1、课时作业(四十八)第48讲抛物线时间 / 45分钟分值 / 100分基础热身1.2017渭南二检 抛物线y=18x2的焦点到准线的距离为()A. 2B. 12C. 14D. 42.2017西安一模 若抛物线y2=2px的焦点与双曲线x22-y22=1的右焦点重合,则p的值为()A. 4B. 2C. -2D. -43.2017东北三省四市二模 若点P为抛物线y=2x2上的动点,F为抛物线的焦点,则|PF|的最小值为()A. 2B. 12C. 14D. 184.2017成都二诊 设抛物线C:y2=2x的焦点为F,若抛物线C上一点P的横坐标为2,则|PF|=.5.若抛物线y=ax2(a0)上任意一点
2、到x轴的距离比到焦点的距离小1,则实数a的值为.能力提升6.设抛物线x2=4y的焦点为F,过点F作斜率为k的直线l与抛物线相交于A,B两点,且点P为AB的中点,过点P作x轴的垂线与抛物线交于点M,若|MF|=4,则直线l的方程为()A. y=22x+1B. y=3x+1C. y=2x+1D. y=23x+27.2017河南天一大联考 已知倾斜角为6的直线l过抛物线C:y2=2px(p0)的焦点F,抛物线C上存在点P与x轴上一点Q(5,0)关于直线l对称,则p=()A. 2B. 1C. 12D. 48.2017包头一模 设抛物线C:y2=4x的焦点为F,倾斜角为钝角的直线l过F且与C交于A,B两
3、点,若|AB|=163,则l的斜率为()A. -1B. -33C. -22D. -39.2017咸阳三模 抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,连接PF并延长交抛物线C于点Q,若|PF|=45|PQ|,则|QF|=()A. 3B. 4C. 5D. 610.2017太原一模 已知抛物线y2=4x的焦点为F,过焦点F的直线交抛物线于A,B两点,O为坐标原点,若|AB|=6,则AOB的面积为()A. 6B. 22C. 23D. 411.2017唐山一模 已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,A(0,3),抛物线C上的点B满足ABAF,且|BF|=4,则p=.12.2017榆
4、林二模 已知点A(1,y1),B(9,y2)是抛物线y2=2px(p0)上的两点,y2y10,点F是它的焦点,若|BF|=5|AF|,则y12+y2的值是.13.(15分)2017新余二模 已知抛物线E:y2=2px(p0),直线x=my+3与E交于A,B两点,且OAOB=6,其中O为坐标原点.(1)求抛物线E的方程;(2)已知点C的坐标为(-3,0),记直线CA,CB的斜率分别为k1,k2,证明:1k12+1k22-2m2为定值.14.(15分)2017遂宁三诊 已知点F是拋物线C:y2=2px(p0)的焦点,若点M(x0,1)在C上,且|MF|=5x04.(1)求拋物线C的方程;(2)若直
5、线l经过点Q(3,-1)且与C交于A,B(异于M)两点,证明:直线AM与直线BM的斜率之积为常数.难点突破15.(5分)抛物线x2=my(m0)上的点P到抛物线焦点F的距离和到点M(0,7)的距离都等于5,则抛物线的方程为.16.(5分)2018云南玉溪一中月考 已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是.课时作业(四十八)1. D解析 抛物线的标准方程为x2=8y,则焦点坐标为(0,2),准线方程为y=-2,焦点到准线的距离d=2-(-2)=4,故选D.2. A解析 双曲线x22-y22=1的右焦点为(2,0),即
6、抛物线y2=2px的焦点为(2,0),p2=2,p=4.3. D解析 设P到准线的距离为d,则有|PF|=d,抛物线的方程为y=2x2,即x2=12y,其准线方程为y=-18,分析可得当P在抛物线的顶点时,d有最小值18,即|PF|的最小值为18.4. 52解析 抛物线C:y2=2x的准线方程为x=-12,设点P到准线的距离为d,则由|PF|=d可得|PF|=2-12=52.5. 14解析 抛物线y=ax2(a0)的焦点坐标为0,14a,由抛物线上任意一点到x轴的距离比到焦点的距离小1,可得14a=1,解得a=14.6. B解析 由题意得F(0,1),抛物线的准线方程为y=-1,则|MF|=y
7、M+1=4,得yM=3,可令M(23,3),P的横坐标为23,设直线l的方程为y=kx+1,与抛物线方程x2=4y联立,可得x2-4kx-4=0,43=4k,k=3,直线l的方程为y=3x+1.7. A解析 由题意知,焦点Fp2,0,设P(x0,y0),根据题意,可知直线PQ的方程为y=-3(x-5),y02=2px0,y0=-3(x0-5),3(x0-5)2=2px0,由抛物线的定义和题意知,x0+p2=5-p2,代入上式可求得x0=3,p=2.8. D解析 由y2=4x得F(1,0),设直线l的方程为y=k(x-1),与y2=4x联立,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.设A(x1,y
