1、吉林省松原市实验中学2020届高三数学八模考试试题 文（含解析）注意事项：1. 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3. 回答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【
2、解析】【分析】先由题意求出，再与集合求交集，即可得出结果.【详解】因为，所以，又，所以.故选：D【点睛】本题主要考查集合的交集与补集的混合运算，熟记交集与补集的定义即可，属于基础题型.2.已知复数（其中i为虚数单位），则z的共轭复数（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案【详解】解：，故选：【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题3.设等比数列的前项和是，则（ ）A. B. 63C. D. 31【答案】A【解析】【分析】设的公比为，根据，求得，再代入等比数列求和公式求解.【详解】设的公比为，则
3、，解得，所以.故选：A【点睛】本题主要考查等比数列的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4.在平面直角坐标系中，已知角的终边在直线上，则的值为（ ）A B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由任意角的三角函数的定义求出,再利用二倍角公式和齐次式化简,代入的值化简即可.【详解】在角的终边直线上任取一点,则,故选: B.【点睛】本题考查任意角三角函数的定义,二倍角公式以及同角三角函数的基本关系,属于基础题.5.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用对数函数和指数函数单调性与特殊值比较大小，再比较的大小.【详解】，.故选：B.【点睛】本题考查利用利用对数
4、函数和指数函数单调性比较大小，先判断正负，再看具体情况与特殊值比较，考查运算求解能力，是基础题.6.某单位对某村的贫困户进行“精准扶贫”，若甲、乙贫困户获得扶持资金的概率分别为和，两户是否获得扶持资金相互独立，则这两户中至少有一户获得扶持资金的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】考虑都没有获得扶持资金的情况，再计算对立事件概率得到答案.【详解】根据题意：.故选：.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.7.若实数x，y满足约束条件，则的最大值是（ ）A. 15B. 1C. -1D. 16【答案】A【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用
5、的几何意义，利用数形结合即可得到结论【详解】解：解：作出约束条件，对应的平面区域如图：由得，平移直线，由图象可知当直线，经过点时，直线，的截距最大，此时最大，由，解得即，此时，故选：A【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键，属于中档题8.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )A. 31B. 39C. 47D. 60【答案】D【解析】【分析】根据循环程序框图，循环计算到时，输出，即可得出答案.【详解】解：根据题意，；，；，；，；，；，；，；，；，；，；，故输出的结果为.故选：D.【点睛】本题考查程序框图的循环计算，考查计算能力.9.将函数的图象向右
6、平移个单位得到的图象，给出下列四个结论：为偶函数；在上有4个零点；在上单调递减；.则正确结论的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将函数的图象向右平移个单位得到的图象，根据三角函数的性质逐项验证即可.【详解】依题意，显然错.由f（x）0得，所以，所以或又令k0，1，1，可得或或或，故对；因为，所以，显然错.对于，因为，所以关于对称，所以，正确.故选：A.【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换以及三角函数的图象和性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10.已知椭圆左右焦点分别为，若椭圆上一点满足轴，且与圆相切，则该椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】
7、A【解析】【分析】由题意作出椭圆图象，结合图象可知，根据相似三角形的对应边成比例，即可求出椭圆的离心率.【详解】如图，设直线与圆相切于点，连接，则，椭圆的左右焦点分别为，轴，轴，即，解得，故选：A.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，椭圆的定义、椭圆的简单几何性质以及椭圆离心率的求解，考查运算求解能力，属于基础题.11.在直四棱柱中，四边形的外接圆的圆心在线段上若四棱柱的体积为36，则该四棱柱的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意先求出底面四边形的面积，结合柱体的体积，可求出，从而可求出四棱柱外接球的半径，即可求球的表面积.【详解】解：由题意可得和都
8、是以为斜边的直角三角形，因为，所以；因为，所以，所以四边形的面积因为四棱柱的体积为36，则，即所以，所以该四棱柱的外接球的半径，故该四棱柱的外接球的表面积为故选:D.【点睛】本题考查了柱体体积的计算，考查了外接球问题，考查了球表面积的求解.本题的关键是求出球的半径.12.定义在上函数满足，且当时，.则使得在上恒成立的的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】计算，画出图像，计算，解得，得到答案.【详解】根据题设可知，当时，故，同理可得：在区间上，所以当时，.作函数的图象，如图所示.在上，由，得.由图象可知当时，.故选：.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，画出图像是解题
9、的关键.第卷（共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第1321题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，向量，则_.【答案】【解析】【分析】根据模长的坐标运算求解即可.【详解】.故答案为：【点睛】本题主要考查了向量模长的坐标运算,属于基础题.14.已知是定义在上的偶函数，且当时，则当时，_【答案】【解析】【分析】根据题意，设，则，由函数的解析式可得，结合函数的奇偶性分析可得答案【详解】解：根据题意，设，则，有，又由为偶函数，则，即，故答案为：【点睛】本题主要考查函数奇偶性的性质以及应用，属于
