1、第六节简单的三角恒等变换考什么怎么考三角函数式的化简是三角函数的基本考点之一，一般涉及诱导公式、两角和与差的公式、二倍角公式及三角函数的恒等变形，主要依据三角函数的有关公式进行适当的化简，属于基础题.1化简：_.解析：原式2cos .答案：2cos 2化简：2cos()解：原式.怎样快解准解1三角函数式的化简要遵循“三看”原则2三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次三角函数式的求值是三角函数的基本考点，主要依据三角函数的有关公式进行适当的化简与求值，属于基础题.,常见的命题
2、角度有：,(1)给角求值；,(2)给值求值；,(3)给值求角.题点全练角度(一)给角求值1(2018新疆第二次适应性检测)的值是_解析：依题意得2.答案：2题型技法三角函数给角求值问题的解题策略一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题，另外此类问题也常通过代数变形(比如：正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值角度(二)给值求值2已知tan 2.(1)求tan的值；(2)求的值解：(1)tan3.(2)1.题型技法解三角函数的给值求值问题的基本步骤(1)先化简所求式子或所给条件；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系；(3)将已知条件
3、代入所求式子，化简求值角度(三)给值求角3若sin 2，sin()，且，则的值是()A.B.C.或 D.或解析：选A，2，sin 2，2.且cos 2，又sin()，cos()，cos()cos()2cos()cos 2sin()sin 2，又，所以.题型技法三角函数给值求角问题的解题策略对于给值求角问题，通过先求角的某个三角函数值来求角，在选取函数时，遵循以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数若角的范围是，选正弦或余弦函数皆可；若角的范围是(0，)，选余弦函数较好；若角的范围为，选正弦函数较好题“根”探求看个性角度(一)“给角求值”的解题关键是两
4、种变换：角的变换、结构变换；角度(二)“给值求值”的解题关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系；角度(三)“给值求角”实质上也转化为角度(一)“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调性求角找共性研究三角函数式的求值问题，解题的关键都是找出条件中的角与结论中的角的联系，依据函数名称的变换特点，选择合适的公式求解冲关演练1.的值为()A1B1C. D解析：选D原式.2已知2tan sin 3，则cos的值是()A0 B. C1 D.解析：选A由2tan sin 3，得3，即2cos23cos 20，cos 或cos 2(舍去)0，sin ，co
5、scos cossin sin0.3已知锐角，满足sin ，cos ，则等于()A. B.或C. D2k(kZ)解析：选C由sin ，cos ，且，为锐角，可知cos ，sin ，故cos()cos cos sin sin ，又0，故.三角恒等变换的综合应用是高考的重点，考查时多与三角函数的图象与性质、平面向量、解三角形等知识综合命题，难度中等.典题领悟(2018长春模拟)设函数f(x)sin xcos xcos2 xa.(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)当x时，函数f(x)的最大值与最小值的和为，求实数a的值思维路径由题给条件想到利用恒等变换把函数化为f(x)Asin(x
6、)b的形式；由第(1)问想到在0的前提下，利用周期公式T即可计算出函数f(x)的最小正周期，再利用2kx2k(kZ)解出这个不等式即为函数f(x)的单调递增区间；由第(2)问想到由x计算出ux的取值范围，然后结合函数ysin u的图象确定函数f(x)的最小值和最大值，列式求出a的值解：(1)因为f(x)sin xcos xcos2xasin 2x(1cos 2x)asin 2xcos 2xasina.所以函数f(x)的最小正周期T.令2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)，故函数f(x)的单调递增区间为(kZ)(2)因为x，所以2x，当2x时，函数f(x)取得最小值，即f(x)minaa；当
7、2x时，函数f(x)取得最大值，即f(x)max1aa.所以aa，所以a0.解题师说三角恒等变换在研究三角函数性质中的2个注意点(1)三角函数的性质问题，往往都要先化成f(x)Asin(x)b的形式再求解要注意在进行此步骤之前，如果函数解析式中出现及其二倍角、半角或函数值的平方，应根据变换的难易程度去化简，往往要利用到二倍角公式、升幂或降幂公式，把解析式统一化成关于同一个角的三角函数式(2)要正确理解三角函数的性质，关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的单调性、最值与周期冲关演练已知函数f(x)5sin xcos x5cos2x(其中xR)，求：(1)函数f
8、(x)的单调区间；(2)函数f(x)图象的对称轴和对称中心解：(1)因为f(x)sin 2x(1cos 2x)55sin，由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，所以函数f(x)的单调增区间为(kZ)由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，所以函数f(x)的单调减区间为(kZ)(2)由2xk(kZ)，得x(kZ)，所以函数f(x)的对称轴方程为x(kZ)由2xk(kZ)，得x(kZ)，所以函数f(x)的对称中心为(kZ)(一)普通高中适用作业A级基础小题练熟练快1(2016全国卷)若tan ，则cos 2()ABC. D.解析：选Dcos 2，又tan ，cos 2.2化简：()A1 B.
