1、4.2.3 直线与圆的方程的应用 抗日战争时期，虎子担任我军的交通员，在一次送情报中，遇上一个鬼子兵的追捕当虎子跑到一个大的圆形池塘边时，鬼子兵看着无路可走的虎子就猛扑上去虎子急中生智，纵身跳到池塘里鬼子兵不会游泳，只好盯住虎子沿塘边跟着虎子跑动，打算在虎子爬上岸时抓住他如果鬼子兵跑动的速度是虎子游泳速度的2.5倍，问虎子用怎样的方法才能摆脱鬼子兵的追捕？通过直线与圆的方程，可以确定直线与圆、圆和圆的位置关系，对于生产、生活实践以及平面几何中与直线和圆有关的问题，我们可以建立直角坐标系，通过直线与圆的方程，将其转化为代数问题来解决.对此，我们必须掌握此类解决问题的基本思想和方法.一般地,已知直
2、线Ax+By+C=0(A,B不同时为零)和圆(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心(a,b)到此直线的距离为 22|AaBbCdABdr d与r的大小关系 2个 1个 0个 交点个数 图形 相交 相切 相离 位置 rdrdrd则 求圆心坐标及半径r（配方法）圆心到直线的距离d（点到直线距离公式）2220()()xaybrAxByC 消去y 20pxqxt 0:相交=0:相切 0:相离d r:相离几何方法 代数方法 判断直线和圆的位置关系 1.理解直线与圆的位置关系的几何性质.（重点）2.利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系.（难点）3.会用“数形结合”的数学思想解决问题 知识探究：直线与
3、圆的方程在实际生活中的应用 一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？轮船港口台风思考1:解决这个问题的本质是什么？思考2:你有什么办法判断轮船航线是否经过台风圆域？解：以台风中心为原点，东西方向为x轴，建立 如图所示的直角坐标系，（其中，取10 km为单位 长度）这样，受台风影响 的圆形区域所对应的圆 方程为 轮船航线所在直线L的方程为4x+7y-28=0问题归结为圆与直线L有无公共点的问题.229xy.xOy港口.
4、轮船例1.如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度（精确到0.01m）.ABA1A2A3A4OPP2知识应用 分析：建立如图所示 的直角坐标系，把实 际问题转化为数学问 题求出圆拱桥所 在的圆的方程；然后解决这个实际问题利用圆的方程求出点P2的坐标，从而求线段A2P2的长，解释实际意义圆拱形桥支柱的高A2P2.ABA1A2A3A4OPP2yx解：建立如图所示的 直角坐标系，使圆心 在y轴上，设圆心的 坐标是（0，b），圆 的半径为r，那么圆的方程为：x2（yb）2r2，点P（0,4），B（10,0）
5、在圆上，所以有 ABA1A2A3A4OPP2yx2222220+(4-b)=r,10+b=r,2210.5,14.5,br解得：222(10.5)14.5xy所以，圆的方程为：把 的横坐标 代入 2P2x 圆的方程得：222(2)(10.5)14.5y由题可知y0，解得：y3.86(m)答：支柱A2P2的高度约为3.86 m.思考：不建立坐标系,如何解决这个问题?C B 2P HOP，作 222CACOOA即 得 14.5.r在 2RtCP H中，得 2222206.25CHrOA，又 14.5410.5,OC 在 RtCOA中 所以支柱A2P2的高度约是3.86m.OH=CH-OC3.86.
