1、南京市20202021学年度第一学期期末学情调研试卷 高 一 数 学 2021.01注意事项：1本试卷包括单项选择题（第1题第8题）、多项选择题（第9题第12题）、填空题（第13题第16题）、解答题（第17题第22题）四部分。本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。2答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置。3作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。4非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来
2、的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上1若角的终边经过点P(3，a)(a0)，则Asin0 Bsin0 Ccos0 Dcos02记函数y的定义域为A，函数yln(x1)的定义域为B，则ABA(1，2) B(1，2 C(2，1) D2，1)3设实数x满足x0，函数y23x的最小值为A41 B42 C41 D64已知a，b，m都是负数，且ab，则A B Cambm D5有一组实验数据如下表所示：t1.93.04.05.16.1v1.54.07.512.018.
3、0现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是Av2t2 Bv Cvlog0.5t Dvlog3t6若函数f(x)sin2x与g(x)2cosx都在区间(a，b)上单调递减，则ba的最大值是A B C DB1yxOAx1yOD1OxyxC1yO7函数f(x) 在，上的图象大致为8若函数f(x)同时满足：定义域内存在实数x，使得f(x)f(x)0；对于定义域内任意x1，x2，当x1x2时，恒有(x1x2)f(x1)f(x2)0；则称函数f(x)为“DM函数”下列函数中是“DM函数”的为Af(x)x3 Bf(x)sinx Cf(x)ex1 Df(x)lnx二、多项选择题
4、：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有选错的得0分9关于函数f(x)tan2x，下列说法中正确的是A最小正周期是 B图象关于点(，0)对称C图象关于直线x对称 D在区间(，)上单调递增10已知曲线C1：ysinx，C2：ysin(2x)，下列说法中正确的是A把C1向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的2倍，得到C2B把C1向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的倍，得到C2C把C1上所有点的横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度，得到C2D把C1上所有点的横坐
5、标变为原来的倍，再向左平移个单位长度，得到C211我们知道，如果集合AS，那么S的子集A的补集为 sAx|xS，且xA类似地，对于集合A，B，我们把集合x|xA，且xB叫作集合A与B的差集，记作AB据此，下列说法中正确的是A若AB，则AB B若BA，则ABAC若AB，则ABA D若ABC，则ABAC12高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号设xR，用x表示不超过x的最大整数，yx也被称为“高斯函数”，例如：3.54，2.12已知函数f(x)x1x，下列说法中正确的是Af(x)是周期函数 Bf(x)的值域是(0，1Cf(x)在(0，1)上是增函数 D xR，f(x)0
6、三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分请把答案填写在答题卡相应位置上13已知幂函数yx的图象过点(2，)，则的值为 14已知函数f(x)若f(f(0)3a，则a的值为 15已知sin()，则sin()sin2()的值为 16地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准震级(M)是用据震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示的里氏震级的计算公式为MlgAlgA0，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差)根据该公式可知，7.5级地震的最大振幅是6级地震的最大振幅的 倍(
7、精确到1)四、解答题：本大题共6小题，共70分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分10分）已知集合Ax|1，Bx|2x2(m2)xm0（1）当m1时，求AB；（2）已知“xA”是“xB”的必要条件，求实数m的取值范围18（本小题满分12分）已知sin()cos()，且0（1）求coscos()的值；（2）求tan的值19（本小题满分12分）（1）计算：2(0.125)log9；（2）已知alog0.43，blog43，求证：abab020(本小题满分12分)已知函数f(x)x|xa|为R上的奇函数（1）求实数a的值；（2）若不等式f(sin2
