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江苏省南京市2017届高三数学二轮专题复习(第一层次)专题12圆锥曲线的综合问题 WORD版含答案.doc

1、专题12:圆锥曲线的综合问题(两课时)班级 姓名 一、前测训练1(1)点A是椭圆1的左顶点,点F是右焦点,若点P在椭圆上,且位于x轴上方,满足PAPF,则点P的坐标为 (2)若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则的最大值为 答案:(1)(,)(2)62(1)如图,椭圆C:1(ab0)的上、下顶点分别为A,B,右焦点为F,点P 在椭圆C上,且OPAF, 延长AF交椭圆C于点Q,若直线OP的斜率是直线BQ的斜率的2倍,则椭圆C的离心率为 (2)已知椭圆的方程为1,与右焦点F相应的准线l与x轴相交于点A,过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点设(1),过点P且平行于准线l的直

2、线与椭圆相交于另一点M,证明: (3) 过点M(1,1)作斜率为的直线与椭圆C:1(ab0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于_答案:(1) ;(2)略;(3) 3 (1)设P,Q分别为圆x2(y6)22和椭圆y21上的点,则P,Q两点间的最大距离是 (2)已知椭圆C:x22y24,O为原点若点A在直线y2上,点B在椭圆C上,且OAOB,则线段AB长度的最小值为 答案:(1)6;(2)2二、方法联想1椭圆上一个点问题方法1:设点. 设点(x,y)代入方程、列式、消元;设点(acos,bsin)方法2:求点. 代入方程、列式、求解注意 考虑x0(或y0)的取值范围 变式

3、:如图,椭圆C:1(ab0)的上、下顶点分别为A,B,右焦点为F,点P在椭圆C上,且OPAF.求证:存在椭圆C,使直线AF平分线段OP.答案:略(已知椭圆上一点,利用该点坐标满足椭圆方程,方程有解进行证明)2直线与椭圆相交于两点问题已知其中一点坐标(x,y),设出直线的方程,与椭圆方程联立,可用韦达定理求出另一根;两点均未知方法1 设两点A(x1,y1)、B(x2,y2),直线方程与椭圆方程联立,消去y得关于x的方程Ax2BxC0,由韦达定理得x1x2,x1x2,代入已知条件所得式子消去x1,x2(其中y1,y2通过直线方程化为x1,x2)注意:(1)设直线方程时讨论垂直于x轴情况;(2)通过

4、判断交点个数; (3)根据需要也可消去x得关于y的方程结论:弦长公式 ABx1x2y1y2方法2 设两点A(x1,y1)、B(x2,y2),代入椭圆方程得通过已知条件建立x1、y1与x2、y2的关系,消去x2、y2解关于x1、y1的方程组(或方程)方法3 点差法设两点A(x1,y1)、B(x2,y2),代入椭圆方程得两式相减得,即kAB,其中AB中点M为(x0,y0) 注意:点差法一般仅适用于与弦中点与弦的斜率相关的问题变式:(1)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆1(ab0)的离心率为,长轴长为4.过椭圆的左顶点A作直线l,分别交椭圆和圆x2y2a2于相异两点P,Q.若直线l的斜率为,

5、求的值;若,求实数的取值范围答案:;(0,1)(已知直线与椭圆、圆分别交于两点,并且其中一点已知,求另一点)(2)设椭圆1(ab0)的左焦点为F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点若8,求k的值答案: . (已知直线与椭圆交于两点及这两点的坐标的关系,求直线斜率)3. 圆锥曲线的最值与范围问题 (1)点在圆锥曲线上(非线性约束条件)的条件下,求相关式子(目标函数)的取值范围问题,常用参数方程代入转化为三角函数的最值问题,或根据平面几何知识或引入一个参数(有几何意义)化为函数进行处理(2)由直线(系)

6、和圆锥曲线(系)的位置关系,求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题,常把所求参数作为函数,另一个元作为自变量求解变式:已知椭圆C:1设F为椭圆C的左焦点,T为直线x3上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q.证明:OT平分线段PQ(其中O为坐标原点);当最小时,求点T的坐标答案: T点的坐标是(3,1)或(3,1) (求取最值时的条件)4.定值问题方法1 从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关方法2 直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值5定点问题方法1 假设定点坐标,根据题意选择参数,建立一个直线系或曲线系方程,而该方程与参数无关,故得到一个关于定点坐标

