范围是(，)答案：(，)14设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|5.若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程为_解析：设M(x0，y0)，A(0，2)，MF的中点为N.由y22px，
9、F(，0)，N点的坐标为(，)由抛物线的定义知，x05，x05.y0 .|AN|，|AN|2.()2(2)2.即. 20.整理得p210p160.解得p2或p8.抛物线方程为y24x或y216x.答案：y24x或y216x三、解答题15如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且AB1B2是面积为4的直角三角形(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2QB2，求直线l的方程解：(1)设所求椭圆的标准方程为1(ab0)，右焦点为F2(c，0)因AB1B2是直角三角形，又|AB
10、1|AB2|，故B1AB2为直角，因此|OA|OB2|，得b.结合c2a2b2得4b2a2b2，故a25b2，c24b2，所以离心率e.在RtAB1B2中，OAB1B2，故SAB1B2|B1B2|OA|OB2|OA|bb2.由题设条件SAB1B24得b24，从而a25b220.因此所求椭圆的标准方程为：1.(2)由(1)知B1(2，0)，B2(2，0)由题意知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为：xmy2.代入椭圆方程得(m25)y24my160.设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则y1，y2是上面方程的两根，因此y1y2，y1y2.又(x12，y1)，(x22，y2)，所以(x12
11、)(x22)y1y2(my14)(my24)y1y2(m21)y1y24m(y1y2)1616，由PB2QB2，得0，即16m2640，解得m2.所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x2y20和x2y20.16.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A(2，2)，其焦点F在x轴上(1)求抛物线C的标准方程；(2)求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；(3)设过点M(m，0)(m0)的直线交抛物线C于D、E两点，ME2DM，设D和E两点间的距离为f(m)，求f(m)关于m的表达式解：(1)由题意，可设抛物线C的标准方程为y22px.因为点A(2，2)在抛物线C上，所以p1.因此，抛物线C的标准方程为y22x.(2)由(1)可得焦点F的坐标是，又直线OA的斜率为1，故与直线OA垂直的直线的斜率为1，因此，所求直线的方程是xy0.(3)设点D和E的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，直线DE的方程是yk(xm)，k0.将xm代入y22x，有ky22y2km0，解得y1，2.由ME2DM知12(1)化简得k2.因此DE2(x1x2)2(y1y2)2(y1y2)2(m24m)所以f(m)(m0)