8、x)f(t2cosx)0对任意x，恒成立，求实数t的最小值21（本小题满分12分）如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在t(单位：s)时相对于平衡位置(静止时的位置)的高度h(单位：cm)由关系式hAsin(t)确定，其中A0，0，t0，)在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为1 s且最高点与最低点间的距离为10 cm（1）求小球相对平衡位置的高度h(单位：cm)和时间t(单位：s)之间的函数关系；（2）小球在t0 s内经过最高点的次数恰为50次，求t0的取值范围（第21题图）22（本小题满分12分）对于定义在D上的函数f(x)，如果存在实数x0，使得f(x0)x0，那么称x0是函数f
9、(x)的一个不动点已知f(x)ax21（1）当a2时，求f(x)的不动点；（2）若函数f(x)有两个不动点x1，x2，且x12x2求实数a的取值范围；设g(x)logaf(x)x，求证：g(x)在(a，)上至少有两个不动点南京市20202021学年度第一学期期末学情调研试卷 高 一 数 学 2021.01注意事项：1本试卷包括单项选择题（第1题第8题）、多项选择题（第9题第12题）、填空题（第13题第16题）、解答题（第17题第22题）四部分。本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。2答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置。3作答选择题时，选出每小题的答案后，用
10、2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。4非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上1若角的终边经过点P(3，a)(a0)，则Asin0 Bsin0 Ccos0 Dcos0【答案】C【考点】三角函数的定义、在各象限的符号【解析】由三角函数的定义可知，sin符号不确定，cos，故答案选
11、C.2记函数y的定义域为A，函数yln(x1)的定义域为B，则ABA(1，2) B(1，2 C(2，1) D2，1)【答案】B【考点】定义域的求解、集合的交集【解析】由题意，所以AB(1，2，故答案选B.3设实数x满足x0，函数y23x的最小值为A41 B42 C41 D6【答案】A【考点】利用基本不等式求最值【解析】由题意x0，所以x+10，所以y23x，当且仅当，即时等号成立，所以函数y23x的最小值为41，故答案选A.4已知a，b，m都是负数，且ab，则A B Cambm D【答案】D【考点】不等式的基本性质【解析】法一：可取特殊值a2，b1验证可得D选项正确；法二：由题意ab0，则，选
12、项A错误；由ab，不等式两边同除ab，可得，即，选项B错误；由不等式的可加性可知，由ab，可得ambm，选项C错误；由，所以，选项D正确；故答案选D.5有一组实验数据如下表所示：t1.93.04.05.16.1v1.54.07.512.018.0现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是Av2t2 Bv Cvlog0.5t Dvlog3t【答案】B【考点】函数的基本性质与解析式【解析】法一：从图表数据可知，随着t的变大，v变大，则函数为单调递增，且增加速度越来越快，故排除选项A、C、D（A选项为线性增加的函数，C选项为递减函数，D选项为比线性增加较为缓慢的函数），
13、故答案选B.法二：取t4，可得：对于A选项，v242=6，故选项A错误；对于B选项，v7.5，故选项B可能正确；对于C选项，vlog0.5t2，故选项C错误；对于D选项，vlog3tlog34，故选项D错误；以上只有B选项最接近，故答案选B.6若函数f(x)sin2x与g(x)2cosx都在区间(a，b)上单调递减，则ba的最大值是A B C D【答案】C【考点】三角函数的图象与性质：单调性【解析】由题意函数f(x)sin2x在(，)上单调递减，函数g(x)2cosx在(0，)上单调递减，则，所以ba的最大值为，故答案选C.B1yxOAx1yOD1OxyxC1yO7函数f(x) 在，上的图象大
14、致为【答案】D【考点】利用函数的基本性质对函数图象的识别与判断【解析】由题意该函数f(x)在，上为奇函数，且f()，故答案排除A、B、C，故答案选D.8若函数f(x)同时满足：定义域内存在实数x，使得f(x)f(x)0；对于定义域内任意x1，x2，当x1x2时，恒有(x1x2)f(x1)f(x2)0；则称函数f(x)为“DM函数”下列函数中是“DM函数”的为Af(x)x3 Bf(x)sinx Cf(x)ex1 Df(x)lnx【答案】A【考点】新定义函数的性质【解析】由题意“DM函数”为单调递增的奇函数，故只有A选项满足，所以答案选A.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小
15、题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有选错的得0分9关于函数f(x)tan2x，下列说法中正确的是A最小正周期是 B图象关于点(，0)对称C图象关于直线x对称 D在区间(，)上单调递增【答案】AB【考点】正切函数的图象与性质【解析】由题意函数f(x)tan2x的最小正周期为，故选项A正确；由f()0，故选项B正确；因为函数f(x)tan2x不存在对称轴，故选项C错误；因为x(，)，所以2x，此区间不是函数ytanx的单调递增区间，故选项D错误；故答案选AB.10已知曲线C1：ysinx，C2：ysin(2x)，下列说法中正
