1、第三章检测(A)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1下列命题正确的是()A.若acbc,则abB.若a2b2,则abC.若1a1b,则abD.若ab,则ab解析A中,若c0,则不等式不成立;B中,若a,b均小于0或a0,bNB.MNC.M0,所以MN.答案A3不等式x2-2x-52x的解集是()A.x|x5或x-1B.x|x5或x-1C.x|-1x0,所以(x-5)(x+1)0,解得x5.答案B4若实数x,y满足不等式组x-y-1,x+y1,3x-y3,则该约束条件所围成的平面区域的面积是()
2、A.3B.52C.2D.22解析因为直线x-y=-1与x+y=1互相垂直,所以如图阴影部分所示的可行域为直角三角形,易得A(0,1),B(1,0),C(2,3),故|AB|=2,|AC|=22,故所求面积S=12222=2.答案C5若集合A=x|-12x+13,B=xx-2x0,则AB=()A.x|-1x0B.x|0x1C.x|0x2D.x|0x1解析由于A=x|-12x+13=x|-1x1,B=x|x-2x0=x|0x2,故AB=x|-1x1x|0x2=x|00的解集是x|-12x13,则a+b的值等于()A.-10B.-14C.10D.14解析由题意,知-12,13是方程ax2+bx+2=
3、0的两根,由根与系数的关系,得-12+13=-ba,-1213=2a,解得a=-12,b=-2,所以a+b=-14.答案B7已知关于x的不等式(a-2)x2+2(a-2)x-40对一切xR恒成立,则实数a的取值范围是()A.(-,2)B.-2,2C.(-2,2D.(-,-2)解析当a=2时,不等式即-40显然成立,当a-20时,需要满足a-20,且=4(a-2)2+16(a-2)0-2a2,所以-20,N0,MN81,所以M+N2MN281=18,当且仅当M=N=9时,等号成立.答案B9已知当变量x,y满足约束条件yx,x+3y4,xm时,z=x-3y的最大值为8,则实数m的值是()A.-4B
4、.-3C.-2D.-1解析作出可行域,平移直线x-3y=0,可知当目标函数经过直线y=x与x=m的交点(m,m)时,取得最大值,由m-3m=8,得m=-4.答案A10若f(x)是偶函数,且当x0,+)时,f(x)=x-1,则f(x-1)0的解集是()A.x|-1x0B.x|x0或1x2C.x|0x2D.x|1x2解析由题意可画出偶函数f(x)的图象,如图所示,由f(x-1)0,数形结合法可得-1x-11,故0x0,y0,且x+2y=1,则1x+1y的最小值为.解析1x+1y=1x+1y(x+2y)=3+xy+2yx3+22,当且仅当xy=2yx,且x+2y=1,即y=2-22,x=2-1时,等
5、号成立.答案3+2212给定区域D:x+4y4,x+y4,x0.令点集T=(x0,y0)D|x0,y0Z,(x0,y0)是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点,则T中的点共确定条不同的直线.解析由区域D:x+4y4,x+y4,x0,画出可行域如图阴影部分所示.满足条件的(x0,y0)有(0,1),(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0),故T中的点共确定6条不同的直线.答案613已知f(x)=1,x0,0,x0,则不等式xf(x)+x2的解集是.解析分类讨论:当x0时,f(x)=1,则不等式变为x+x2,所以x1,所以0x1;当x0时,f(x)=0,则不等式变为x0+x2,
6、所以x2,所以x0.综上所述,不等式的解集为x|x1.答案x|x114要挖一个底面积为432 m2的长方体鱼池,周围两侧分别留出宽分别为3 m(宽的两端),4 m(长的两端)的堤堰,要想使占地总面积最小,此时鱼池的长为,宽为.解析设长方体鱼池的底面长为x m,则宽为432x m,则占地总面积y=(x+8)432x+6=4328x+6x+480768,当且仅当4328x=6x,即x=24时取得最小值.则宽为43224=18(m).答案24 m18 m15在R上定义运算:xy=(1-x)y,若关于x的不等式(x+a)(x-a)1对任意实数
7、x都成立,则a的取值范围是.解析由题意,可得(x+a)(x-a)=(1-x-a)(x-a)0恒成立,故1-4(-a2+a+1)0,解得-12a32.答案-12,32三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16(本小题满分8分)已知集合A=x|12x2-x-61,B=x|log4(x+a)1,若AB=,求实数a的取值范围.分析首先根据条件解出两个集合中的不等式,然后把集合对应的区间在数轴上表示出来,可以根据数轴判断a满足的条件.解由12x2-x-60,x3或x3或x-2.由log4(x+a)1,得0x+a4,B=x|-ax4-a.
8、AB=,-a-2,4-a3.1a2.17(本小题满分8分)某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36张,每批都购入x张(x是正整数),且每批均需付运费4元,储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比,若每批购入4张,则该月需用去运费和保管费共52元,现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费.(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f(x);(2)能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由.解(1)设题中比例系数为k,若每批购入x张,则共需分36x批,每批价值为20x元,由题意得f(x)=36x4+k20x.当x=4时,f
9、(x)=52,得k=1680=15.f(x)=144x+4x(0x36,xN+).(2)能.理由:由(1)知f(x)=144x+4x(0x36,xN+),f(x)2144x4x=48(元).当且仅当144x=4x,即x=6时,上式等号成立.故只需每批购入6张书桌,就可以使资金够用.18(本小题满分9分)解关于x的不等式56x2+ax-a20.解原不等式可化为(7x+a)(8x-a)0,即x+a7x-a80.当-a70时,-a7xa8,即a0时,a8x0时,原不等式的解集为x-a7xa8;当a=0时,原不等式的解集为;当a0时,原不等式的解集为xa8x2x的解集为(1,3).(1)若方程f(x)
10、+6a=0有两个相等实根,求f(x)的解析式;(2)若函数f(x)的最大值不小于8,求实数a的取值范围.解设f(x)=ax2+bx+c,则f(x)2xax2+(b-2)x+c0.已知其解集为(1,3),a0,-b-22a=2b=2-4a,ca=3c=3a,f(x)=ax2+(2-4a)x+3a.(1)若f(x)+6a=0有两个相等实根,即ax2-(4a-2)x+9a=0有两个相等实根,则=4+16a2-16a-36a2=0,解得a=-1a=15不合题意,舍去,f(x)=-x2+6x-3.(2)由题意可知f(x)=ax-2a-1a2+-a2+4a-1a,a0,f(x)max=-a2+4a-1a8,得a2-4a+1-8aa2+4a+10.解得a-2+3或a-2-3.又a0,0a=14.由得a-120,0a=14.综上所述,存在常数a=14,b=12,c=14满足题意.
