1、江苏省淮安市淮阴中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、单项选择题（本大题共12小题，每题5分共60分）1.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则角（ ）A. 或B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由正弦定理即可求，结合角的范围及大边对大角即可求解.【详解】由正弦定理，得.又因为，所以，即，所以故选：B.【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.2.等比数列的前项和为，若，则公比（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将转化为关于的方程，解方程可得的值【详解】，又，故选A【点睛】本题考查等比数列的基本运算，等比数列中共
2、有五个量，其中是基本量，这五个量可“知三求二”，求解的实质是解方程或解方程组3.已知，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将函数解析式变形为，利用基本不等式可求出的最小值.【详解】，则，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值是.故选：C.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，同时要注意“一正、二定、三相等”条件的成立，考查计算能力，属于基础题.4.已知等差数列中，则（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】B【解析】【分析】法一：设公差为d，则，解得，可得选项；法二：将，与，两式相加得，可得选项.【详解】法一：由题意知，数列是等差数列，设公差为
3、d，则，解得，所以，故选：B.法二：由题意知，数列是等差数列，将，与，两式相加得，所以，故选：B.【点睛】本题考查等差数列的通项的基本量的求解和等差数列的性质的运用，属于基础题.5.如图，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的中点，则直线EG和FH的位置关系是（ ）A. 平行B. 相交C. 异面D. 以上都可能【答案】A【解析】【分析】根据中位线的性质证明四边形即可.【详解】连接，易得分别为的中位线，故，故.故选：A【点睛】本题主要考查了线线平行的证明，属于基础题.6.在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且，则的形状一定是（ ）A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 等腰三角
4、形或直角三角形D. 直角三角形【答案】B【解析】试题分析：由得，整理得，为等腰三角形考点：利用余弦定理判断三角形的形状，此题也可利用正弦定理把条件转化为角去判断7.等差数列的前n项和为，公差不为0，且成等比数列，则的最小值为（ ）A. 8B. 3C. 10D. 【答案】A【解析】【分析】设等差数列的公差为d，由成等比数列，得 ，可得，解得或 (舍去)，求得，则，运用基本不等式可得选项.【详解】设等差数列的公差为d，由于成等比数列，所以，又，所以，解得或 (舍去)，所以，则，当且仅当时取等号，此时，且取到最小值8，故选：A.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的综合运用，以及基本不等式的运用求最值
5、，注意在运用基本不等式求最值时需验证取等号的条件是否成立，属于中档题.8.如图，在A点和B点测得淮安电视塔塔顶的仰角分别为和（点A、B与塔底O在同一直线上）又测得米，根据所测数据可求得淮安电视塔PO的高度为（ ）A. 米B. 米C. 米D. 320米【答案】B【解析】【分析】设电视塔PO的高度为，再根据直角三角形中的各边关系，结合求解即可.【详解】设电视塔PO的高度为，因为，故，又，故，即，即.故选：B【点睛】本题主要考查了解三角形在实际测量中的运用，属于基础题.9.如图，空间四边形ABCD中，则AB所在直线与平面BCD所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 1【答案】A【解析】【分析】
