1、03第三章数系的扩充与复数3.1数系的扩充与复数的概念3.1.1实数系3.1.2复数的概念1若复数z=(x2-1)+(x-1)i为纯虚数,则实数x的值为()A.-1B.0C.1D.-1或1解析：由题意,知x2-1=0,x-10,故x=-1.答案：A2下列命题中的真命题是()A.-1的平方根只有一个B.i是1的四次方根C.i是-1的立方根D.i是方程x6-1=0的根解析：-1的平方根为i,故选项A错;因为i3=-i,所以i不是-1的立方根,选项C错;因为i6=i4i2=-1,所以i不是x6-1=0的根,故选项D错.答案：B3若复数4-3a-a2i与复数a2+4ai相等,则实数a的值为()A.1B
2、.1或-4C.-4D.0或-4解析：由复数相等的充要条件,有4-3a=a2,-a2=4a,解得a=-4.答案：C4已知复数z=m2-m+(m2-1)i(mR).若z是实数,则m的值为;若z是虚数,则m的取值范围是;若z是纯虚数,则m的值为.解析：复数z=m2-m+(m2-1)i的实部为m2-m,虚部为m2-1.当m2-1=0,即m=1时,z为实数;当m2-10,即m1时,z为虚数;当m2-m=0,且m2-10,即m=0时,z为纯虚数.答案：1m105适合x-3i=(8x-y)i的实数x,y的值分别是.解析：由复数相等的充要条件,得x=0,-3=8x-y,解得x=0,y=3.答案：0,3 6若l
3、og2(x2-3x-2)+ilog2(x2+2x+1)1,则实数x的值为.解析：log2(x2-3x-2)+ilog2(x2+2x+1)1,log2(x2-3x-2)1,log2(x2+2x+1)=0.x=-2.答案：-27m分别为何实数时,复数z=m2-m-6m+3+(m2-2m-15)i.(1)为实数;(2)为虚数;(3)为纯虚数.分析：根据复数的有关概念,将复数问题转化为实数问题求解.解复数z的实部为m2-m-6m+3=(m+2)(m-3)m+3.虚部为m2-2m-15=(m+3)(m-5).(1)要使z是实数,则必须有(m+3)(m-5)=0,m+30,解得m=5,所以当m=5时,z为
4、实数.(2)要使z为虚数,则必须有(m+3)(m-5)0,m+30,所以当m5,且m-3时,z为虚数.(3)要使z为纯虚数,则必须有(m+2)(m-3)m+3=0,(m+3)(m-5)0,解得m=-2或m=3,所以当m=-2或m=3时,z为纯虚数. 8关于x的方程3x2-a2x-1=(10-x-2x2)i有实数根,求实数a的值和这个实根.分析：由方程有实根,根据复数相等的充要条件,将问题转化为方程组来求解.解设方程的实根为x=m,则3m2-a2m-1=(10-m-2m2)i,根据复数相等的充要条件,得方程组3m2-a2m-1=0,2m2+m-10=0,由,得m=2或m=-52.代入,得a=11或a=-715.所以当实数a=11时,实根为2;当实数a=-715时,实根为-52.3
