1、2020-2021学年北京市顺义区高一（下）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）. 1在复平面内，复数3i2对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，有下列结论：三角形的直观图是三角形；平行四边形的直观图是平行四边形；正方形的直观图是正方形；菱形的直观图是菱形其中，正确结论的序号是（）ABCD3cos75（）ABCD4下列各组向量中，可以作为基底的一组是（）A（0，0），（0，1）B（1，2），（3，6）C（3，4），（3，4）D（2，1），（2，）5已知复数z满足zi2+i，则z（）A12iB1+2iC2iD2+
2、i6为了得到函数ycos（）的图象，只需要将函数ycos图象上所有的点（）A向左平移个单位长度B向左平移个单位长度C向右平移个单位长度D向右平移个单位长度7一艘船向正北方向航行，速度为每小时20nmile，在A处看灯塔S在船的北偏东30的方向上行驶2小时后，船航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东75的方向上此时船与灯塔的距离为（）A10nmileB10nmileC20nmileD20nmile8已知直线a，b与平面，满足，b，则ab是a的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件9设平面向量，满足|，与的夹角为，（）（）0，则关于|的叙述正确的是（）A无最大值
3、，无最小值B有最大值，无最小值C无最大值，有最小值D有最大值，有最小值10如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点P是对角线AC1上的动点（点P在线段AC1上运动，包括线段两端点）则下面说法中正确的有（）对任意的点P，A1DP是等腰三角形；存在点P，使得AC1平面A1DP；对任意的点P，A1DP的面积都不大于；对任意的点P，A1DP的面积都不等于ABCD二、填空题共5小题，每小题5分，共25分11已知tan2，则tan（+） 12以边长为1的正方形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周得到一个圆柱，则该圆柱的表面积是 13向量，在正方形网格中的位置如图所示，则cos， 14已
4、知四棱锥PABCD的8条棱长都相等，任取其中3条棱的中点做平面，截该四棱锥所得的平面图形可能是 （写出所有正确结论的序号）等腰三角形；等腰梯形；正方形；正五边形15已知函数f（x）sinx+acosx（a为常数）的一条对称轴为x，若x1，x2R，且满足f（x1）+f（x2）0，f（x）在区间（x1，x2）上是单调函数，则|x1+x2|的最小值为 三、解答题共6小题，共85分解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程16已知向量（1，2），（2，x），（y，1），且，（）求向量和；（）若，求17已知sincos，0，在下面3个问题中任选2个问题作答：求sin（）的值；求sin2的值；求cos2
5、的值18已知四棱柱ABCDA1B1C1D1中，B1B底面ABCD，AD2BC，ADBC，ABC，ABBC，E为A1D的中点（）求证：A1BBC；（）求证：CE平面A1BA；（）直接写出三棱锥A1ACD的四个面中直角三角形的个数19在ABC中，cosC，c8（）若a7，求b的值；（）若cosB，求角A的大小和ABC的面积20已知函数f（x）4cosxsin（x）+（）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（）若当x0，时，关于x的不等式f（x）m有解，求实数m的取值范围21对于给定的正整数n（n2）若有限集合Aa1，a2，anM，且满足a1+a2+.+ana1a2an，则称A为集合M的n元“
6、调和子集”（）写出有理数集Q的一个2元“调和子集”；（）证明：自然数集N不存在2元“调和子集”；（）求出自然数集N的所有3元“调和子集”参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）. 1在复平面内，复数3i2对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解：在复平面内，复数3i2对应的点的坐标为（2，3），在第二象限故选：B2用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，有下列结论：三角形的直观图是三角形；平行四边形的直观图是平行四边形；正方形的直观图是正方形；菱形的直观图是菱形其中，正确结论的序号是（）ABCD解：由斜二测画法规则可知，相交不变，故选项正确；平行线不变，故选项
