1、第12课时 直线与双曲线的位置关系 新知识预习探究 知识点一直线与双曲线的位置关系及判定直线：AxByC0，双曲线：x2a2y2b21(a0，b0)，两方程联立消去 y，得 mx2nxq0.位置关系公共点个数判定方法相交2 个或 1 个m0 或m00相切1 个m0 且 0相离0 个m0 且 0【练习 1】直线 ymx1 与双曲线 x2y21 总有公共点，则m 的取值范围是()Am 2或 m 2B 2m 2且 m0CmRD 2m 2解析：由方程组ymx1x2y21，消去 y，整理得(1m2)x22mx20，若直线与双曲线总有公共点，则 m1 时有一个交点，m1 时须 84m20 恒成立，故 m
2、2，2答案：D知识点二弦长公式设斜率为 k 的直线 l 与双曲线相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则：|AB|1k2|x1x2|，或|AB|1 1k2|y1y2|(k0)【练习 2】过双曲线 x2y231 的左焦点 F1，作倾斜角为6的直线 AB，其中A、B 分别为直线与双曲线的交点，则|AB|的长为_解析：双曲线的左焦点为 F1(2,0)，将直线 AB 方程：y 33(x2)代入双曲线方程得 8x24x130.显然 0，设 A(x1，y1)、B(x2，y2)，x1x212，x1x2138，|AB|1k2 x1x224x1x2 1131224138 3.答案：3新视点名师博客正确
3、理解直线与双曲线位置关系及判定一般地，设直线 l：ykxm(m0)双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)把代入得(b2a2k2)x22a2mkxa2m2a2b20.(1)当 b2a2k20，即 kba时，直线 l 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线 C 相交于一点(2)当 b2a2k20，即 kba时，(2a2mk)24(b2a2k2)(a2m2a2b2)0直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交；0直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切；0直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离新课堂互动探究考点一直线与双曲线的位置关系例 1 直线 ykx1 与双曲线 3x2y
4、21 相交于 A，B 两点，当 k为何值时，A，B 在双曲线的同一支上？当 k 为何值时，A，B 分别在双曲线的两支上？分析：直线与双曲线有两交点的条件是联立的方程组有两组解，也就是消元后获得的一元二次方程有两解两交点在同一支上，则说明两个交点的横坐标同号，即一元二次方程有两个同号根，两交点分别在两支上，则说明两个交点的横坐标异号，即一元二次方程有两个异号根解析：把 ykx1 代入 3x2y21，整理，得(3k2)x22kx20.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，要使直线与双曲线有两个交点，则需满足：k 3，且 244k20.由 0，解得 6k 6，所以当 6k 6，且 k 3时，一元二
5、次方程有两解，直线与双曲线有两个交点若 A，B 在双曲线的同一支上，须 x1x22k230，解得 k 3或 k 3；若 A、B 分别在双曲线的两支上，须 x1x22k230，解得 3k 3.所以，当 6k 3或 3k 6时，A，B 两点在同一支上；当 3k 3时，A，B 两点在双曲线的两支上点评：解直线和双曲线的位置关系的题目，一般先联立方程组，消去一个变量，转化成关于 x 或 y 的一元二次方程再根据一元二次方程去讨论直线和双曲线的位置关系这时首先要看二次项的系数是否等于 0.当二次项系数等于 0 时，就转化成 x 或 y 的一元一次方程，只有一个解这时直线与双曲线相交只有一个交点当二次项系
6、数不为零时，利用根的判别式，判断直线和双曲线的位置关系变式探究 1(1)如果直线 ykx1 与双曲线 x2y24 有两个公共点，求 k 的取值范围(2)如果直线 ykx1 与双曲线 x2y24 只有一个公共点，求 k的取值范围(3)如果直线 ykx1 与双曲线 x2y24 的右支有两个公共点，求 k 的取值范围(4)如果直线 ykx1 与双曲线 x2y24 的左支有两个公共点，求 k 的取值范围(5)如果直线 ykx1 与双曲线 x2y24 的两支各有一个交点，求 k 的取值范围解析：由ykx1x2y24 得(1k2)x22kx50(*)(1)直线与双曲线有两个公共点(*)式方程有两个不等的根
7、1k204k2201k20 52 k 52 且 k1.(2)此时等价于(*)式方程只有一解当 1k20 即 k1 时，(*)式方程只有一解；当 1k20 时，应满足 4k220(1k2)0，解得 k 52，故 k 的值为1 或 52.(3)此时等价于(*)式方程有两个不等的正根 4k2201k20 2k1k2051k20，即 52 k 52k1或1k0k1或k11k 52.(4)此时等价于(*)式方程有两个不等的负根，同(3)可得：52 k1.(5)此时等价于(*)式方程有两个相异实根，即4k2201k2051k20，所以1k1.考点二弦长与中点弦问题例 2 已知过定点 P(0,1)的直线 l