10、基础题15.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，且，则_【答案】【解析】【分析】根据正弦定理进行化简求解即可【详解】解：，由正弦定理得，则三角形中，因为 ，故答案为：【点睛】本题主要考查三角形角的求解，根据条件利用正弦定理是解决本题的关键，属于基础题16.定义数列，先给出，接着复制该项，再添加1的后继数2，于是，接下来再复制前面所有项，之后再添加2的后继数3，如此继（1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1），设是的前项和，则_.【答案】3990【解析】【分析】设每操作一次形成的数列和为，的前项和为，计算得到，设每操作一次形成的数列的个数为，前项和为，计算得到，计算得到答案.【
11、详解】根据题意设每操作一次形成的数列和为，的前项和为，故，两式相减得到.即，故是首项为，公比为的等比数列，验证时成立，故，.设每操作一次形成的数列的个数为，其前项和为，故，故，相减得到：，故，验证时满足.，故.（括号内是开始的倒数个数）.故答案为：.【点睛】本题考查了数列的前项和，意在考查学生的计算能力和应用能力.三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图所示，四棱锥的底面是梯形，且，平面，是中点，（1）求证：；（2）若，求三棱锥的高【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取的中点，连结，可得为平行四边形，从而得到，根据平面，得到，从而得到.（2
12、）设点为的中点，连结，证明为正三角形，推出，求出，再证明，从而得到平面，然后得到三棱锥的高.【详解】（1）证明：取的中点，连结，如图所示因为点是中点，所以且 又因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以 所以 （2）解：设点为的中点，连结，如图所示，因为，由（1）知， 又因为，所以，所以， 所以为正三角形， 所以，且 因为平面，所以平面 因为平面，所以， 又因为，所以平面所以三棱锥的高为 【点睛】本题考查线面垂直的性质与判定，求三棱锥的高，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等，属于中档题.18.已知数列是公比为2的等比数列，且成等差数列
13、（1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和【答案】（1）；（2）【解析】【详解】（1）由题意可得，即，解得：，数列的通项公式为（2），=19.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：质量指标值分组75，85)85，95)95，105)105，115)115，125)频数62638228（I）在答题卡上作出这些数据频率分布直方图：（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的
14、规定？【答案】（1）见解析；（2）平均数100，方差为104；（3）不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.【解析】【详解】（1）直方图如图，（2）质量指标值的样本平均数为.质量指标值的样本方差为.（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为，由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.20.设O为坐标原点，动点M在椭圆C上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.（1）求点P的轨迹方程；（2）设点在直线上，且.证明：过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F.【答案】
15、（1）；（2）见解析.【解析】【详解】（1）设P（x，y），M（）,则N（），由得.因为M（）在C上，所以.因此点P的轨迹为.由题意知F（-10），设Q（-3，t），P（m，n），则，.由得-3m-+tn-=1，又由（1）知，故3+3m-tn=0.所以，即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.点睛:定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒成立的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统
16、消，定点、定值显现.21.已知函数.（1）若不等式在上有解，求的取值范围；（2）若，且，证明：.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）求导得到，得到函数单调区间，讨论和，计算函数最值，解不等式得到答案（2）设，求导得到，证明在上是单调递减函数，得到答案.【详解】（1），函数的单调递增区间为，单调递减区间为.当，解得，故；当，因为，故无解.综上，.（2），设，则，令，则，因为，所以，故为减函数，所以，所以，故在上是单调递减函数.所以对于任意，且，必有，即.【点睛】本题考查了利用导数求表达式能成立问题，证明不等式，构造函数是解题的关键.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按
17、所做的第一题记分选修4-4：坐标系与参数方程22.已知曲线，是曲线上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将点绕点逆时针旋转得到点，设点的轨迹方程为曲线.（）求曲线，的极坐标方程；（）射线与曲线，分别交于，两点，定点，求的面积.【答案】（1）：，：（2）【解析】【分析】（1）利用，即可得出答案（2）分别计算出点M到射线的距离和点P,Q的极坐标，结合三角形面积计算公式，即可得出答案【详解】（1）曲线，把公式代入可得：曲线的极坐标方程为.设，则，则有.所以，曲线的极坐标方程为.（2）到射线的距离为，射线与曲线交点，射线与曲线交点 故【点睛】本道题目考查了普通方程和极
18、坐标方程的转化，以及在极坐标方程下面积的计算方法，方程转化记住，极坐标长度用纵坐标相减选修4-5：不等式选讲23.已知函数（1）若，求不等式的解集.（2）对任意的，有，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）当时，然后分段解不等式即可.（2）由绝对值的三角不等式可得，对任意的，有，即，令，利用，在同一坐标系中的图象求解即可.【详解】（1）当时，因，所以或所以，所以不等式的解集为：；（2）因为所以，因为任意的，有，所以，即，设，在同一坐标系中的图象如下：所以，所以实数m的取值范围为：【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法和利用绝对值的三角不等式求最值、考查了数形结合思想和分类讨论思想，属于中档题.
