1、课后素养落实(十四)余弦定理、正弦定理应用举例(建议用时：40分钟)一、选择题1学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，A30，则其跨度AB的长为()A12 mB8 mC3 mD4 mD由题意知，AB30，所以C1803030120，由正弦定理得，即AB4m2一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为()A n mile/h B34 n mile/hC n mile/h D34 n mile/hA如图所示，在PMN中，MN34，v n mile/h3我舰在敌岛A处南
2、偏西50的B处，且A，B距离为12海里，发现敌舰正离开岛沿北偏西10的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度大小为()A28海里/时 B14海里/时C14海里/时 D20海里/时B如图，设我舰在C处追上敌舰，速度为v，在ABC中，AC10220 海里，AB12海里，BAC120，BC2AB2AC22ABACcos 120784，BC28海里，v14海里/小时4如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点测得建筑物顶端的仰角分别为30，45，且A，B两点间的距离为60 m，则该建筑物的高度为()A(3030)m B(3015)mC(1530)m D
3、(1515)mA在PAB中，PAB30，APB15，AB60 m，sin 15sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30，由正弦定理，得PB30()(m)，所以建筑物的高度为PBsin 4530()(3030)(m)，故选A5如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30，45，60，且ABBC60 m，则建筑物的高度为()A15 m B20 mC25 m D30 mD设建筑物的高度为h m，由题图知，PA2h，PBh，PCh，在PBA和PBC中，分别由余弦定理，得cosPBA，cosPBCPBAPBC180，cosPBAcosPBC0由，解得h3
4、0或h30(舍去)，即建筑物的高度为30 m二、填空题6有一个长为1千米的斜坡，它的倾斜角为75，现要将其倾斜角改为30，则坡底要伸长_千米如图，BAO75，C30，AB1，ABCBAOBCA753045在ABC中，AC(千米)7在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60和30，已知建筑物底部高出地面D点20 m，则建筑物高度为_ m40如图，设O为顶端在地面的射影，在RtBOD中，ODB30，OB20，则BD40，OD20在RtAOD中，OAODtan 6060，ABOAOB40(m)8一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A开始做匀速直线运动，到达点B
5、时，发现足球在点D处正以2倍于自己的速度向点A做匀速直线滚动，如图所示，已知AB4 dm，AD17 dm，BAC45，若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在距A点_ dm的C处截住足球7设机器人最快可在点C处截住足球，点C在线段AD上，设BCx dm，由题意知CD2x dm，ACADCD(172x) dm在ABC中，由余弦定理得BC2AB2AC 22ABACcos A，即x2(4)2(172x)28(172x)cos 45，解得x15，x2AC172x7(dm)或AC(dm)(舍去)该机器人最快可在线段AD上距A点7 dm的点C处截住足球三、解答题9某兴趣小组要测量电视塔AE的高度
6、H(单位：m)如图所示，竖直放置的标杆BC的高度h4 m，仰角ABE，ADE该小组已测得一组，的值，算出了tan 1.24，tan 1.20，请据此算出H的值解由AB，BD，AD及ABBDAD，得，解得H124因此电视塔的高度H是124 m10如图，A，B，C，D都在同一个铅垂面内(与水平面垂直的平面)，B，D为海岛上两座灯塔的塔顶测量船于A处测得点B和点D的仰角分别为75，30，于C处测得点B和点D的仰角均为60，AC1 km，求点B，D间的距离解法一：在ACD中，ADC60DAC603030由正弦定理，得AD在ABC中，ABC756015，ACB60，由正弦定理，得AB在ADB中，BAD1
7、80753075，由余弦定理，得BD即点B，D间的距离为km法二：如图，记AD与BC的交点为M由外角定理，得CDA60DAC603030，所以ACDC又易知MCDMCA60，所以AMCDMC，所以M为AD的中点，所以BABD又AB，所以BD所以点B，D间的距离为km1如图，某建筑物的高度BC300m，一架无人机Q(无人机的大小忽略不计)上的仪器观测到建筑物顶部C的仰角为15，地面某处A的俯角为45，且BAC60，则此无人机距离地面的高度PQ为()A100 m B200 m C300 m D400 mB在RtABC中，BAC60，BC300，AC200在ACQ中，AQC451560，QAC180
8、456075，QCA180AQCQAC45由正弦定理，得，得AQ200在RtAPQ中，PQAQsin 45200200，故此无人机距离地面的高度为200 m，故选B2甲船在岛A的正南B处，以每小时4千米的速度向正北航行，AB10千米，同时乙船自岛A出发以每小时6千米的速度向北偏东60的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为()A 分钟 B 分钟C21.5 分钟 D2.15 小时A如图，设t小时后甲行驶到D处，则AD104t，乙行驶到C处，则AC6tBAC120，DC2AD2AC22ADACcos 120(104t)2(6t)22(104t)6tcos 12028t220t1002
9、8当t小时，DC2最小，即DC最小，此时它们所航行的时间为60 分钟3台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为_小时 1设A地东北方向上存在点P到B的距离为30千米，APx，在ABP中，PB2AP2AB22APABcos A，即302x24022x40cos 45，化简得x240x7000，|x1x2|2(x1x2)24x1x2400，|x1x2|20，即图中的CD20(千米)，故t1(小时)4甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60方向的B处，两船相距a n mile，乙船正向北行驶，若甲船
10、的速度是乙船的倍，则甲船应沿_方向行驶才能追上乙船；追上时甲船行驶了_n mile 北偏东30a如图所示，设在C处甲船追上乙船，乙船到C处用的时间为t，乙船的速度为v，则BCtv，ACtv，又B120，则由正弦定理，得，sinCAB，CAB30，甲船应沿北偏东30方向行驶又ACB1801203030，BCABa n mile，ACa(n mile)某省第三次农业普查农作物遥感测量试点工作，用上了无人机为了测量两山顶M，N间的距离，无人机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图)，无人机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤解方案一：需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角1，1；B点到M，N的俯角2，2；A，B间的距离d第一步：计算AM由正弦定理得AM；第二步：计算AN由正弦定理得AN；第三步：计算MN由余弦定理得MN方案二：需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角1，1；B点到M，N点的俯角2，2；A，B间的距离d第一步：计算BM由正弦定理得BM；第二步：计算BN由正弦定理得BN；第三步：计算MN由余弦定理得MN