9、C. D2解析：选C原式 ，故选C.3函数f(x)2sin2cos 2x的最大值为()A2 B3C2 D2解析：选Bf(x)1cos 2cos 2xsin 2xcos 2x12sin1，可得f(x)的最大值是3.4已知sincos，则cos 2()A1 B1C. D0解析：选Dsincos，cos sin cos sin ，即sin cos ，tan 1，cos 2cos2sin20.5已知sin 2，0，则 cos的值为()A. BC D.解析：选D因为sin 2，所以(sin cos )21sin 2.因为0，所以sin cos .所以 cos(cos sin ).6若sin()sin c
10、os()cos ，且为第二象限角，则tan()A7 B.C7 D解析：选Bsin()sin cos()cos ，即cos()cos ，即cos .又为第二象限角，tan ，tan.7函数ysincos 2x的最大值为_解析：因为ysincos 2xcos 2xsin 2xcos 2xcos 2xsin 2xcos，故最大值为.答案：8在ABC中，sin(CA)1，sinB，则sin A_.解析：sin(CA)1，CA90，即C90A，sinB，sinBsin(AC)sin(902A)cos 2A，即12sin2A，sin A.答案：9化简： _.解析：原式.答案：10已知方程x23ax3a10
11、(a1)的两根分别为tan ，tan ，且，则_.解析：由已知得tan tan 3a，tan tan 3a1，tan()1.又，tan tan 3a0，tan tan 3a10，tan 0，tan 0，(，0)，.答案：B级中档题目练通抓牢1在斜三角形ABC中，sin AcosBcos C，且tanBtan C1，则角A的大小为()A. B.C. D.解析：选A由题意知，sin AcosB cos Csin(BC)sinB cos CcosB sin C，在等式cosB cos CsinB cos CcosB sin C两边同除以cosB cos C得tanBtan C，所以tan(BC)1t
12、an A，即tan A1，所以A.2已知R，sin 2cos ，则tan 2()A. B.C D解析：选C因为sin 2cos ，所以sin24cos24sin cos (sin2cos2)，整理得3sin23cos28sin cos 0，则3cos 24sin 2，所以tan 2.3(2018合肥质检)已知函数f(x)sin4xcos4x，x.若f(x1)f(x2)，则一定有()Ax1x2Cxx解析：选Df(x)sin4xcos4x(sin2xcos2x)22sin2xcos2xcos 4x，4x，所以函数f(x)是偶函数，且在上单调递减，根据f(x1)f(x2)，可得f(|x1|)|x2|
13、，即xx.4计算 _(用数字作答)解析：.答案：5已知cos ，cos()，且0，则_.解析：由cos ，0，得sin ，由0，得0，又cos()，sin() .由()，得cos cos()cos cos()sin sin().答案：6已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(3，)(1)求sin 2tan 的值；(2)若函数f(x)cos(x)cos sin(x)sin ，求函数g(x)f2f 2(x)在区间上的值域解：(1)角的终边经过点P(3，)，sin ，cos ，tan .sin 2tan 2sin cos tan .(2)f(x)cos(x)cos sin(x)
14、sin cos x，g(x)cos2cos2xsin 2x1cos 2x2sin1.0x，2x.sin1，22sin11，故函数g(x)f2f2(x)在区间上的值域是2,17已知函数f(x)2cos2x12sin xcos x(01)，直线x是函数f(x)的图象的一条对称轴(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)已知函数yg(x)的图象是由yf(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到的，若g，求sin 的值解：(1)f(x)cos 2xsin 2x2sin，由于直线x是函数f(x)2sin的图象的一条对称轴，所以k(kZ)，解得k(kZ)，又01，所以，所以f
15、(x)2sin.由2kx2k(kZ)，得2kx2k(kZ)，所以函数f(x)的单调递增区间为2k，2k(kZ)(2)由题意可得g(x)2sin，即g(x)2cos，由g2cos2cos，得cos，又，故，所以sin，所以sin sinsincoscossin.C级重难题目自主选做如图，现要在一块半径为1，圆心角为的扇形铁片AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在弧AB上，点Q在OA上，点M，N在OB上，设BOP，平行四边形MNPQ的面积为S.(1)求S关于的函数关系式；(2)求S的最大值及相应的的大小解：(1)分别过P，Q作PDOB于点D，QEOB于点E，则四边形QEDP为矩形由扇形半径为