6、由已知可知四面体ABCD为正四成体，所以点A在平面BCD上的投影为正三角形BCD的中心，连接,则为AB所在直线与平面BCD所成角，然后在直角三角形中求解即可.【详解】解：因为空间四边形ABCD中，所以四面体ABCD为正四成体，所以点A在平面BCD上的投影为正三角形BCD的中心，连接,则为AB所在直线与平面BCD所成角，令，则，在中，故选：A 【点睛】此题考查正四面体的性质，直线与平面所成的角，属于基础题.10.已知l，m，n是三条不同的直线，表示平面，下列命题中的真命题的个数是（ ）若，则若，则若，则若，则A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据平行线的传递性即可知是否正
7、确；根据空间中的直线与直线的位置关系可知是否正确；根据直线与平面的垂直位置关系可知是否正确；根据直线与平面的平行位置关系可知是否正确；由此即可得到结果.【详解】由平行线的传递性可知，若，则；故正确；若，则，或为异面直线，或相交；故错误；若，则；故正确；若，则，或为异面直线，或相交；故错误；故选：B.【点睛】本题考查空间中线线、线面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，本题属于基础题11.数列中，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，可知当时，数列单调递增，不符合题意；当时，对任意，都有成立，得出，即可求出实数的取值范围，再通
8、过数列的单调性进行验证，符合题意，即可得出答案.【详解】解：由题可知，对任意，都有成立，当时，可知数列单调递增，不符合题意；当时，若对任意，都有成立，则，即，解得：，此时，数列在上递减，上递增，或在上递减，上递增，故符合题意，所以实数取值范围为.故选：A.【点睛】本题考查数列的恒成立问题，根据数列的单调性求参数范围，考查分析解题和运算能力.12.在中，角A，B，C对边分别是a，b，c，且，则下列结论中一定成立的命题的个数为（ ）；A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】由在三角形中大角对大边再结正弦定理可判断，由余弦函数的单调性可判断，利用基本不等式可判断【详解】解：因为在中
9、，所以，故成立；由正弦定理可知，当时，所以 ，故成立；因为在上为减函数，所以在中，当时，有，故不成立；由于时，角有可能是钝角，此时 ，故不成立；由可得，由基本不等式得，当且仅当，即时取等号，故成立故选：B【点睛】此题考查了三角形中的一些结论，考查了正弦定理，基本不等式等知识，属于基础题.二、填空题（本大题共4小题，每题5分共20分）13.在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线BD1与AC所成角的度数为 【答案】90【解析】【详解】解：如图连接BD交AC与点O，D1D面ABCD，AC面ABCDD1DAC，而ACBD，D1DBD=DAC面D1DB又D1B面D1DBACD1B，即异面直线BD1
10、与AC所成角为90故答案为：90【点评】本小题主要考查异面直线所成角，考查空间想象能力、推理论证能力，属于基础题14.已知正数满足,则的最小值是_.【答案】 【解析】【分析】由题意可得+=（+）（x+y）=1+4+，再利用基本不等式即可求出【详解】正数x，y满足x+y=1，则+=（+）（x+y）=1+4+5+2=9，当且仅当x=，y=时取等号，故则+的最小值是9，故答案为9【点睛】本题考查了基本不等式的应用，关键是掌握等号成立的条件，属于基础题15.等差数列的前n项和为，公差为，首项为，若也是等差数列，则_.【答案】【解析】【分析】求得的表达式，根据是等差数列列方程，化简后求得的值.【详解】依
11、题意，由于是等差数列，所以,即，两边平方并化简得，两边平方并化简得，即.故答案为：【点睛】本小题主要考查等差数列前项和公式，考查根据等差数列求值，属于中档题.16.已知a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，且满足，当角B最大时的面积为_.【答案】【解析】【分析】已知等式利用正弦定理化简，得到关系式，利用余弦定理表示出，把得出关系式整理后代入，利用基本不等式求出的最小值，即可求出边长，进而求得三角形的面积.【详解】已知等式利用正弦定理化简得：,由余弦定理，可知当角B最大时，则最小，由基本不等式可得:，当且仅当，即时，取等号.代入可得：，因为，所以，在等腰中，求得底边上的高为,.故答案为：【点睛
