1、基础诊断考点突破课堂总结第6讲 空间向量及其运算 基础诊断考点突破课堂总结最新考纲 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理 1.空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有_和_的量 相等向量 方向_且模_的向量 相反向量 方向_且模_的向量 共线向量(或平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相_或_的向量 共面向量 平行于_的向量 大小方向相同相等相反相等平行重合同一个
2、平面基础诊断考点突破课堂总结2.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理 空间两个向量a与b(b0)共线的充要条件是存在实数，使得_.ab(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p_，其中 x，yR，a，b 为不共线向量，推论的表达式为MP xMA yMB 或对空间任意一点 O，有OP _或OP xOM yOA zOB，其中 xyz_.xaybOM xMA yMB1基础诊断考点突破课堂总结(3)空间向量基本定理如果向量 e1，e2，e3 是空间三个不共面的向量，a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数 1，2，3，使得 a_.空间中不共面的三个向量 e1，e2，e3 叫作这个空间的一个基底.
3、1e12e23e3基础诊断考点突破课堂总结3.空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念 两向量的夹角已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OA a，OBb，则AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角，记作a，b，其范围是_，若a，b2，则称 a 与 b_，记作 ab.非零向量 a，b 的数量积 ab|a|b|cosa，b.0，互相垂直基础诊断考点突破课堂总结(2)空间向量数量积的运算律：结合律：(a)b(ab)；交换律：abba；分配律：a(bc)abac.4.空间向量的坐标表示及其应用 设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).向量表示 坐标表示 数量积 ab _ 共线
4、ab(b0，R)_ a1b1a2b2a3b3a1b1，a2b2，a3b3基础诊断考点突破课堂总结垂直ab0(a0，b0)_模|a|_ 夹角a，b(a0，b0)cosa，ba1b1a2b2a3b3a21a22a23 b21b22b23a1b1a2b2a3b30a21a22a23基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)空间中任意两非零向量a，b共面()(2)对任意两个空间向量a，b，若ab0，则ab()(3)若a，b，c是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量()(4)若ab0，则a，b是钝角()基础诊断考点突破课堂总结解析 对于(2
5、)，因为0与任何向量数量积为0，所以(2)不正确；对于(3)，若a，b，c中有一个是0，则a，b，c共面，所以(3)不正确；对于(4)，若a，b，则ab0，故(4)不正确.答案(1)(2)(3)(4)基础诊断考点突破课堂总结2.在空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(2，1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是()A.垂直 B.平行 C.异面 D.相交但不垂直 解析 由题意得，AB(3，3，3)，CD(1，1，1)，AB3CD，AB与CD 共线，又 AB 与 CD 没有公共点.ABCD.答案 B 基础诊断考点突破课堂总结3.(教材改编)如图所示，在平行六面体
6、 ABCDA1B1C1D1 中，M 为 A1C1 与 B1D1 的交点.若ABa，AD b，AA1c，则下列向量中与BM 相等的向量是()基础诊断考点突破课堂总结A.12a12bcB.12a12bcC.12a12bcD.12a12bc解析 由题意，根据向量运算的几何运算法则，BM BB1B1M AA112(AD AB)c12(ba)12a12bc.答案 A 基础诊断考点突破课堂总结4.已知a(2，3，1)，b(4，2，x)，且ab，则|b|_.解析 ab2(4)321x0，x2，|b|（4）222222 6.答案 2 6基础诊断考点突破课堂总结5.O 为空间中任意一点，A，B，C 三点不共线，
7、且OP 34OA 18OB tOC，若 P，A，B，C 四点共面，则实数 t_.解析 P，A，B，C 四点共面，3418t1，t18.答案 18基础诊断考点突破课堂总结考点一 空间向量的线性运算【例 1】如图所示，在空间几何体 ABCDA1B1C1D1 中，各面为平行四边形，设AA1 a，ABb，AD c，M，N，P 分别是 AA1，BC，C1D1 的中点，试用 a，b，c 表示以下各向量：(1)AP；(2)MP NC1.基础诊断考点突破课堂总结解(1)因为 P 是 C1D1 的中点，所以APAA1 A1D1 D1P aAD 12D1C1 ac12ABac12b.(2)因为 M 是 AA1 的
8、中点，所以MP MA AP12A1A AP12aac12b 12a12bc.又NC1 NC CC1 12BCAA1 12AD AA1 12ca，所以MP NC1 12a12bc a12c 32a12b32c.基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)选定空间不共面的三个向量作基向量，这是用向量解决立体几何问题的基本要求.用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则进行运算.(2)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则.提醒 空间向量的
