1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。113余弦定理、正弦定理的应用第1课时余弦定理、正弦定理的基本应用解三角形中的常见术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角与目标视线在同一铅直平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方时叫仰角,目标视线在水平视线下方时叫俯角.方位角从正北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角,如点B的方位角为(如图所示).方位角的取值范围:0360.方向角指以观测者为中心,指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90的水平角,它是方位角的另一种表示形式.如图,左图中表示北偏东3
2、0,右图中表示南偏西60.1有一条与两岸平行的河流，水速为1 m/s，小船的速度为 m/s，为使所走路程最短，小船应朝什么方向行驶()A与水速成45 B与水速成135 C垂直于对岸 D不能确定【解析】选B.如图所示，AB是水速，AD为船速，AC是船的实际速度，且ACAB，在RtABC中，cos ABC.所以ABC45，所以DAB9045135，则小船行驶的方向应与水速成135.2一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是()A10海里
3、 B10海里C20海里 D20海里【解析】选B.根据已知条件可知在ABC中，AB20，BAC30，ABC105，所以C45，由正弦定理有，所以BC10.3如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角CAB45，沿倾斜角为30的山坡向山顶走1 000 m到达S点，又测得山顶仰角DSB75，则山高BC为()A500 m B200 mC1 000 m D1 000 m【解析】选D.可得SAB453015，SBAABCSBC45(9075)30，在ABS中，AB1 000(m)，所以BCABsin 451 0001 000(m).4某人从A处出发，沿北偏西60方向行走2 km到达B处，再沿正东方向行走2 km
4、到达C处，则A，C两地的距离为_km.【解析】如图所示，ABC30，又AB2，BC2，由余弦定理得AC2AB2BC22ABBC cos ABC1242224，AC2，所以A，C两地的距离为2 km.答案：25海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75，距离为12海里；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30，距离为8海里；货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B在南偏东60，求：(1)A处与D处之间的距离；(2)灯塔C与D处之间的距离【解析】由题意，画出示意图(1)在ABD中，因为ADB60，DAB75，所以B45.由正弦定理得ADsin 4524(海里).所以A处与D处之间的距离为24海里(2)在ADC
5、中，由余弦定理得CD2AD2AC22ADAC cos 30242(8)22248(8)2，所以CD8海里所以C，D之间的距离为8 海里.一、单选题1海上有A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，则B，C之间的距离为()A2 n mileB3 n mileC5 n mile D6 n mile【解析】选C.在ABC中，A60，B75，所以C45.因为，所以BC5(n mile).2.如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20方向，灯塔B在观察站C的南偏东40方向，则灯塔A与B的距离为()A
6、a km Ba kmCa km D2a km【解析】选B.在ABC中，因为ACBCa，ACB1802040120，由余弦定理可得AB2a2a22aacos 1203a2，所以ABa.3某人向正东方向走x km后向右转150，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是 km，那么x的值是()A B2C2或 D3【解析】选C.如图所示，在ABC中，ABx，BC3，AC，B30.由余弦定理，得()2x23223x，所以x23x60，解得x或x2.4已知A，B两地的距离为10 km，B，C两地的距离为20 km，现测得ABC120，则A，C两地的距离为 ()A10 km B kmC10 km D10
7、 km【解析】选D.在ABC中，AB10 km，BC20 km，ABC120，则由余弦定理，得AC2AB2BC22ABBC cos ABC10040021020cos 12010040021020700，所以AC10 km，即A、C两地的距离为10km.5如图所示，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角CAD等于()A30 B45 C60 D75【解析】选B.依题意可得AD20(m)，AC30(m)，又CD50(m)，所以在ACD中，由余弦定理的推论得，cos CAD，又0CAD180，所以CAD45，所以从顶端
8、A看建筑物CD的张角为45.二、填空题6如图所示为一角槽，已知ABAD，ABBE，并测量得AC3 mm，BC2 mm，AB mm，则ACB_【解析】在ABC中，由余弦定理得cos ACB，因为ACB(0，)，所以ACB.答案：7当太阳光与水平面的倾斜角为60时，一根长为2 m的竹竿如图所示放置，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角为_【解析】设竹竿与地面所成的角为，影子长为x m由正弦定理，得，所以xsin (120)，因为30120120，所以当12090，即30时，x有最大值故竹竿与地面所成的角为30时，影子最长答案：308已知两座建筑A，B与规划测量点C的距离相等，A在C的北偏东40方
9、向，B在C的南偏东60方向，则A在B的_方向；C在B的_方向【解析】因为ABC为等腰三角形，所以CBA(18080)50，605010.即A在B的北偏西10方向因为B在C的南偏东60方向，所以C在B的北偏西60方向答案：北偏西10北偏西609已知ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2ca，b6，D是AC边上近A点的三等分点，且2ABDCBD，则CBD_ ；BC_【解析】令1ABD，2CBD，在ABD内，根据正弦定理可得，在BCD内，两等式相除可得，又2ca，即2sin Csin A，则，cos 1，所以1，2，因此ABC，则AC2b2a2c2，则36a2a2，所以BCa.答案：三