7、的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即所求定点;方法2 从特殊位置入手,找出定点,再证明该点符合题意三、例题分析例1:椭圆C:1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,P为椭圆C上任意一点已知的最大值为3,最小值为2(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l:ykxm与椭圆C相交于点M,N两点(M,N不是左、右顶点),且0,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标答案:(1)椭圆C的方程为1(2)直线l过定点(,0)教学建议一、主要问题归类与方法:1与椭圆上动点有关的最值问题,动点的坐标满足方程,且该点的横、纵坐标有范围2建立目标函数,研究给定定义域的二次函数的值域3解二元二次方程组,二次

8、函数的零点式4以已知两点为直径的圆的方程(渗透求圆方程的另一种方法)5向量数量积的应用,定义法、坐标法和基底法6研究动直线过定点的方法,待定系数法探求和特殊化探究证明二、方法选择与优化建议:1直角坐标系下研究向量问题,往往坐标形式比较简单2由于直接求M,N两点的坐标比较困难(求也可以,由于方程中字母较多,运算较为复杂),所以将条件0理解成点A在以MN为直径的圆上,从而找到m与k的关系例2:在平面直角坐标系xOy中,设中心在坐标原点的椭圆C的左、右焦点分别为F1、F2,右准线l:xm1与x轴的交点为B,BF2m.(1) 已知点在椭圆C上,求实数m的值;(2) 已知定点A(2,0) 若椭圆C上存在

9、点T,使得,求椭圆C的离心率的取值范围; 当m1时,记M为椭圆C上的动点,直线AM、BM分别与椭圆C交于另一点P、Q,若,求证:为定值教学建议一、主要问题归类与方法: 1求椭圆方程,椭圆的几何性质2轨迹方程,圆的第二定义(阿波罗尼斯圆)3离心率取值范围4向量的运算5直线与椭圆的位置关系6定值问题二、方法选择与优化建议:根据第(1)问可知 c1,且椭圆方程为1,为此,求离心率的取值范围只要求出m的范围则可由A,F1是两个定点,且,可知点T是圆上的点,再根据点T在椭圆上,可求出点T的坐标,根据椭圆中x,y的范围,可得到m的范围,进而求出离心率的取值范围分析1:由向量条件,联想到向量的坐标表示,将点

10、M,P,Q的坐标设出来,利用点M,P,Q在椭圆上,可得到点M,P,Q的坐标与,的关系,通过点M来联系点P,Q,就可得到的值分析2:设点M的坐标,以此作为“已知量”,由直线AM与椭圆方程联立成方程组,解出点P的坐标,再根据,将表示为点M的坐标形式,同理,将表示为点M的坐标形式,这样就可表示为M的坐标形式,利用点M在椭圆上来化简得到答案例3:如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆E:1(ab0)的离心率e,A1,A2分别是椭圆E的左、右两个顶点,圆A2的半径为a,过点A1作圆A2的切线,切点为P,在x轴的上方交椭圆E于点Q (1)求直线OP的方程;(2)求的值;(3)设a为常数过点O作两条互相垂

11、直的直线,分别交椭圆于E点B,C,分别交圆A2于点M,N,记OBC和OMN的面积分别为S1,S2,求S1S2的最大值A1A2OPQMNBCxy答案:(1)直线OP的方程为yx(2)(3)S1S2的最大值为一、主要问题归类与方法:1椭圆的基本量及基本概念2圆的切线的平面几何性质,解直角三角形3求两直线的交点,直线与椭圆的交点,直线与圆的交点,已知一个交点的情况下求另一个交点4同一直线上的两条线段之比转化为相关点的某一坐标之比5基本不等式求最值的函数类型,并会用基本不等式求最值二、方法选择与优化建议:1解析几何特别是与圆有关的研究结合平面几何的相关性质,往往可以简化运算过程2将同一直线上的两条线段

