1、专题12：圆锥曲线的综合问题(两课时)班级 姓名 一、前测训练1(1)点A是椭圆1的左顶点，点F是右焦点，若点P在椭圆上，且位于x轴上方，满足PAPF，则点P的坐标为 (2)若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为 答案：(1)(，)(2)62(1)如图，椭圆C：1(ab0)的上、下顶点分别为A，B，右焦点为F，点P 在椭圆C上，且OPAF， 延长AF交椭圆C于点Q，若直线OP的斜率是直线BQ的斜率的2倍，则椭圆C的离心率为 (2)已知椭圆的方程为1，与右焦点F相应的准线l与x轴相交于点A，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点设(1)，过点P且平行于准线l的直
2、线与椭圆相交于另一点M，证明： (3) 过点M(1，1)作斜率为的直线与椭圆C：1(ab0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于_答案：(1) ；(2)略；(3) 3 (1)设P，Q分别为圆x2(y6)22和椭圆y21上的点，则P，Q两点间的最大距离是 (2)已知椭圆C：x22y24，O为原点若点A在直线y2上，点B在椭圆C上，且OAOB，则线段AB长度的最小值为 答案：（1）6；（2）2二、方法联想1椭圆上一个点问题方法1：设点. 设点(x,y)代入方程、列式、消元；设点(acos,bsin)方法2：求点. 代入方程、列式、求解注意 考虑x0(或y0)的取值范围 变式
3、：如图，椭圆C：1(ab0)的上、下顶点分别为A，B，右焦点为F，点P在椭圆C上，且OPAF.求证：存在椭圆C，使直线AF平分线段OP.答案：略(已知椭圆上一点，利用该点坐标满足椭圆方程，方程有解进行证明)2直线与椭圆相交于两点问题已知其中一点坐标(x,y)，设出直线的方程，与椭圆方程联立，可用韦达定理求出另一根；两点均未知方法1 设两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，直线方程与椭圆方程联立，消去y得关于x的方程Ax2BxC0，由韦达定理得x1x2，x1x2，代入已知条件所得式子消去x1，x2(其中y1，y2通过直线方程化为x1，x2)注意：(1)设直线方程时讨论垂直于x轴情况；(2)通过
4、判断交点个数； (3)根据需要也可消去x得关于y的方程结论：弦长公式 ABx1x2y1y2方法2 设两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，代入椭圆方程得通过已知条件建立x1、y1与x2、y2的关系，消去x2、y2解关于x1、y1的方程组（或方程）方法3 点差法设两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，代入椭圆方程得两式相减得，即kAB，其中AB中点M为(x0，y0) 注意：点差法一般仅适用于与弦中点与弦的斜率相关的问题变式：(1)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1(ab0)的离心率为，长轴长为4.过椭圆的左顶点A作直线l，分别交椭圆和圆x2y2a2于相异两点P，Q.若直线l的斜率为，
5、求的值；若，求实数的取值范围答案：；（0,1）(已知直线与椭圆、圆分别交于两点，并且其中一点已知，求另一点)(2)设椭圆1(ab0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点若8，求k的值答案： . (已知直线与椭圆交于两点及这两点的坐标的关系，求直线斜率)3. 圆锥曲线的最值与范围问题 (1)点在圆锥曲线上(非线性约束条件)的条件下，求相关式子(目标函数)的取值范围问题，常用参数方程代入转化为三角函数的最值问题，或根据平面几何知识或引入一个参数(有几何意义)化为函数进行处理(2)由直线(系)
6、和圆锥曲线(系)的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题，常把所求参数作为函数，另一个元作为自变量求解变式：已知椭圆C：1设F为椭圆C的左焦点，T为直线x3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)；当最小时，求点T的坐标答案： T点的坐标是(3，1)或(3，1) (求取最值时的条件)4.定值问题方法1 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关方法2 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值5定点问题方法1 假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标
7、的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；方法2 从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意三、例题分析例1：椭圆C：1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，P为椭圆C上任意一点已知的最大值为3，最小值为2(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l：ykxm与椭圆C相交于点M，N两点（M，N不是左、右顶点），且0，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标答案：（1）椭圆C的方程为1（2）直线l过定点（，0）教学建议一、主要问题归类与方法：1与椭圆上动点有关的最值问题，动点的坐标满足方程，且该点的横、纵坐标有范围2建立目标函数，研究给定定义域的二次函数的值域3解二元二次方程组，二次
8、函数的零点式4以已知两点为直径的圆的方程（渗透求圆方程的另一种方法）5向量数量积的应用，定义法、坐标法和基底法6研究动直线过定点的方法，待定系数法探求和特殊化探究证明二、方法选择与优化建议：1直角坐标系下研究向量问题，往往坐标形式比较简单2由于直接求M，N两点的坐标比较困难（求也可以，由于方程中字母较多，运算较为复杂），所以将条件0理解成点A在以MN为直径的圆上，从而找到m与k的关系例2：在平面直角坐标系xOy中，设中心在坐标原点的椭圆C的左、右焦点分别为F1、F2，右准线l：xm1与x轴的交点为B，BF2m.(1) 已知点在椭圆C上，求实数m的值；(2) 已知定点A(2，0) 若椭圆C上存在
9、点T，使得，求椭圆C的离心率的取值范围； 当m1时，记M为椭圆C上的动点，直线AM、BM分别与椭圆C交于另一点P、Q，若，求证：为定值教学建议一、主要问题归类与方法： 1求椭圆方程，椭圆的几何性质2轨迹方程，圆的第二定义(阿波罗尼斯圆)3离心率取值范围4向量的运算5直线与椭圆的位置关系6定值问题二、方法选择与优化建议：根据第(1)问可知 c1，且椭圆方程为1，为此，求离心率的取值范围只要求出m的范围则可由A，F1是两个定点，且，可知点T是圆上的点，再根据点T在椭圆上，可求出点T的坐标，根据椭圆中x，y的范围，可得到m的范围，进而求出离心率的取值范围分析1：由向量条件，联想到向量的坐标表示，将点
