1、2019-2020学年天津市耀华中学高二（下）4月月考数学试卷一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的1.函数的单调递减区间是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】对函数进行求导，利用导数解不等式即可求解.【详解】，根据单调性与不等式的关系可得，解得.所以函数的单调递减区间是.故选：A.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，考查运算求解能力，属于基础题.2.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】试题分析：，函数在区间单调递增，在区间上恒成立，而在区间上单调递
2、减，的取值范围是故选D考点：利用导数研究函数的单调性.3.已知i是虚数单位，a，bR，则“ab1”是“（a+bi）22i”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用充分必要条件的定义和复数的四则运算及两个复数相等的充要条件即可判断.【详解】当“ab1”时，“（a+bi）2（1+i）22i”成立，故“ab1”是“（a+bi）22i”的充分条件；当“（a+bi）2a2b2+2abi2i”时，“ab1”或“ab1”，故“ab1”是“（a+bi）22i”的不必要条件；综上所述，“ab1”是“（a+bi）22i”的充分不必要条
3、件；故选：A【点睛】本题考查充分必要条件的定义和复数的四则运算及两个复数相等的充要条件；考查运算求解能力和逻辑推理能力；属于基础题.4.已知为虚数单位，则的实部与虚部之积等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为，所以的实部与虚部之积为；故选B.5.若复数满足，则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】分析：由题先计算，然后求出共轭复数根据模长公式计算即可.详解：由题可得：故选C.点睛：考查复数的乘除法运算，复数的模长计算，属于基础题.6.下列求导运算正确的是（）A. （cosx）sinxB. （3x）3xlog3eC. D. （x2cosx）2xsinx【答案】
4、C【解析】【分析】利用基本初等函数的求导公式和运算法则进行求解即可.【详解】对于选项A：因为（cosx）sinx，故选项A不正确；对于选项B：因为（3x）3xln3，故选项B不正确；对于选项C：因为（lgx），故选项C正确；对于选项D：因为（x2cosx）2xcosxx2sinx，故选项D不正确.故选：C【点睛】本题考查基本初等函数的导数公式和运算法则；考查运算求解能力；熟记基本初等函数的导数公式和运算法则；属于基础题.7.点是曲线上任意一点, 则点到直线的距离的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】，则，即，所以，故选B8.某同学回答“用数学归纳法的证明（nN*）”的过程如
5、下：证明：当n1时，显然命题是正确的假设当nk（k1，kN*）时，有，那么当nk+1时，所以当nk+1时命题是正确的，由可知对于nN*，命题都是正确的，以上证法是错误的，错误在于（）A. 从k到k+1的推理过程没有使用归纳假设B. 假设的写法不正确C. 从k到k+1的推理不严密D. 当n1时，验证过程不具体【答案】A【解析】【分析】利用数学归纳法的证明步骤进行逐项判断可知，此证明中，从推出成立中，没有用到假设成立的形式，不是数学归纳法.【详解】用数学归纳法应这样证明：当n1时，显然命题是正确的；假设当nk（k2，kN*）时，有，即k2+k（k+1）2；则当nk+1时，所以当nk+1时命题是正确
6、的，由可知对于nN*，命题都是正确的原题目中的证法是错误的，错误在于从k到k+1的推理过程没有使用归纳假设；只是用了放缩法和不等式的性质，不符合数学归纳法的要求故选：A【点睛】本题考查数学归纳法；考查逻辑推理能力；熟练掌握数学归纳法的步骤是求解本题的关键；属于基础题.9.已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求函数的导函数，利用导函数与原函数单调性的关系进行判断，要使在区间上是增函数，则在上恒成立，分离参数，即可得到答案【详解】由题得，要使在区间上是增函数，则在上恒成立，即，则在上恒成立，又，当且仅当时，等号成立，所以，故答案选D【点
7、睛】本题主要考查导数与原函数单调性之间的关系，将含参问题转化为最值成立，是解决本题的关键，属于中档题10.已知定义在R上的偶函数f（x），其导函数，当x0时，恒有+f（x）0，若g（x）x2f（x），则不等式g（x）g（12x）的解集为（）A. （，1）B. （，）（1，+）C. （，+）D. （，）【答案】A【解析】【分析】根据函数f（x）为偶函数，则函数g（x）也是偶函数，利用导数判断函数在0，+）上的单调性，则不等式g（x）g（12x）等价于g（|x|）g（|12x|），解不等式即可.【详解】因为g（x）x2f（x），当x0时，g（x）2x +f（x）0，函数g（x）在0，+）上单调递减