6、解法如下 C HB 某次生产中，一个圆形的零件损坏了，只剩下了如图所示的一部分现在陈师傅所在的车间准备重新做一个这样的零件，为了获得这个圆形零件的半径，陈师傅在零件上画了一条线段 AB，并作出了 AB 的垂直平分线 MN，而且测得 AB8 cm，MN2 cm根据已有数据，试帮陈师傅求出这个零件的半径 ABNM【变式练习】解：以 AB 中点 M 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由已知有 A(4，0)，B(4，0)，N(0，2)设过 A，B，N 的圆的方程为 x2y2DxEyF0，代入 A，B，N 的坐标，可得 16-4D+F=0，16+4D+F=0，4+2E+F=0，解得D=0，E=6，F
7、=-16.ABNMxy因此所求圆的方程为 x2y26y160，化为标准方程是 x2(y3)252，所以这个零件的半径为 5 cm ABNMxy例2已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的 一半.探究:解决平面几何问题常利用“坐标法”，首先要考虑的问题是建立适当的直角坐标系，关键是如何选取坐标系？x y O 如图所示探究：如图所示，设四边形的四个顶点分别为A(a，0)，B(0，b)，C(c，0)，D(0，d)，那么BC边的长为多少？yABCDMxOE22BCcb探究：四边形ABCD的外接圆圆心O的坐标如何表示？OABCDxyOENM,2OMacxx2ONbd
8、yy,2Eax,2Edy过四边形外接圆的圆心O分别作AC、BD、AD的垂线，垂足为M、N、E，则M、N、E分别为AC、BD、AD的中点，由中点坐标公式，有：证明：以四边形ABCD互相垂直的对角线CA、BD所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系，设A（a，0），B（0，b），C（c，0），D（0，d），过四边形外接圆的圆心 分别作AC、BD、AD的垂线，垂足为M、N、E，则M、N、E分别为AC、BD、AD的中点，O第一步:建立坐标系，用坐标表示有关的量.OABCDxyOENM由中点坐标公式，有：,MOa+cx=x=2.NOb+dy=y=2,Eax=2,Edy=2第二步:进行有关代数运
9、算 OE22db+daa+c=(-)+(-)22222212bc，由两点间的距离公式，有：BC22bc，O E12BC，所以 即圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.第三步:把代数运算结果翻译成几何关系.利用“坐标法”解决平面问题的“三步曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题第二步：通过代数运算，解决代数问题第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论【提升总结】如图所示，已知隧道的截面是半径为 4 m 的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为 2.7 m，高为 3 m 的货车能不能驶入这个隧道？【变式练习】解析：如图所示，
10、以截面半圆的圆心 O 为坐标原点，半圆的直径 AB 所在的直线为 x 轴，建立直角坐标系，那么半圆的方程为 x2y216(y0)将 x2.7 代入，得 y 162.72 8.713，即在离中心线 2.7 m 处，隧道的高度低于货车的高度因此，货车不能驶入这个隧道 1.直线y=kx+3与圆（x-3）2+（y-2）2=4相交于M，N两点，若|MN|2，则k的取范围是（）A.B.C.D.3-,0434(-,-3333-,2 03-,A 0,)2.若O1：x2+y2=5与O2：（x-5）2+y2=20（mR）相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是（）A.1 B.2 C.3
11、D.4 D 解：选D.由题意作出图形 分析得：由圆的几何性质 两圆在点A处的切线互相垂 直，且过对方圆心C2,C1 则在RtC2AC1中，|C1A|=，|C2A|=，斜边上的高为半弦，用等积法易得：52055202AB 4.AB 223.（2012 江苏高考改编）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x+y-8x+15=0，若直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是多少？分析：从圆与圆的位置关系、点到直线的距离以及 直线与圆的位置关系角度处理.设线点则圆满对，为题线大为2222222方法一：直上一（t，kt-2），心距足（t-4）+（kt-2）2tR有解.即（1+k）t-（4k+8）t+160有解，所以有（4k+8）-416（1+k）044所以0k，所以k的最大值.33方法二：由意，C到直的距离不于2，4k-244d=2所以0k，所以k的最大值3+1解：.3k1.用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算,解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.2.对于直线和圆,熟记各种定义、基本公式、法则 固然重要,但要做到迅速、准确地解题,还必须掌握一些方法和技巧.