16、1，得|PD|sin ，|OD|cos .又|OE|QE|PD|，|MN|QP|DE|OD|OE|cos sin ，S|MN|PD|sin sin cos sin2，.(2)由(1)知Ssin 2(1cos 2)sin 2cos 2sin，因为，所以2，所以sin.当时，S取最大值，且Smax.(二)重点高中适用作业A级保分题目巧做快做1.若tan ，则()A.BC. D解析：选Atan .2化简：()A1 B.C. D2解析：选C原式 ，故选C.3函数f(x)2sin2cos 2x的最大值为()A2 B3C2 D2解析：选Bf(x)1coscos 2xsin 2xcos 2x12sin1，可
17、得f(x)的最大值是3.4已知sin 2，0，则 cos的值为()A. BC D.解析：选D因为sin 2，所以(sin cos )21sin 2.因为0，所以sin cos .所以 cos(cos sin ).5在ABC中，若(tanBtan C)tanBtan C1，则sin 2A()A B.C D.解析：选D由两角和的正切公式知tan(BC)，所以tan A，又A(0，)，所以A，所以sin 2A.6在ABC中，sin(CA)1，sinB，则sin A_.解析：sin(CA)1，CA90，即C90A，sinB，sinBsin(AC)sin(902A)cos 2A，即12sin2A，sin
18、 A.答案：7.函数ysincos 2x的单调递增区间为_，最大值为_解析：因为ysincos 2xcos 2xsin 2xcos 2xcos 2xsin 2xcos，由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，故单调递增区间为(kZ)，最大值为.答案：(kZ)8.定义运算adbc.若cos ，0，则_.解析：依题意有sin cos cos sin sin().又0，00)的最小正周期为，则f(x)在区间上的值域为()A. B.C. D.解析：选Af(x)sin2xsin xsinsin2xsin xcos xsin 2xcos 2xsin，因为T，所以1，即f(x)sin，当x时，2x，所以sin
19、，故所求值域为，故选A.2.(2018江西赣中南五校模拟)已知f(x)sin2 019xcos的最大值为A，若存在实数x1，x2使得对任意实数x总有f(x1)f(x)f(x2)成立，则A|x1x2|的最小值为()A. B. C. D.解析：选Bf(x)sincossin 2 019xcos cos 2 019xsin cos 2 019xcos sin 2 019xsin sin 2 019xcos 2 019xcos 2 019xsin 2 019xsin 2 019xcos 2 019x2sin，f(x)的最大值为A2；由题意，得|x1x2|的最小值为，A|x1x2|的最小值为.故选B.3
20、计算 _(用数字作答)解析：.答案：4已知，tan()9tan ，则tan 的最大值为_解析：，tan 0，tan 0，tan tan()当且仅当9tan 时等号成立，tan 的最大值为.答案：5已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(3，)(1)求sin 2tan 的值；(2)若函数f(x)cos(x)cos sin(x)sin ，求函数g(x)f2f 2(x)在区间上的值域解：(1)角的终边经过点P(3，)，sin ，cos ，tan .sin 2tan 2sin cos tan .(2)f(x)cos(x)cos sin(x)sin cos x，g(x)cos2cos2xsin 2x1cos 2x2sin1.0x，2x.sin1，22sin11，故函数g(x)f2f2(x)在区间上的值域是2,16.(2018湛江一模) 已知函数f(x)Acos(A0，0)图象相邻两条对称轴的距离为，且f(0)1.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设，f，f，求tan(22)的值解：(1)函数f(x)Acos(A0，0)图象相邻两条对称轴的距离为，2，又f(0)1，A1，A2，f(x)2cos.(2)，f2cos2cos(2)2cos 2，cos 2，sin 2，则tan 2.，f2cos2cos 2，cos 2，sin 2，则tan 2.tan(22).