10、、解答题10如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60方向的B2处，此时两船相距10海里问：乙船每小时航行多少海里？【解析】如图，连接A1B2，由已知A2B210 海里，A1A23010 (海里)，所以A1A2A2B2.又A1A2B260，所以A1A2B2是等边三角形，所以A1B2A1A210 海里由已知，A1B120 海里，B1A1B2180756045，在A1B2B1中，由余弦定理得B1BA1BA1B2A1B1A1B2cos
11、 45202(10)222010200，所以B1B210 海里因此，乙船的速度为6030(海里/时).所以乙船每小时航行30海里11在海岸A处，发现北偏东45方向，距离A为1海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75方向，距离A为2海里的C处有一艘缉私艇奉命以10海里/时的速度追截走私船，此时，走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30方向逃窜(1)问C与B相距多少海里？C在B的什么方向？(2)问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间【解析】(1)根据题意作出示意图，如图则AB1，AC2，BAC120，在ABC中由余弦定理得：BC2AB2AC22ABACcos 1206，所以
12、BC，由正弦定理得，即，解得sin ABC，所以ABC45，所以C在B的正西方向(2)由(1)知BC，DBC120，设t小时后缉私艇在D处追上走私船，则BD10t，CD10t，在BCD中由正弦定理得，解得sin BCD，所以BCD30，所以BCD是等腰三角形，所以10t，即t.所以缉私艇沿东偏北30方向行驶小时才能最快追上走私船一、选择题1已知船A在灯塔C北偏东85且到C的距离为2 km，船B在灯塔C北偏西65且到C的距离为km，则A，B两船的距离为()A2 km B3 kmC km D km【解析】选D.如图可知ACB8565150，AC2 km，BC km，所以AB2AC2BC22ACBC
13、cos 15013，所以AB km.2如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30和45，则A点离地面的高AB等于()A10 m B5 mC5(1)m D5(1)m【解析】选D.方法一：设ABx m，则BCx m.所以BD(10x)m.所以tan ADB.解得x5(1).所以A点离地面的高AB等于5(1)m.方法二：因为ACB45，所以ACD135，所以CAD1801353015.由正弦定理，得ACsin ADCsin 30 (m)，所以ABAC sin 455(1)m.3如图，某侦察飞机在恒定高度沿直线AC匀速飞行在A处观测地面目标A，测得俯角B
14、AP30.经2分钟飞行后在B处观测地面目标P，测得俯角ABP60.又经过一段时间飞行后在C处观察地面目标P，测得俯角BCP且cos ，则该侦察飞机由B至C的飞行时间为()A.1.25分钟 B1.5分钟C1.75分钟 D2分钟【解析】选B.设飞机的飞行速度为v，根据飞机的飞行图形，测得俯角BAP30，经过2分钟飞行后在B处观测地面目标P，测得俯角为ABP60，所以ABP为直角三角形，过点P作PDAC于点D，则AB2v，APv，BPv，解得DP，设CBxv，因为cos ，可得sin ，所以tan ，在直角PCD中tan ，解得x1.5，即该侦察飞机由B至C的飞行时间为1.5分钟二、填空题4甲船在岛
15、B的正南A处，AB6 km，甲船以每小时4 km的速度向正北方向航行，同时乙船自B出发以每小时3 km的速度向北偏东60的方向驶去，甲、乙两船相距最近的距离是_km.【解析】假设经过x小时两船相距最近，甲、乙分别行至C，D，如图所示，可知BC64x，BD3x，CBD120，CD2BC2BD22BCBDcos CBD(64x)29x22(64x)3x13x230x36.当x时甲、乙两船相距最近，最近距离为km.答案：5如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶到A处时测得公路北侧一山顶D在北偏西45的方向上，仰角为，行驶300米后到达B处，测得此山顶在北偏西15的方向上，仰角为，若45，则此山的
16、高度CD_米，仰角的正切值为_【解析】设山的高度CDx米，由题可得CAB45，ABC105，AB300米，CBD45.在ABC中，可得：ACB1804510530，利用正弦定理可得，解得CB300(米)，AC150(米).在RtBCD中，由CBD45可得：xCB300(米)，在RtACD中可得tan 1.答案：30016一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75处，且此时它们相距8海里，此时的航速是_海里/小时【解析】在ABS中，易知BAS30，ASB45，且边BS8，利用正弦定理可得，即，得AB
17、16，又因为从A到B匀速航行时间为半小时，所以速度应为32(海里/小时).答案：327甲船在A处发现乙船在北偏东60方向的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问：甲船应沿_方向前进才能最快与乙船相遇？【解析】如图，设经过t小时两船在C点相遇，则在ABC中，BCat，ACat，B18060120.由正弦定理得，则sin CAB.因为0CAB90，所以CAB30，所以DAC603030，即甲船应沿北偏东30的方向前进才能最快与乙船相遇答案：北偏东30三、解答题8某地发现疫情，卫生部门欲将一块如图所示的四边形区域ABCD沿着边界用固定高度的板材围成一个封闭的隔离区经
18、测量，边界AB与AD的长都是200米，BAD60，BCD120(1.732 1，2.449 5).(1)若ADC105，求BC的长(结果精确到米)；(2)围成该区域至多需要多少米长度的板材？(不计损耗，结果精确到米).【解析】(1)连接BD，则在BCD中BD200，BDC45，由，得：BC163，所以BC的长约为163米；(2)设CBD(0)，则BDC，在BCD中，由，得：BCsin ，CDsin ，所以BCCDsin ()sin sin ，所以当时，BCCD取得最大值，此时围成该施工区域所需的板材长度最长，为米，约为631米9某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发
19、时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值【解析】(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则S.故当t时，Smin10 ，v30 (海里/小时).即小艇以30 海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小(2)设小艇与轮船在B处相遇，如图所示由题意可得：(vt)2202(30t)222030tcos (9030)，化简得v2900400675.由于0t，即2，所以当2时v取得最小值10，即小艇航行速度的最小值为10海里/小时关闭Word文档返回原板块