8、1),B(x2,y2),则x1+x2=2+4k2,|AB|=163,2+4k2+2=163,即k2=3,又倾斜角为钝角,k=-3. 9. C解析 如图,设Q到l的距离为d,则由抛物线的定义可得,|QF|=d,|PF|=45|PQ|,|PQ|=5|QF|, 直线PF的斜率k=-25d2-d2d=-26.F(2,0),直线PF的方程为y=-26(x-2),与y2=8x联立可得3x2-13x+12=0,解得x=3(Q的横坐标大于2),|QF|=d=3+2=5.10. A解析 根据题意,抛物线y2=4x的焦点为F(1,0).由题易知直线AB的斜率存在.设直线AB的斜率为k,可得直线AB的方程为y=k(
9、x-1),由y2=4x,y=k(x-1),消去x,得y2-4ky-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4k,y1y2=-4,则x1+x2=y1+y2k+2=4k2+2,|AB|=x1+x2+p=4k2+2+2=6,则k=2,|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=26,SAOB=SAOF+SBOF=12|OF|y1-y2|=12126=6,AOB的面积为6,故选A.11. 2或6解析 由题意,kAF=-23p,直线AB的方程为y=p23x+3,代入y2=2px,可得p2x2-12px+36=0,x=6p.|BF|=4, 6p+p2=4,p=2或p=6,故答案为2或
10、6. 12. 10解析 抛物线y2=2px(p0)的焦点在x轴上,焦点为p2,0,由抛物线的定义可知|BF|=9+p2,|AF|=1+p2,由|BF|=5|AF|,即9+p2=51+p2,解得p=2,抛物线的方程为y2=4x,将A,B的坐标代入,解得y1=2,y2=6,y12+y2=10.13. 解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),由方程组y2=2px,x=my+3,消去x,得y2-2pmy-6p=0,所以y1+y2=2pm,y1y2=-6p.又OAOB=x1x2+y1y2=(y1y2)24p2+y1y2=9-6p=6,所以p=12,从而抛物线E的方程为y2=x.(2)证明:因为k
11、1=y1x1+3=y1my1+6,k2=y2x2+3=y2my2+6,所以1k1=m+6y1,1k2=m+6y2,因此1k12+1k22-2m2=m+6y12+m+6y22-2m2=2m2+12m1y1+1y2+361y12+1y22-2m2=12my1+y2y1y2+36(y1+y2)2-2y1y2y12y22,又y1+y2=2pm=m,y1y2=-6p=-3,所以1k12+1k22-2m2=12m-m3+36m2+69=24,即1k12+1k22-2m2为定值.14. 解:(1)由抛物线定义知|MF|=x0+p2,则x0+p2=54x0,解得x0=2p,又点M(x0,1)在C上,代入C:y
12、2=2px,得2px0=1,解得x0=1,p=12,所以C:y2=x.(2)证明:由(1)得M(1,1),当直线l经过点Q(3,-1)且垂直于x轴时,可令A(3,3),B(3,-3),则直线AM的斜率kAM=3-12,直线BM的斜率kBM=-3-12,所以kAMkBM=-3-123+12=-12.当直线l不垂直于x轴时,设直线l的斜率为k(k0),直线l经过Q(3,-1),则直线l的方程为y+1=k(x-3),代入y2=x,得ky2-y-3k-1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=1k,y1y2=-3-1k, 则直线AM的斜率kAM=y1-1x1-1=y1-1y12-1=
13、1y1+1,同理直线BM的斜率kBM=1y2+1,kAMkBM=1y1+11y2+1=1y1y2+y1+y2+1=11k-3-1k+1=-12.综上,直线AM与直线BM的斜率之积为常数-12.15. x2=4y解析 抛物线的焦点为F0,m4,则点P到x轴的距离为5-m4.线段MF的中点坐标为0,7+m42,由|PF|=|PM|可知7+m42=5-m4,解得m=4,所以抛物线方程为x2=4y.16. 2解析 抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),作PAl1于点A,作PBl2于点B,因为直线l2为抛物线的准线,所以|PB|=|PF|,则|PA|+|PB|=|PA|+|PF|,当F,P,A三点共线时,|PA|+|PB|最小,最小值即为点F到直线l1的距离d=|41+6|42+32=2.