8、 交双曲线 x2y241 于 A，B 两点，(1)若直线 l 的倾斜角为 45，求|AB|；(2)若线段 AB 的中点为 M，求点 M 的轨迹方程分析：知道了倾斜角就知道了直线的斜率，因此，解答(1)可直接使用弦长公式；(2)是弦中点问题，可使用参数法求解，也可采用点差法解析：(1)由题意知，直线 l 的方程为 yx1，联立方程组yx1x2y241消去 y 得 3x22x50.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)则 x1x223，x1x253|AB|1k2x1x224x1x2 112232453 8 23(2)方法一：设中点 M 的坐标为(x，y)弦 AB 端点为 A(x1，y1)，B(x2
9、，y2)(x1x2)则 xx1x22yy1y22即x1x22xy1y22y又A、B 两点在双曲线上x21y2141 x22y2241 得 4(x21x22)y21y224(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)x1x2，y1y2x1x24x1x2y1y2 42x2y 4xy 即 kAB4xy又P、M 两点在直线 l 上，kABkPMy1x04xy y1x，即 4x2y2y0(y4 或 y1)点 M 的轨迹方程为 4x2y2y0(y4 或 y1)方法二：设 M(x，y)，由题意知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 ykx1由 ykx1x2y221消去 y 得(4k2)x22kx5
10、0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)4k20.(2k)24(5)(4k2)0.即 5k 5x1x2 2k4k2，y1y284k2.M 为 AB 的中点，xx1x22k4k2 yy1y2244k2 由消去 k 得 4x2y2y0，5k 5，44k24 或44k21.点 M 的轨迹方程为 4x2y2y0(y4 或 y1)点评：1弦长的求法求直线与双曲线相交所得弦长，主要利用弦长公式，要注意方程的思想以及根与系数的关系的应用2弦中点问题解决方法对于弦中点问题，通常使用点差法解决，以减小运算量，提高运算速度另外，对于相交弦问题还要注意灵活转化，如垂直、相等等问题也可以转化成中点、弦长问题解决变式
11、探究 2 已知双曲线 x2y231，过 P(2,1)点作一直线交双曲线于 A、B 两点，若 P 为 AB 的中点(1)求直线 AB 的方程；(2)求弦 AB 的长解析：(1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入双曲线方程 3x2y23，得 3x21y213,3x22y223，两式相减得 3(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)，即y1y2x1x2y1y2x1x23，所以直线 AB 的斜率kABy1y2x1x23x1x2y1y2 3x1x22y1y21321 6.经检验 k6 符合题，所以直线 AB 的方程为 6xy110.(2)将 y6x11 代入 3x2y23，得 33x2
12、132x1240，由弦长的公式|AB|1k2ABx1x22 1k2ABx1x224x1x2得|AB|1361322433124332，所以|AB|433 2 442.考点三直线与双曲线的综合问题例 3 已知点 M(2,0)，N(2,0)，动点 P 满足条件|PM|PN|2 2，记动点 P 的轨迹为 W.(1)求 W 的方程；(2)若 A，B 是 W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB 的最小值分析：定义法求方程 讨论AB的斜率 联立方程组 根与系数的关系表示出OA OB 利用函数知识求出最小值解析：(1)由|PM|PN|2 2知动点 P 的轨迹是以 M、N 为焦点的双曲线的右支，实半轴
13、长 a 2.又半焦距 c2，故虚半轴长 b c2a2 2.所以 W 的方程为x22 y221(x 2)(2)设 A，B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)当 ABx 轴时，x1x2，y1y2.从而OA OB x1x2y1y2x21y212.当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为ykxm，与 W 的方程联立，消去 y 得(1k2)x22kmxm220.故 x1x2 2km1k2，x1x2m22k21，所以OA OB x1x2y1y2x1x2(kx1m)(kx2m)(1k2)x1x2km(x1x2)m21k2m22k212k2m21k2m22k22k21 24k21.又因为