9、坐标运算类似于平面向量中的坐标运算.基础诊断考点突破课堂总结【训练 1】(2017上饶期中)如图，三棱锥 OABC中，M，N 分别是 AB，OC 的中点，设OA a，OB b，OC c，用 a，b，c 表示NM，则NM()A.12(abc)B.12(abc)C.12(abc)D.12(abc)基础诊断考点突破课堂总结解析 NM NAAM(OA ON)12ABOA 12OC 12(OB OA)12OA 12OB 12OC 12(abc).答案 B 基础诊断考点突破课堂总结考点二 共线定理、共面定理的应用【例2】已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量方法
10、求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)BD平面EFGH.证明(1)连接 BG，则EG EBBG EB12(BCBD)EBBFEH EFEH，由共面向量定理知 E，F，G，H 四点共面.基础诊断考点突破课堂总结(2)因为EH AH AE12AD 12AB12(AD AB)12BD，因为 E，H，B，D 四点不共线，所以 EHBD.又 EH平面 EFGH，BD平面 EFGH，所以 BD平面 EFGH.基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)证明空间三点 P，A，B 共线的方法 PAPB(R)；对空间任一点 O，OP xOA yOB(xy1).(2)证明空间四点 P，M，A，B 共面的方法 MP
11、xMA yMB；对空间任一点 O，OP xOM yOA zOB(xyz1)；PM AB(或PAMB 或PBAM).(3)三点共线通常转化为向量共线，四点共面通常转化为向量共面，线面平行可转化为向量共线、共面来证明.基础诊断考点突破课堂总结【训练 2】已知 A，B，C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一点 O，若点 M 满足OM 13(OA OB OC).(1)判断MA，MB，MC 三个向量是否共面；(2)判断点 M 是否在平面 ABC 内.基础诊断考点突破课堂总结解(1)由已知OA OB OC 3OM，OA OM(OM OB)(OM OC).即MA BM CM MB MC，MA，MB，MC
12、共面.(2)由(1)知MA，MB，MC 共面且过同一点 M.四点 M，A，B，C 共面，从而点 M 在平面 ABC 内.基础诊断考点突破课堂总结考点三 空间向量数量积的应用【例3】如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点.(1)求证：MNAB，MNCD；(2)求MN的长；(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值.基础诊断考点突破课堂总结(1)证明 设ABp，ACq，AD r.由题意可知，|p|q|r|a，且 p，q，r 三向量两两夹角均为60.MN ANAM 12(ACAD)12AB12(qrp)，MN AB12(qrp)p12(qprpp2)
13、12(a2cos 60a2cos 60a2)0.MN AB，即 MNAB.同理可证 MNCD.基础诊断考点突破课堂总结(2)解 由(1)可知MN 12(qrp)，|MN|214(qrp)214q2r2p22(qrpqrp)14a2a2a22a22 a22 a22142a2a22.|MN|22 a.MN 的长为 22 a.基础诊断考点突破课堂总结(3)解 设向量AN与MC 的夹角为.AN12(ACAD)12(qr)，MC ACAM q12p，ANMC 12(qr)(q12p)12(q212qprq12rp)基础诊断考点突破课堂总结12(a212a2cos 60a2cos 6012a2cos 60
14、)12(a2a24 a22 a24)a22.又|AN|MC|32 a，ANMC|AN|MC|cos 32 a 32 acos a22.cos 23，向量AN与MC 的夹角的余弦值为23，因此异面直线 AN 与 CM 所成角的余弦值为23.基础诊断考点突破课堂总结规律方法 利用数量积解决问题的两条途径：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算.可解决有关垂直、夹角、长度问题.(1)a0，b0，abab0；(2)|a|a2；(3)cosa，b ab|a|b|.基础诊断考点突破课堂总结【训练3】如图所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长
15、都为1，且两两夹角为60.(1)求AC1的长；(2)求证：AC1BD；(3)求BD1与AC夹角的余弦值.基础诊断考点突破课堂总结(1)解 记ABa，AD b，AA1 c，则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，abbcca12.|AC1|2(abc)2a2b2c22(abbcca)1112121212 6，|AC1|6，即 AC1 的长为 6.基础诊断考点突破课堂总结(2)证明 AC1 abc，BD ba，AC1 BD(abc)(ba)ab|b|2bc|a|2abacbcac|b|c|cos 60|a|c|cos 600.AC1 BD，AC1BD.基础诊断考点突破课堂总结(3)解 BD1
16、bca，ACab，|BD1|2，|AC|3，BD1 AC(bca)(ab)b2a2acbc1.cosBD1，ACBD1 AC|BD1|AC|66.AC 与 BD1 夹角的余弦值为 66.基础诊断考点突破课堂总结思想方法 1.利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础.2.利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题.基础诊断考点突破课堂总结3.利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题.其中合理选取基底是优化运算的关键.4.向量的运算有线性运算和数量积运算两大类，运算方法有两种，一种是建立空间坐标系，用坐标表示向量，向量运算转化为坐标运算，另一种是选择一组基向量，用基向量表示其它向量，向量运算转化为基向量的运算.基础诊断考点突破课堂总结易错防范1.在利用MN xAByAC证明 MN平面 ABC 时，必须说明 M点或 N 点不在面 ABC 内(因为式只表示MN 与AB，AC共面).2.求异面直线所成角，一般可转化为两向量夹角，但要注意两种角范围不同，注意两者关系，合理转化.3.找两个向量的夹角，应使两个向量具有同一起点，不要误找成它的补角.4.ab0不等价为a，b为锐角，因为a，b可能为0.
