1、3.三个正数的算术-几何平均不等式基础巩固1 已知 a,b,c 均为正数,且 abc=27,则 a+b+c 的最小值为()A.3B.6C.9D.27解析：a,b,c 均为正数,a+b+c 当且仅当a=b=c=3 时,等号成立).a+b+c 的最小值为 9.故选 C.答案：C2 函数 f(x)的最小值为 A.3B.4C.5D.6解析：x0,f(x)当且仅当 即x=1 时,等号成立.故选 A.答案：A3 设 x,y,z0 且 x+y+z=6,则 lg x+lg y+lg z 的取值范围是()A.(-,lg 6B.(-,3lg 2C.lg 6,+)D.3lg 2,+)解析：lg x+lg y+lg
2、z=lg(xyz),而 xyz()x+lg y+lg zlg 23=3lg 2,当且仅当 x=y=z=2 时,等号成立.答案：B4 函数 y=x2(1-5x()的最大值为 A 答案：A5 若 ab0,则 a -的最小值为 A.0B.1C.2D.3解析：a -当且仅当a=2,b=1时,等号成立,a -的最小值为3.答案：D6 若正数 x,y 满足 xy2=4,则 x+2y 的最小值为 .解析：xy2=4,x0,y0,x x+2y 当且仅当 即x=y 时,等号成立,此时 x+2y 的最小值为 答案：7 函数 y=4sin2xcos x 的最大值为 ,最小值为 .解析：y2=16sin2xsin2x
3、cos2x=8(sin2xsin2x2cos2x)()y2 当且仅当sin2x=2cos2x,即 tan x=时,等号成立.ymax 答案：8 设底面为等边三角形的直棱柱的体积为 V,当其表面积最小时,底面边长为多少?解:设底面边长为 x,高为 h,则 h=V,所以 h 又 S 表=2 ()()当且仅当 x2 即x 时,等号成立.故所求底面边长为 9 设 a,b,c0,求证 证明：因为 a,b,c0,由算术-几何平均不等式可得 即 当且仅当a=b=c 时,等号成立).所以 又因为 当且仅当a2b2c2=3 时,等号成立),所以 当且仅当a=b=c 时,等号成立).能力提升1 已知圆柱的轴截面周
4、长为 6,体积为 V,则下列不等式正确的是()A.VB.VC.V 解析：如图,设圆柱半径为 R,高为 h,则 4R+2h=6,即 2R+h=3.V=Sh=R2h=RRh()当且仅当 R=h=1 时,等号成立.答案：B2 若实数 x,y 满足 xy0,且 x2y=2,则 xy+x2 的最小值是()A.1B.2C.3D.4解析：xy+x2 当且仅当 即x=1,y=2 时,等号成立.答案：C3 已知 x+2y+3z=6,则 2x+4y+8z 的最小值为()A.解析：2x0,4y0,8z0,2x+4y+8z=2x+22y+23z 当且仅当2x=22y=23z,即 x=2,y=1,z 时,等号成立.答案
5、：C4 已知 a0,b0,c0,且 a+b+c=1,对于下列不等式:abc 27;a2+b2+c2 其中正确不等式的序号是 解析：a,b,c(0,+),1=a+b+c ()27.故正确,也正确.1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2caa2+b2+c2+(a2+b2)+(b2+c2)+(c2+a2)=3(a2+b2+c2),a2+b2+c2 故正确.2=2(a+b+c)2=(a2+b2)+(b2+c2)+(c2+a2)+4ab+4bc+4ca2ab+2bc+2ca+4ab+4bc+4ca=6(ab+bc+ca),00),高为 h,由右图可得 2h 则 h V=S 底h=6
6、h (1-x)=9 9(-)9(-)当且仅当 即x 时,等号成立.所以当底面边长为 时,正六棱柱容器的容积最大,为 6 已知 a,b,c 均为正数,证明：a2+b2+c2()并确定 为何值时 等号成立 证明：因为 a,b,c 均为正数,由算术-几何平均不等式,得 a2+b2+c23(ab 3(ab -所以()9(ab -故 a2+b2+c2()3(ab -又 3(ab -当且仅当 a=b=c 时,式和式等号成立.当且仅当 3(ab -时,式等号成立.即当且仅当 a=b=c 时,原式等号成立.所以原不等式成立.7 设 0,求函数 y=sin 的最大值 分析：求积的最大值,要通过恰当变形使各因式之和为定值,同时还要保证能够使等号成立,此题中含有三角函数,求解时切不可忽略其自身的范围限制.解:y=sin )=2sin y 取最大值当且仅当 y2 取最大值.y2=4sin cos cos cos =22sin cos cos 2()=2()当且仅当 2sin 时,等号成立,此时 tan 则 故ymax