16、确的是A把C1向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的2倍，得到C2B把C1向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的倍，得到C2C把C1上所有点的横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度，得到C2D把C1上所有点的横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度，得到C2【答案】BD【考点】函数的图象变换【解析】变换方式一：由函数ysinx的图象可向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的倍，得到ysin(2x)；变换方式二：因为，所以由函数ysinx的图象可讲其图象上所有点的横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度，得到ysin(2x)；故答案选BD.11我们知道，如果集合AS
17、，那么S的子集A的补集为 sAx|xS，且xA类似地，对于集合A，B，我们把集合x|xA，且xB叫作集合A与B的差集，记作AB据此，下列说法中正确的是A若AB，则AB B若BA，则ABAC若AB，则ABA D若ABC，则ABAC【答案】ACD【考点】新定义集合的应用【解析】由差集的定义可知，对于选项A，若AB，则A中的元素均在B中，则AB ，故选项A正确；对于选项B，若BA，则B中的元素均在A中，则ABABA，故选项B错误；对于选项C，若AB，则A、B无公共元素，则ABA，故选项C正确；对于选项D，若ABC，则ABACAC，故选项D正确；故答案选ACD.12高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基
18、者之一，享有“数学王子”的称号设xR，用x表示不超过x的最大整数，yx也被称为“高斯函数”，例如：3.54，2.12已知函数f(x)x1x，下列说法中正确的是Af(x)是周期函数 Bf(x)的值域是(0，1Cf(x)在(0，1)上是增函数 D xR，f(x)0【答案】AB【考点】新定义函数的基本性质及应用【解析】由题意x1，所以f(x)x1x，可画出图象（图略），可得到函数f(x)是周期为1的函数，且值域为(0，1，在(0，1)上单调递减，故选项A、B正确，C错误；对于选项D，f(x)1，所以选项D错误，故答案选AB.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分请把答案填写在答题卡相应位置
19、上13已知幂函数yx的图象过点(2，)，则的值为 【答案】【考点】幂函数的概念【解析】由题意可知，即，解得，故答案为.14已知函数f(x)若f(f(0)3a，则a的值为 【答案】4【考点】分段函数求参数【解析】由题意可知，解得a4，故答案为4.15已知sin()，则sin()sin2()的值为 【答案】【考点】三角函数中同角的三角函数关系式与诱导公式综合应用（给值求值）【解析】因为，所以sin()，所以sin()sin2().故答案为.16地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准震级(M)是用据震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示的里氏震级
20、的计算公式为MlgAlgA0，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差)根据该公式可知，7.5级地震的最大振幅是6级地震的最大振幅的 倍(精确到1)【答案】32【考点】文化题：指对数的运算【解析】由题意MlgAlgA0，即，则，当M=7.5时，地震的最大振幅为；当M=6时，地震的最大振幅为，所以，故答案为32.四、解答题：本大题共6小题，共70分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分10分）已知集合Ax|1，Bx|2x2(m2)xm0（1）当m1时，求AB；（2）已知“xA
21、”是“xB”的必要条件，求实数m的取值范围【考点】集合与逻辑用语（含分式不等式、一元二次不等式的解法）【解析】解：（1）由 1，得 0，所以Ax|2x1Bx|2x2(m2)xm0x|(x1)(2xm)0当m1时，Bx|x13分所以ABx|2x14分（2）因为“xA”是“xB”的必要条件，所以BA6分若1，不符合题意；7分若1即m2时，B，符合题意；8分若1，则Bx|x1，所以21，解得2m49分综上，m2，410分18（本小题满分12分）已知sin()cos()，且0（1）求coscos()的值；（2）求tan的值【考点】同角的三角函数公式、诱导公式【解析】解：（1）因为sin()cos()s