7、正确；正方形的直观图是平行四边形，故选项错误；因为平行于y轴的线段长减半，平行于x轴的线段长不变，故选项错误故选：A3cos75（）ABCD解：cos75cos（45+30）cos45cos30sin45sin30故选：C4下列各组向量中，可以作为基底的一组是（）A（0，0），（0，1）B（1，2），（3，6）C（3，4），（3，4）D（2，1），（2，）解：选项A：因为0100，所以向量，共线，故A错误，选项B：因为1（6）23，所以向量，共线，故B错误，选项C：因为3（4）4（3），所以向量，共线，故C错误，选项D：因为2（）12，所以向量，不共线，故D正确，故选：D5已知复数z满足zi2
8、+i，则z（）A12iB1+2iC2iD2+i解：由zi2+i，得z12i故选：A6为了得到函数ycos（）的图象，只需要将函数ycos图象上所有的点（）A向左平移个单位长度B向左平移个单位长度C向右平移个单位长度D向右平移个单位长度解：ycos（），把函数ycos的图形向右平移个单位可得到函数ycos（）故选：C7一艘船向正北方向航行，速度为每小时20nmile，在A处看灯塔S在船的北偏东30的方向上行驶2小时后，船航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东75的方向上此时船与灯塔的距离为（）A10nmileB10nmileC20nmileD20nmile解：由条件有BAS30，AB40，SBA1
9、8075105，BSA1801053045由正弦定理有，代入数据得，解得故选：C8已知直线a，b与平面，满足，b，则ab是a的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解：当a平面内满足ab时，a不成立，即充分性不成立，若a，则必有ab，即必要性成立，即“ab”是“a”的必要不充分条件，故选：B9设平面向量，满足|，与的夹角为，（）（）0，则关于|的叙述正确的是（）A无最大值，无最小值B有最大值，无最小值C无最大值，有最小值D有最大值，有最小值解：如图所示，设，（）（）0，CACB，可得点C在以AB的中点D为圆心，AB为直径的圆上，当且仅当直线OC过圆心D时，
10、|取到最值，即|的最小值为，的最大值为OC2故选：D10如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点P是对角线AC1上的动点（点P在线段AC1上运动，包括线段两端点）则下面说法中正确的有（）对任意的点P，A1DP是等腰三角形；存在点P，使得AC1平面A1DP；对任意的点P，A1DP的面积都不大于；对任意的点P，A1DP的面积都不等于ABCD解：对于如图建立空间直角坐标系，A1（1，0，0），B1（1，1，0），C1（0，1，0），A（1，0，1），B（1，1，1），C（0，1，1），D（0，0，1），因为点P在AC1上，设P（x，y，z），因为，所以（x1，y，z1）（x，1y，z）
11、，得x，y，z，所以 ，所以 ，所以PA1PD故正确对于：当点P为平面A1BD与直线AC1的交点时AC1平面A1DP，故正确；对于由可知三角形A1PD是等腰三角形，所以PA1与A1DP的面积成正比关系，在 RtAA1C1 中，当 P 点与 C1 重合时，此时 PA1 最大，A1DP 的面积最大，最大值为A1DC1 的面积 ，所以正确；PA1的最小值即点A1到直线AC1的距离，设点A1到直线AC1的距离为h，则，所以PA1的最小值为，此时A1DP的面积最小，最小值为所以错误故选：A二、填空题共5小题，每小题5分，共25分11已知tan2，则tan（+）3解：tan2，tan（+）3，故答案为：3
12、12以边长为1的正方形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周得到一个圆柱，则该圆柱的表面积是 6解：边长为1的正方形的一边所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的几何体为圆柱，该圆柱的底面半径为1，高为1，所以该圆柱的表面积是S21+2216故答案为：613向量，在正方形网格中的位置如图所示，则cos，解：根据题意，设正方形网格的边长为1，如图建立坐标系，则（3，1），（1，2），故|，|，325，故cos，；故答案为：14已知四棱锥PABCD的8条棱长都相等，任取其中3条棱的中点做平面，截该四棱锥所得的平面图形可能是 （写出所有正确结论的序号）等腰三角形；等腰梯形；正方形；正五边形解：已知四棱