10、M，P，Q的坐标设出来，利用点M，P，Q在椭圆上，可得到点M，P，Q的坐标与，的关系，通过点M来联系点P，Q，就可得到的值分析2：设点M的坐标，以此作为“已知量”，由直线AM与椭圆方程联立成方程组，解出点P的坐标，再根据，将表示为点M的坐标形式，同理，将表示为点M的坐标形式，这样就可表示为M的坐标形式，利用点M在椭圆上来化简得到答案例3：如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：1（ab0）的离心率e，A1，A2分别是椭圆E的左、右两个顶点，圆A2的半径为a，过点A1作圆A2的切线，切点为P，在x轴的上方交椭圆E于点Q (1)求直线OP的方程；(2)求的值；(3)设a为常数过点O作两条互相垂
11、直的直线，分别交椭圆于E点B，C，分别交圆A2于点M，N，记OBC和OMN的面积分别为S1，S2，求S1S2的最大值A1A2OPQMNBCxy答案：(1)直线OP的方程为yx(2)(3)S1S2的最大值为一、主要问题归类与方法：1椭圆的基本量及基本概念2圆的切线的平面几何性质，解直角三角形3求两直线的交点，直线与椭圆的交点，直线与圆的交点，已知一个交点的情况下求另一个交点4同一直线上的两条线段之比转化为相关点的某一坐标之比5基本不等式求最值的函数类型，并会用基本不等式求最值二、方法选择与优化建议：1解析几何特别是与圆有关的研究结合平面几何的相关性质，往往可以简化运算过程2将同一直线上的两条线段
12、之比转化为相关点的某一坐标之比3理性思考计算中的一些技巧，避免重复计算4掌握基本不等式求最值的函数类型的本质特征四、反馈练习1已知点A(2，3)在抛物线C：y22px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为 答案： (考查抛物线的方程及其几何性质，直线与抛物线相切问题)2已知ab0，椭圆C1的方程为1，双曲线C2的方程为1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为 答案：xy0 (考查椭圆、双曲线的离心率及双曲线的渐近线方程)3由椭圆y21的左焦点作倾斜角为45的直线l交椭圆于A、B两点则 答案： (考查直线与椭圆的交点问题，向量的数量积)4已知
13、动圆圆心在抛物线y24x上，且动圆恒与直线x1相切，则此动圆必过定点 答案：(1，0) (考查抛物线的定义，直线与圆相切，定点问题)5设双曲线的左准线与两条渐近线交于A，B两点，左焦点在以AB为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为 答案：(1，) (考查圆、双曲线的几何性质，双曲线的准线与渐近线，离心率问题)6椭圆C：1的左右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围为2，1，那么直线PA1的斜率的取值范围是 答案：， (考查椭圆的几何性质，定值问题，函数的值域)AOBCDEFGyx7已知点A(0，2)，抛物线y22px (p0)的焦点为F，准线为l，线段FA交抛物线于点
14、B，过B做l的垂线，垂足为M，若AMMF，则p_答案： (考查平面图形的几何性质，抛物线的定义、方程)8如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(ab)，原点O为AD的中点，抛物线y22px(p0)经过C，F两点，则_ _答案：1(考查抛物线的几何性质，抛物线的定义、方程)A1 A2 yB2 B1AO BCDF1 F2 x9在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P是函数y(x0)图象上一动点,若点PA之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为_.答案：1或 (考查两点距离，函数的最值问题)0如图，双曲线1(a0，b0)的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两
15、焦点为F1，F2若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D 则菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值 答案： (考查双曲线中离心率及实轴虚轴的相关定义，以及一般平面几何图形的面积计算)11已知抛物线C：y22px (p0)的准线为l，焦点为F，M的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切过原点O作倾斜角为的直线n，交l于点A，交M于另一点B，且AOOB2OlxyABFM（1）求M和抛物线C的方程；（2）若P为抛物线C上的动点，求的最小值；（3）过l上的动点Q向M作切线，切点为S，T求证：直线ST恒过一个定点，并求该定点的坐标答案：(1)M的方程为
16、(x2)2y24，抛物线C的方程为y24x； (2) 的最小值为2； (3) 定点坐标为(，0)(考查求圆与抛物线的方程，最值与曲线过定点问题) 12如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：1(ab0)的离心率为，直线l：yx与椭圆E相交于A，B两点，AB2，C，D是椭圆E上异于A，B的两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N，连结MN.(1) 求a，b的值；(2) 求证：直线MN的斜率为定值答案：(1) ，;(2)1(考查求直线与椭圆的位置关系，定值问题)13设椭圆1(a)的右焦点为F，右顶点为A，已知，其中O为原点， e为椭圆的离心率. （1）求椭圆的方程；（2）设过点A
17、的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BFHF，且MOAMAO，求直线l的斜率的取值范围.答案：（1）1 ; （2）(, ,) (考查)(考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，取值范围问题)14ABPOxy如图，在平面直角坐标系xOy中椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为，已知点(1,e)和(e,)都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率。（1）求椭圆的方程；（2）设A、B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P。 （i）若AF1BF2,求直线AF1的斜率；（ii）求证：PF1PF2是定值。答案：(1) y21;(2).(考查椭圆方程，椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，焦半径，定值问题)