8、函数f（x）是定义在R上的偶函数，函数g（x）是定义在R上的偶函数，则不等式g（x）g（12x）即g（|x|）g（|12x|），|x|12x|，解得：x1不等式g（x）g（12x）的解集为（，1）故选：A【点睛】本题考查利用函数导数判断函数的单调性，利用函数的奇偶性和单调性解不等式；考查运算求解能力；熟练掌握函数的奇偶性和单调性是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.二、填空题：本 大题共4小题，每小题6分，共24分11.曲线在点处的切线方程为_.【答案】【解析】【分析】对函数求导，得出在处的一阶导数值，即得出所求切线的斜率，再运用直线的点斜式求出切线的方程.【详解】令，所以，又，所求切线方程
9、为，即.故答案为：.【点睛】本题考查运用函数导函数求函数在切点处的切线方程，关键在于求出在切点处的导函数值就是切线的斜率，属于基础题.12.函数的单调减区间为_【答案】.【解析】【分析】利用导数研究函数单调性即可得到结论.【详解】解：，则，由，即，解得 ，即函数的单调减区间为，故答案为：.【点睛】本题主要考查函数单调区间的求解，根据函数的导数和单调性之间的关系是解决本题的关键.13.若函数f（x）x2+xlnx+1在其定义域的一个子区间（2k1，k+2）内不是单调函数，则实数k的取值范围是_【答案】.【解析】【分析】根据题意，求出函数的定义域，由区间（2k1，k+2）为其定义域的一个子区间得到
10、关于的不等式，对函数进行求导，利用导数判断函数的单调区间，结合函数在区间（2k1，k+2）上不单调得到关于的不等式，然后取交集即可.【详解】由题意知，函数f（x）x2+xlnx+1的定义域为（0，+），由区间（2k1，k+2）为其定义域的一个子区间，可得：02k1k+2，解得k3，f（x）2x+1，令f（x）0，解得x，所以当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，函数f（x）x2+xlnx+1在其定义域的一个子区间（2k1，k+2）内不是单调函数，2k1k+2，解得：k，与k3联立解得：k故答案为：.【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性、结合函数的定义域求参数的取值范围；考查运算求
11、解能力；熟练掌握利用导数判断函数单调性的方法是求解本题的关键；属于中档题.14.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 【答案】【解析】试题分析：对函数求导得，对求导得，设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，由点在切线上得，由点在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以，解得.【考点】导数的几何意义【名师点睛】函数f （x）在点x0处的导数f （x0）的几何意义是曲线yf （x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率相应地，切线方程为yy0f （x0）（xx0）注意：求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的不同三、解答题：本大题共两小题，共计26分，解答应写出必要的文字说明、证明过程
12、或演算步骤.15.已知函数，（）若，求曲线在点处的切线方程；（）若函数在上单调递增，求实数的取值范围【答案】（I）；（）【解析】【分析】（I）对函数进行求导得到，把和分别代入和，求出、，利用导数的几何意义即可求解；（）对函数进行求导，再由在上恒成立得到关于的不等式，利用分离参数法和构造函数法求出实数的取值范围即可.【详解】（I）因为函数，所以，当时，.，曲线在点处切线方程为，所以即为所求；（）函数在上单调递增，可得，令，因为函数为上的减函数，函数为上的增函数，所以，函数上单调递减当时，函数取得最大值为，因此，实数的取值范围为【点睛】本题考查利用导数的几何意义求函数在某点处的切线方程、利用导数判
13、断函数的单调性求参数的取值范围，考查运算求解能力和转化与化归能力，熟练掌握导数的几何意义和利用导数判断函数的单调性的方法是求解本题的关键，属于中档题、常考题型.16.求函数f（x）ex（exa）a2x（aR）的单调区间【答案】见解析.【解析】【分析】对函数进行求导，分a0，a0和a0三种情况分别利用导数判断函数的单调性求其单调区间即可.详解】f（x）ex（exa）+exexa22（ex+）（exa）下面对a分类讨论：a0时，f（x）e2x在R上单调递增；a0时，令f（x）0，解得xlna，可得：函数f（x）在（，lna）上单调递减，在（lna，+）上单调递增；a0时，令f（x）0，解得xln（），可得：函数f（x）在（，ln（）上单调递减，在（ln（），+）上单调递增综上可得：a0时，f（x）单调递增区间为；a0时，函数f（x）的单调递减区间为（，lna），单调递增区间为（lna，+）；a0时，函数f（x）的单调递减区间为（，ln（），单调递增区间为（ln（），+）【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间；考查运算求解能力和分类讨论思想；熟练掌握利用导数判断函数单调性的方法是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