12、之比转化为相关点的某一坐标之比3理性思考计算中的一些技巧,避免重复计算4掌握基本不等式求最值的函数类型的本质特征四、反馈练习1已知点A(2,3)在抛物线C:y22px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为 答案: (考查抛物线的方程及其几何性质,直线与抛物线相切问题)2已知ab0,椭圆C1的方程为1,双曲线C2的方程为1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为 答案:xy0 (考查椭圆、双曲线的离心率及双曲线的渐近线方程)3由椭圆y21的左焦点作倾斜角为45的直线l交椭圆于A、B两点则 答案: (考查直线与椭圆的交点问题,向量的数量积)4已知

13、动圆圆心在抛物线y24x上,且动圆恒与直线x1相切,则此动圆必过定点 答案:(1,0) (考查抛物线的定义,直线与圆相切,定点问题)5设双曲线的左准线与两条渐近线交于A,B两点,左焦点在以AB为直径的圆内,则该双曲线的离心率的取值范围为 答案:(1,) (考查圆、双曲线的几何性质,双曲线的准线与渐近线,离心率问题)6椭圆C:1的左右顶点分别为A1,A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值范围为2,1,那么直线PA1的斜率的取值范围是 答案:, (考查椭圆的几何性质,定值问题,函数的值域)AOBCDEFGyx7已知点A(0,2),抛物线y22px (p0)的焦点为F,准线为l,线段FA交抛物线于点

14、B,过B做l的垂线,垂足为M,若AMMF,则p_答案: (考查平面图形的几何性质,抛物线的定义、方程)8如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(ab),原点O为AD的中点,抛物线y22px(p0)经过C,F两点,则_ _答案:1(考查抛物线的几何性质,抛物线的定义、方程)A1 A2 yB2 B1AO BCDF1 F2 x9在平面直角坐标系xOy中,设定点A(a,a),P是函数y(x0)图象上一动点,若点PA之间的最短距离为2,则满足条件的实数a的所有值为_.答案:1或 (考查两点距离,函数的最值问题)0如图,双曲线1(a0,b0)的两顶点为A1,A2,虚轴两端点为B1,B2,两

15、焦点为F1,F2若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2,切点分别为A,B,C,D 则菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值 答案: (考查双曲线中离心率及实轴虚轴的相关定义,以及一般平面几何图形的面积计算)11已知抛物线C:y22px (p0)的准线为l,焦点为F,M的圆心在x轴的正半轴上,且与y轴相切过原点O作倾斜角为的直线n,交l于点A,交M于另一点B,且AOOB2OlxyABFM(1)求M和抛物线C的方程;(2)若P为抛物线C上的动点,求的最小值;(3)过l上的动点Q向M作切线,切点为S,T求证:直线ST恒过一个定点,并求该定点的坐标答案:(1)M的方程为

16、(x2)2y24,抛物线C的方程为y24x; (2) 的最小值为2; (3) 定点坐标为(,0)(考查求圆与抛物线的方程,最值与曲线过定点问题) 12如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:1(ab0)的离心率为,直线l:yx与椭圆E相交于A,B两点,AB2,C,D是椭圆E上异于A,B的两点,且直线AC,BD相交于点M,直线AD,BC相交于点N,连结MN.(1) 求a,b的值;(2) 求证:直线MN的斜率为定值答案:(1) ,;(2)1(考查求直线与椭圆的位置关系,定值问题)13设椭圆1(a)的右焦点为F,右顶点为A,已知,其中O为原点, e为椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程;(2)设过点A

17、的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H,若BFHF,且MOAMAO,求直线l的斜率的取值范围.答案:(1)1 ; (2)(, ,) (考查)(考查椭圆的方程,直线与椭圆的位置关系,取值范围问题)14ABPOxy如图,在平面直角坐标系xOy中椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为,已知点(1,e)和(e,)都在椭圆上,其中e为椭圆的离心率。(1)求椭圆的方程;(2)设A、B是椭圆上位于x轴上方的两点,且直线AF1与直线BF2平行,AF2与BF1交于点P。 (i)若AF1BF2,求直线AF1的斜率;(ii)求证:PF1PF2是定值。答案:(1) y21;(2).(考查椭圆方程,椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系,焦半径,定值问题)

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