22、incos，且sin()cos()，所以sincos2分故 (cossin)2cos22sincossin212sincos124分又因为0，所以cossin，即cossin0，所以cossin所以coscos()cossin6分（2）法一：由（1）知sincos，又因为sin2cos21，所以 因为0，cos0，所以，即tan28tan10，9分解得tan4或tan410分因为0，所以0tan1，所以tan412分法二： 由（1）知 因为0，所以cossin0，故10分所以tan412分19（本小题满分12分）（1）计算：2(0.125)log9；（2）已知alog0.43，blog43，求
23、证：abab0【考点】指对数的运算、指对数的应用：比较大小【解析】解：（1）原式5(2)3log()4544 134分（2）法一：因为ylog0.4x在(0，)上递减，ylog4x在(0，)上递增，所以alog0.43log0.410，blog43log410，故ab06分因为log30.4log34log3(0.44)log31.6，且ylog3x在(0，)递增，所以0log31log31.6log331，即0110分所以0ab()ab，即abab012分法二：因为alog0.43，blog43，所以ablog0.43log43lg3lg3，因为lg30，lg40，lg1.60，lg0.40
24、，所以ab06分(ab)ablg3lg3lg3lg310分因为lg30，lg40，lg0，lg0.40，所以(ab)ab0，即abab，综上，abab012分20(本小题满分12分)已知函数f(x)x|xa|为R上的奇函数（1）求实数a的值；（2）若不等式f(sin2x)f(t2cosx)0对任意x，恒成立，求实数t的最小值【考点】函数的基本性质：奇偶性、单调性，及其应用：恒成立问题【解析】解：（1）因为函数f(x)x|xa|为R上的奇函数，所以f(x)f(x) 对任意xR成立，即(x)|xa|x|xa|对任意xR成立，2分所以|xa|xa|，所以a04分（2）由f(sin2x)f(t2cos
25、x)0得f(sin2x)f(t2cosx)，因为函数f(x)为R上的奇函数， 所以f(sin2x)f(2cosxt)6分由（1）得，f(x)x|x|是R上的单调增函数，故sin2x2cosxt对任意x，恒成立8分所以t2cosxsin2x对任意x，恒成立因为2cosxsin2xcos2x2cosx1(cosx1)22，令mcosx，由x，得cosx1，即m1，10分所以y(m1)22的最大值为，故t，即t的最小值为12分21（本小题满分12分）如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在t(单位：s)时相对于平衡位置(静止时的位置)的高度h(单位：cm)由关系式hAsin(t)确定，其中A0，0，t0
26、，)在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为1 s且最高点与最低点间的距离为10 cm（1）求小球相对平衡位置的高度h(单位：cm)和时间t(单位：s)之间的函数关系；（2）小球在t0 s内经过最高点的次数恰为50次，求t0的取值范围（第21题图）【考点】三角函数在物理中的应用【解析】解：（1）因为小球振动过程中最高点与最低点的距离为10 cm，所以A52分因为在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为1 s，所以周期为2，即T2，所以4分所以h5sin(t)，t05分（2）由题意，当t时，小球第一次到达最高点，以后每隔一个周期都出现一次最高点，7分因为小球在t0 s内经过最高点
27、的次数恰为50次，所以49Tt050T9分因为T2，所以98t100，所以t0的取值范围为98，100)12分（注：t0的取值范围不考虑开闭）22（本小题满分12分）对于定义在D上的函数f(x)，如果存在实数x0，使得f(x0)x0，那么称x0是函数f(x)的一个不动点已知f(x)ax21（1）当a2时，求f(x)的不动点；（2）若函数f(x)有两个不动点x1，x2，且x12x2求实数a的取值范围；设g(x)logaf(x)x，求证：g(x)在(a，)上至少有两个不动点【考点】新定义函数的零点、三个“二次”的转化、利用构造新函数解决零点问题【解析】解：（1）当a2时，f(x)2x21方程f(x
28、)x可化为2x2x10，解得x1或x， 所以f(x)的不动点为1和 2分（2）因为函数f(x)有两个不动点x1，x2，所以方程f(x)x，即ax2x10的两个实数根为x1，x2，记p(x)ax2x1，则p(x)的零点为x1和x2，因为x12x2，所以ap(2)0，即a(4a1)0，解得0a 所以实数a的取值范围为(0，)6分因为g(x)logaf(x)xloga(ax2x1)方程g(x)x可化为loga(ax2x1)x，即因为0a，14a0，所以p(x)0有两个不相等的实数根设p(x)ax2x10的两个实数根为m，n，不妨设mn因为函数p(x)ax2x1图象的对称轴为直线x，p(1)a0，1，p()10，所以1mn记h(x)ax(ax2x1)， 因为h(1)0，且p(1)a0，所以x1是方程g(x)x的实数根，所以1是g(x)的一个不动点8分 h(n)an(an2n1)an0，因为0a，所以4，h()a1a410，且h(x)的图象在n，上的图象是不间断曲线，所以$x0(n，)，使得h(x0)0，10分又因为p(x)在(n，)上单调递增，所以p(x0)p(n)0，所以x0是g(x)的一个不动点，综上，g(x)在(a，)上至少有两个不动点12分