14、x1x20，所以 k210，从而OA OB 2.综上，当 ABx 轴时，OA OB 取得最小值 2.点评：此类题涉及到的知识点相对较多：直线、圆、双曲线的相关知识以及定点问题，求解时利用直线和双曲线的关系建立方程组，通过根与系数的关系或向量的运算求解相关参变量的值变式探究 3 已知 P(x0，y0)(x0a)是双曲线 E：x2a2y2b21(a0，b0)上一点，M、N 分别是双曲线 E 的左、右顶点，直线 PM，PN的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC OA OB，求 的
15、值解析：(1)点 P(x0，y0)(x0a)在双曲线x2a2y2b21(a0，b0)上，有x20a2y20b21.由题意又有 y0 x0a y0 x0a15，即 x205y20a2，可得 a25b2，c2a2b26b2，则 eca 305.(2)联立x25y25b2yxc，得 4x210cx35b20，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x25c2，x1x235b24.设OC(x3，y3)，OC OA OB，即x3x1x2y3y1y2又 C 为双曲线上一点，即 x235y235b2，有(x1x2)25(y1y2)25b2.化简得 2(x215y21)(x225y22)2(x1x25y
16、1y2)5b2，又 A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，所以 x215y215b2，x225y225b2.由式又有 x1x25y1y2x1x25(x1c)(x2c)4x1x25c(x1x2)5c210b2，由式得 240，解得 0 或 4.新思维随堂自测1.如图，axyb0 和 bx2ay2ab(ab0)所表示的曲线只可能是()解析：直线方程可化为 yaxb，曲线方程可化为x2a y2b1，若a0，b0，则曲线表示椭圆，可排除 A、B、D，若 a0，b0，C符合答案：C2已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60的直线与双曲线的右支有且只有
17、一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是_解析：可得直线的斜率为 3，要使直线 l 与双曲线的右支有且只有一个交点，只要ba 3，e21ba24.答案：2，)3若直线 ykx2 与双曲线 x2y26 的右支交于不同的两点，那么 k 的取值范围是_解析：ykx2 与 x2y26 联立消去 y 得(1k2)x24kx100 使交点有两个且在右支则有 1k2016k2401k204k1k20101k20解出 153 k1.4过双曲线 2x2y26 的左焦点 F1，作倾斜角为 30的直线交双曲线于 A，B 两点，求|AB|.解析：由双曲线的方程得，两焦点分别为 F1(3,0)，F2(3,0)因为直线 A
18、B 的倾斜角是 30，且直线过左焦点，所以直线 AB 的方程是 y 33(x3)，联立方程组，得y 33 x3，2x2y26，消去 y，得 5x26x270，解这个方程得 x13，x295，分别代入直线 AB 方程，得 y12 3，y22 35，所以 A，B 的坐标分别为(3,2 3)，95，2 35.所以|AB|x1x22y1y22 39522 32 35216 35.辨错解走出误区易错点 忽视判别式 0 致误【典例】给定双曲线 x2y221，过点 B(1,1)是否能作直线 m，使它与所给的双曲线交于两点 Q1 及 Q2，且点 B 是线段 Q1Q2 的中点？这样的 m 如果存在，求出它的方程
19、，如果不存在，说明理由错解：假设存在 m 过 B 与双曲线交于 Q1、Q2，且 B 是 Q1Q2 的中点，当 m 斜率不存在时，显然只与双曲线有一个交点；当 m 斜率存在时，设 m 的方程为 y1k(x1)，由 y1kx1x2y221得(2k2)x2(2k22k)x(k22k3)0，设该方程的两根为 x1，x2.由根与系数的关系，得 x1x22k22kk22 2，解得 k2.故存在 m，其方程为 y12(x1)，即 2xy10.错因分析：对于圆、椭圆这种封闭的曲线，以其内部一点为中点的弦是存在的，而对于双曲线，这样的弦就不一定存在，故求出 k 值后需用判别式判定此时直线是否与双曲线有交点正解：假设存在直线 m 过 B 与双曲线交于 Q1、Q2，且 B 是 Q1Q2 的中点，当直线 m 的斜率不存在时，显然只与双曲线有一个交点；当直线 m 的斜率存在时，设直线 m 的方程为 y1k(x1)，由y1kx1x2y221知(2k2)x2(2k22k)x(k22k3)0，设该方程的两根为 x1、x2，由根与系数的关系，得 x1x22k22kk22 2，解得 k2.当 k2 时，(2k22k)24(2k2)(k22k3)80，因此不存在满足题意的直线.