13、锥PABCD的8条棱长都相等，任取其中3条棱的中点做平面，截该四棱锥所得的平面图形可能是：如图所示：点E、F、G为AB、BC、的中点，所以EFEG，故正确；对于：如图所示：分别取PB、PC、AB的中点，所以：构成的平面EFG交CD的中点，故四边形EFGH为等腰梯形，故正确；对于，如上图：分别取PA、PB、PC的中点作平面KFG，交PD于点M，得到的四边形KFGM为正方形，故正确；对于各个棱的中点，构成的多边形也不可能得到正五边形，故错误故答案为：15已知函数f（x）sinx+acosx（a为常数）的一条对称轴为x，若x1，x2R，且满足f（x1）+f（x2）0，f（x）在区间（x1，x2）上是
14、单调函数，则|x1+x2|的最小值为 解：x是f（x）的对称轴，化简可得，a22a+10，即a1，f（x），对称中心横坐标，即x，x1，x2R，且满足f（x1）+f（x2）0，f（x）在区间（x1，x2）上是单调函数，又对称中心x，|x1+x2|2|k|，当 k0时，|x1+x2|取得最小值故答案为：三、解答题共6小题，共85分解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程16已知向量（1，2），（2，x），（y，1），且，（）求向量和；（）若，求解：（）因为向量（1，2），（2，x），（y，1），由，可得x40，解得x4，由可得y+20，解得y2，所以（2，4），（2，1）（）因为（1，3），
15、所以（1）（2）+31117已知sincos，0，在下面3个问题中任选2个问题作答：求sin（）的值；求sin2的值；求cos2的值解：因为，又0，所以解得sin，或（舍去），所以cossin，所以：sin（）（sincos）（）；sin22sincos2；cos22cos212118已知四棱柱ABCDA1B1C1D1中，B1B底面ABCD，AD2BC，ADBC，ABC，ABBC，E为A1D的中点（）求证：A1BBC；（）求证：CE平面A1BA；（）直接写出三棱锥A1ACD的四个面中直角三角形的个数解：（）证明：由B1B底面ABCD，可得B1BBC，由ABC，可得BCAB，由ABB1BB，可得
16、BC平面A1ABB1，则A1BBC；（）证明：取AD的中点F，连接EF，CF，由AD2BC，ADBC，可得AFBC，且AFBC，可得四边形ABCF为平行四边形，即有ABCF，AB平面CEF，可得AB平面CEF，由EF为AA1D的中位线，可得AA1EF，AA1平面CEF，所以AA1平面CEF，所以平面CEF平面A1BA，而CE平面CEF，可得CE平面A1BA；（）直角三角形有A1AC，A1AD，ACD，A1CD4个19在ABC中，cosC，c8（）若a7，求b的值；（）若cosB，求角A的大小和ABC的面积解：（）若a7时，cosC，c8，利用c2a2+b22abcosC，整理得b22b150，
17、解得b5或3（负值舍去），解得b5（）若cosB，所以sinB，由cosC，所以sinC，所以cosAcos（B+C）+，由于A（0，），所以A所以SABCbcsinA581020已知函数f（x）4cosxsin（x）+（）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（）若当x0，时，关于x的不等式f（x）m有解，求实数m的取值范围解：（I）f（x）4cosxsin（x）+sin2x，函数f（x）的最小正周期为，令，解得，函数f（x）的单调增区间为（II）由题意可知，不等式f（x）m有解，即mf（x）max，由（I）可知，f（x），当x0，时，当2x，即x，f（x）取得最大值2，m2，实数m的取
18、值范围（，221对于给定的正整数n（n2）若有限集合Aa1，a2，anM，且满足a1+a2+.+ana1a2an，则称A为集合M的n元“调和子集”（）写出有理数集Q的一个2元“调和子集”；（）证明：自然数集N不存在2元“调和子集”；（）求出自然数集N的所有3元“调和子集”解：（）因为1+，又1，Q，所以A1，是有理数集Q的一个2元“调和子集”；（）证明：设Aa1，a2是自然数集N上的一个2元“调和子集”，不妨设a1a2，若a10，则a2N*，故a1+a2a1a2不成立；若a1N*，由a1+a2a1a2，可得a1a1a2a2a2（a11），所以，因为a1，a2N*，且a1a2，所以，a11N，故不成立，综上所述，自然数集N不存在2元“调和子集”；（）设Aa1，a2，a3是自然数集N上的一个2元“调和子集”，不妨设a1a2a3，若a10，则a2N*，故a1+a2+a3a1a2a3不成立；若a1N*，则a1a2a3a1+a2+a33a3，可得a1a23，满足a1a23的正整数只能是a11，a22，代入a1a2a3a1+a2+a3，可得a33，所以自然数集N的所有3元“调和子集”为1，2，3