12、】本题主要考查正弦定理和余弦定理以及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于较难题.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.若实数，且满足.（1）求的最大值；（2）求的最小值【答案】（1）4；（2）4.【解析】【分析】（1）由于，根据基本不等式得出，再结合一元二次不等式的解法，即可求出的最大值；（2）根据题意，由，根据基本不等式得出，通过解一元二次不等式，即可求出的最小值.【详解】解：（1），即，即，解得：，（当且仅当时取等号），的最大值为4.（2），即，整理得：，（当且仅当时取等号），所以的最小值为4.【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查利用基本不等式求和的最小值和积的最大值，以
13、及一元二次不等式的解法，考查转化思想和运算能力.18.在中，a、b、c分别是角A.B.C的对边，且.（1）求角B的大小；（2）若，求面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据正弦定理，将边化角，利用三角恒等变换以及三角形内角关系，即可求出结果；（2）利用余弦定理以及已知条件，即可求出，再根据，即可求出结果.【详解】解：（1），又，（2），.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式在解三角形中的应用，属于基础题.19.如图，P为菱形ABCD所在平面外一点，且为正三角形，E为PC的中点.（1）求证：平面BDE；（2）求证：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
14、.【解析】【分析】（1）连结AC，交BD于点O，连接，再证明即可.（2）取AD中点F，连结PF、BF，证明面PBF即可.【详解】（1）连结AC，交BD于点O，连接 四边形ABCD为菱形，O为AC中点又E为PC中点，又面BDE，面BDE平面BDE（2）取AD中点F，连结PF、BF为正三角形，F为AD中点，.四边形ABCD为菱形，且为正三角形，又F为AD中点，又，面PBF，面PBF又面PBF，.【点睛】本题主要考查了线面平行、线线垂直的证明等，属于基础题.20.若为等差数列的项和且，；为等比数列，若，且与的等差中项为36.设.（1）求与通项公式：（2）求数列前n项和【答案】（1）；（2）.【解析】
15、【分析】（1）根据已知条件求得，由此求得，进而求得数列的通项公式.根据已知条件求得公比，再根据等比数列通项公式得结果；（2）利用错位相减法求得.【详解】（1），依题意，所以，所以.（2）由（1）得，-得：，.【点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列通项公式的基本量计算，考查错位相减求和法，考查等差中项的性质，属于中档题.21.下图所示的毕达格拉斯树画是由图（i）利用几何画板或者动态几何画板Geogebra做出来的图片，其中四边形ABCD.AEFG.PQBE都是正方形.如果改变图（i）中的大小会得到更多不同的“树形”.（1）在图（i）中，且，求AQ；（2）在图（ii）中，设，求AQ的最大值【答案
16、】（1）；（2）AQ的最大值为.【解析】【分析】（1）先在中利用勾股定理求出的长，由于，所以，然后在中，利用余弦定理可求出AQ的长；（2）在中，先利用余弦定理表示出，再利用正弦定理表示出，然后在中利用余弦定理得，从而可求出其最大值；或者如图，过A作BE垂线交BE于M，交PQ于N，则，再在 中利用勾股定理表示出，从而可求出其最大值.【详解】解：（1）当时，则在中，.（2）法（一）在中，在中，在中，时，.法（二）过A作BE垂线交BE于M，交PQ于N.同法（）下同法（一）答：（1）；（2）AQ的最大值为.【点睛】此题考查正弦定理、余弦定理，考查了三角函数恒等变换公式，考查了数列结合的思想，属于中档题
17、.22.设数列的各项为正数，且，数列满足：对任意恒成立，且常数.（1）若为等差数列，求证：也为等差数列；（2）若，为等比数列，求的值（用c表示）；（3）若且，令，求证.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）设，根据题意，求得即可得到数列为等差数列；（2）由，可得，利用叠加法，求得，再根据为等比数列，即可求得的值；（3）由，得到，得出递增数列，且，进而求得，结合裂项法，即可求解.【详解】（1）因为为等差数列，设所以，因为，所以（常数），所以为等差数列.（2）因为，且，可得，所以，所以所以，因为为等比数列，所以成等比数列，即，即，解得，经检验，可得为等比数列，所以.（3）由，因为，可得，且，所以递增数列，且，所以，.【点睛】本题主要考查了等差、等比数列的定义，以及等差数列的公式，以及“裂项法”求和的综合应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.
